L－相對(duì)乘積空間與θ－連通性＊

姜金平，王小霞

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

L－相對(duì)乘積空間與θ－連通性＊

姜金平，王小霞

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

借助廣義Zadeh函數(shù)引入了相對(duì)乘積空間的概念，討論了L－拓?fù)淇臻g的相對(duì)乘積空間的θ－連通性，證明了θ－連通性關(guān)于這種相對(duì)乘積運(yùn)算是可乘性質(zhì)，即相對(duì)乘積空間是θ－連通的當(dāng)且僅當(dāng)其每一個(gè)因子空間都是θ－連通的．

L－拓?fù)淇臻g；L－相對(duì)乘積空間；θ－連通性

文獻(xiàn)［1］研究了廣義Zadeh函數(shù)，文獻(xiàn)［2］借助這種廣義Zadeh函數(shù)引入了相對(duì)乘積空間的概念，并在其中討論了連通性的可乘性問(wèn)題．筆者在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論了L－拓?fù)淇臻g的相對(duì)乘積空間的θ－連通性，證明了θ－連通性關(guān)于這種積運(yùn)算是可乘性質(zhì)．

文中，LX表示非空分明集X上的L－fuzzy集的全體，LX中的最大元與最小元分別記作1和0．設(shè)δ為L(zhǎng)X上L－fuzzy拓?fù)?，將（LX，δ）稱(chēng)為L(zhǎng)－拓?fù)淇臻g，簡(jiǎn)記為L(zhǎng)－ts．文中未定義的概念與符號(hào)均見(jiàn)文獻(xiàn)［4］．定義1［1］設(shè)L1和L2是2個(gè)F格，X與Y是2個(gè)非空分明集，p：X→Y是分明映射，q：L1→L2是序同態(tài)，由p，q按下列方式誘導(dǎo)出一個(gè)從到的函數(shù)

稱(chēng)為廣義Zadeh型函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)GZF，記作f＝pq．

定義2［2］設(shè)是一族L－拓?fù)淇臻g是投影映射，對(duì)于給定的F格L及從L到Lt的一一滿序同態(tài)qt，由pt，qt誘導(dǎo)出來(lái)的廣義Zadeh型函數(shù)稱(chēng)為投影序同態(tài)，則LX上以γ＝｛f－1（At）｜At∈δt，t∈T｝為子基所生成的LF拓?fù)洇慕凶龈鱈F拓?fù)淇臻g相對(duì)于｛L，qt：t∈T｝的乘積LF拓?fù)淇臻g，簡(jiǎn)稱(chēng)相對(duì)積空間叫做（LX，δ）的因子空間．

定義3［3］設(shè)（LX，δ）是L－fts，A∈LX，xλ∈M＊（LX），稱(chēng)xλ為A的θ－附著點(diǎn)，若對(duì)xλ的每個(gè)正則開(kāi)遠(yuǎn)域U，都有A≤／U，A的所有θ－附著點(diǎn)之族記為A＊．稱(chēng)A＊之并為A的θ－閉包，記為，即A＊．A的補(bǔ)集的θ－閉包的補(bǔ)集稱(chēng)為A的θ－內(nèi)部，記為o－，．若則稱(chēng)A為θ－閉集，θ－閉集的補(bǔ)集稱(chēng)為θ－開(kāi)集．顯然，A為θ－開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)

（?。ゝ稱(chēng)為連續(xù)的，若?A∈ε，有f－1（A）∈δ；

（ⅱ）f稱(chēng)為開(kāi)的，若?B∈δ，f（B）∈ε．由定義2，可知下面命題成立：

命題1［2］設(shè)（LX，δ）是的相對(duì)積空間，則每個(gè)投影序同態(tài)都是連續(xù)序同態(tài)．

定理1［5］若連續(xù)，則f一定θ－連續(xù)；反之則不一定成立．

由定理1可知：

命題2 同胚則必定θ－同胚，θ－同胚不一定同胚．

定義6［3］設(shè)（LX，δ）是L－ts，A，B，C∈LX，若，則稱(chēng)A與B是θ－隔離的；若存在異于0的θ－隔離集A，B，使C＝A∨B，則C稱(chēng)為（LX，δ）中的θ－不連通子集；若最大LF集1為θ－不連通的，則稱(chēng)（LX，δ）為θ－不連通空間，否則稱(chēng)（LX，δ）是θ－連通的．

