等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N的計(jì)算

☉吳東武

等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N的計(jì)算

☉吳東武

吳東武 男，廣東省五華縣人.1966年畢業(yè)于華南工學(xué)院化工系無(wú)機(jī)物工學(xué)專業(yè).廣州石油化工總廠退休高級(jí)工程師，曾從事化工工藝及化工設(shè)備技術(shù)工作.

前言

等差數(shù)列n項(xiàng)和公式Sn，是德國(guó)數(shù)學(xué)家C.F.高斯少年時(shí)發(fā)現(xiàn)的，此公式人們已經(jīng)學(xué)習(xí)了200多年.直至今日，全世界中學(xué)數(shù)學(xué)只教C.F.高斯的等差數(shù)列n項(xiàng)和Sn，學(xué)生只會(huì)計(jì)算整數(shù)的項(xiàng)數(shù)n，而不會(huì)計(jì)算帶小數(shù)的項(xiàng)數(shù)N.我們的化工專家學(xué)者面對(duì)等差數(shù)列前N項(xiàng)和SN，同樣也不會(huì)計(jì)算帶小數(shù)的項(xiàng)數(shù)N，只好按自己的思維習(xí)慣，建立接近實(shí)際的計(jì)算公式，以解決設(shè)計(jì)、計(jì)算之需.

在上世紀(jì)30年代，傳熱工程出現(xiàn)了一種高效換熱設(shè)備——螺旋板換熱器（如右圖），它是由兩張厚度為δ的平行鋼板卷成，有兩條寬度（板間距）為b1和b2的螺旋通道，分別與中央直徑為d11與d21的空心半圓柱相通，d11=d21+b1－b2，冷熱介質(zhì)在各自的通道中流動(dòng)換熱，廣泛應(yīng)用于化學(xué)工業(yè)、制藥和食品等領(lǐng)域.螺旋板由里往外各圈長(zhǎng)度組成一個(gè)等差數(shù)列，在螺線長(zhǎng)度即等差數(shù)列n項(xiàng)和Sn計(jì)算中，螺旋圈數(shù)即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)

式中的n必須是整數(shù).但是，在設(shè)備設(shè)計(jì)和實(shí)際計(jì)算中，往往需要用螺旋通道的長(zhǎng)度L準(zhǔn)確計(jì)算帶小數(shù)的螺旋通道圈數(shù)N，準(zhǔn)確計(jì)算公式是怎樣的？

等差數(shù)列N項(xiàng)和

在公式導(dǎo)出前，我們先來(lái)看看螺旋板長(zhǎng)的等差數(shù)列是怎樣形成的.

螺旋板換熱器的卷板過(guò)程：當(dāng)兩根不同直徑（d11和d21）的半圓柱狀的卷輥牢固夾住隔板時(shí)，啟動(dòng)卷床，卷輥轉(zhuǎn)動(dòng)，卷板過(guò)程開(kāi)始.對(duì)螺旋板長(zhǎng)度而言，長(zhǎng)度是從零開(kāi)始由小至大的過(guò)程，是一個(gè)程積分過(guò)程，也是等差數(shù)列的形成過(guò)程.首圈長(zhǎng)度從0開(kāi)始，慢慢增長(zhǎng)至第一圈長(zhǎng)度a1，又從0開(kāi)始再慢慢增長(zhǎng)至第二圈長(zhǎng)度a2，…，如此增長(zhǎng)至an，此時(shí)，由各圈長(zhǎng)度構(gòu)成的等差數(shù)列為

式中a1為等差數(shù)列首項(xiàng)，an為整數(shù)項(xiàng)，d為公差.

當(dāng)螺旋板長(zhǎng)度增至an后，又繼續(xù)從0慢慢增長(zhǎng)至aN而未到a（n+1），卷床停止.此時(shí)，螺旋板圈數(shù)由第一圈，第二圈，…，第n圈直至第N圈而未到第（n+1）圈，各圈長(zhǎng)度構(gòu)成的等差數(shù)列為

等差數(shù)列N項(xiàng)和

式中n為正整數(shù)，0≤n0＜1，aN為帶小數(shù)項(xiàng).aN在螺旋板換熱器中的幾何意義是不足一圈的螺線長(zhǎng)度.

當(dāng)n0≠0時(shí)，等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N通過(guò)下述方法計(jì)算：

式中n是整數(shù)，0≤n0di＜1.以式④中的整數(shù)n代入③式，計(jì)得n0，項(xiàng)數(shù)N=n+n0.

我們依據(jù)等差數(shù)列N項(xiàng)和公式③，可以找出螺旋板換熱器螺旋通道長(zhǎng)度計(jì)算公式：

式中n是整數(shù)，0≤n0di＜1.以式⑥中的整數(shù)n代入⑤式，計(jì)得n0，項(xiàng)數(shù)N=n+n0.

公式⑤在特定條件n0=0，b=b1=b2，t=2（b+δ），d=d21下，變?yōu)?/p>

也有文獻(xiàn)［1］采用公式⑦計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N.

當(dāng)n0=0時(shí)，N=n，公式⑤的螺旋通道圈數(shù)

以前，多數(shù)文獻(xiàn)［2］［3］［4］［5］采用下列公式計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N，其首先使用者是日本學(xué)者［6］.

同樣是不可取.

計(jì)算實(shí)例（選自參考文獻(xiàn)）

設(shè)計(jì)一臺(tái)將3000kg/h的煤油從140℃冷卻至40℃螺旋板換熱器，冷卻水入口溫度為30℃，冷卻水量為15m3/h.

由傳熱計(jì)算得到傳熱面積A=7.15m2，其中，螺旋板寬H=0.3m，螺旋板2初始內(nèi)徑d21=0.110m，板厚δ=0.0023m，螺旋通道寬b1=0.0093m，b2=0.0042m.

計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N.

解：因?yàn)槎菪ǖ莱跏贾睆絛f1相等，二通道長(zhǎng)度L相等.螺旋通道長(zhǎng)度

結(jié)論：通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的形成過(guò)程分析和實(shí)例計(jì)算可以看出，等差數(shù)列n項(xiàng)和Sn是神圣的自然規(guī)律，不能更改.Sn是基礎(chǔ)，公式③④是由SN計(jì)算等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)N的完整而準(zhǔn)確的方法，公式⑤⑥是螺旋板換熱器由螺旋通道長(zhǎng)度L計(jì)算螺旋通道圈數(shù)N實(shí)用、準(zhǔn)確的方法，不論N是整數(shù)還是帶小數(shù).

1.王松漢.石油化工設(shè)計(jì)手冊(cè).北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2002.

2.尾花英朗(日).熱交換器設(shè)計(jì)手冊(cè).徐中權(quán).北京∶石油工業(yè)出版社，1982.

3.毛希瀾.換熱器設(shè)計(jì).上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1988.

4.時(shí)鈞，汪家鼎，余國(guó)琮，等.化學(xué)工程手冊(cè).北京：化學(xué)工業(yè)出版社，1996.

5.余國(guó)琮.化工機(jī)械工程手冊(cè).北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

6.化學(xué)裝置編輯部.螺旋板式熱交換器的設(shè)計(jì)［J］.化學(xué)裝置（日本），1966，8（7）：43－49.

7.錢頌文.換熱器設(shè)計(jì)手冊(cè).北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2002.

8.董其伍，張垚，等.換熱器.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2009.