命題3［2］設(shè)（LX，δ）是的相對(duì)乘積空間是投影序同態(tài)，則β＝｛∧t∈SPt－1（At）：S∈2（T），?t∈S，At∈δt｝是δ的基，從而（LX，δ）中的每個(gè)閉集都可表示為形如∨t∈SPt－1（Bt）的閉集之交，這里S∈2（T），?t∈S，Bt∈δ′t．

定義7［2］設(shè)（LX，δ）是L－ts，λ∈L，用［λ］表示X上取常值λ的LF集，若?λ∈L，［λ］∈δ，則稱(chēng)（LX，δ）為滿層空間．

定理2 設(shè)（LX，δ）是L－ts，A是（LX，δ）中的θ－連通集是任是θ－連續(xù)序同態(tài)，則f（A）是（）中的θ－連通集．

證明 必要性．設(shè)（LX，δ）是θ－連通空間，由命題1、定理1知是θ－連續(xù)序同態(tài)，則由定理2可得是θ－連通的．

充分性．設(shè)?t∈T，（LXt，δt）是θ－連通的，在X中任取一點(diǎn)x＝｛xt｝t∈T，則由文獻(xiàn)［2］中定理1知，過(guò)x且平行于的LF平面同胚，由命題2知－同胚，從而是（LX，δ）中的θ－連通子集，它顯然包含點(diǎn)x1．以C記（LX，δ）中包含點(diǎn)x1的θ－連通分支，設(shè)y＝｛yt｝t∈T是X中僅有第s個(gè)坐標(biāo)ys與xs不相同的任一點(diǎn)，則y1與x1同屬于從而y1≤ C，即（LX，δ）中承點(diǎn)僅差1個(gè)坐標(biāo)的2點(diǎn)是包含于同一個(gè)θ－連通分支之中的，因此承點(diǎn)相差有限多個(gè)坐標(biāo)的點(diǎn)也是包含于同一個(gè)θ－連通分支之中的．特別地，若Z＝｛zt｝t∈T與x只有有限個(gè)坐標(biāo)不同，則z1≤C．

令B＝∨｛uλ｜u＝｛ut｝t∈T與x僅有有限多個(gè)坐標(biāo)不同，λ∈M（L）｝，則由以上證明知B≤C．下證B－θ＝1．

先證B是分明集．設(shè)uλ∈B，則?μ∈M（L），uμ∈B，這一點(diǎn)由B的定義可得出，由于∨M（L）＝1，u1＝∨｛uλ｜λ∈M（L）｝≤B，所以B是分明集．

則R（z）＝R（ω）≠0．

［1］ HE Wei．Generalized Zadeh Function［J］．Fuzzy Set and Systems，1998，97：381－386．

［2］ 李進(jìn)金．LF拓?fù)淇臻g的相對(duì)乘積空間與連通性［J］．蘇州大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，18（2）：4－7．

［3］ 姜金平，馬保國(guó)，王小霞．LF－拓?fù)淇臻g的θ－連通性［J］．紡織高校基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，17（3）：190－193．

［4］ 王國(guó)?。甃F拓?fù)淇臻g論［M］．西安：陜西師大出版社，1988．

［5］ 楊建新．L－fuzzyθ－良緊空間［J］．模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000（2）：30－37．

Relative Productive Spaces in L－Topological Spaces andθ－Connectedness

JIANG Jin－ping，WANG Xiao－xia
（College of Mathematics and Computer Science，Yan’an University，Yan’an 716000，Shaanxi China）

The relative product spaces are introduced by the generalized Zadeh function and theθ－connectedness is discussed in the relative product spaces of L－topological spaces．The product ofθ－connectedness to the relative product spaces is proved．That is，the relative product spaces areθ－connected if and only if each factor space isθ－connectedness．

L－topological space；relative product spaces；θ－connectedness

O189．1

A

10．3969／j．issn．1007－2985．2012．02．003

（責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔）

1007－2985（2012）02－0010－03

2011－11－12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10871156）；陜西省教育廳科研項(xiàng)目（08JK498）

姜金平（1974－），男，陜西洛川人，延安大學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，碩導(dǎo)，主要從事科學(xué)計(jì)

算與格上拓?fù)鋵W(xué)研究．