構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)背景下的不等式的策略

☉云南省玉溪第一中學(xué) 武增明

構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)背景下的不等式的策略

☉云南省玉溪第一中學(xué) 武增明

縱觀近幾年高考數(shù)學(xué)試題，可以看出，在函數(shù)背景下考查不等式的證明成為一種新的命題趨勢.我們知道，證明函數(shù)背景下的不等式的通法，是構(gòu)造函數(shù)法.要解決好此類問題，關(guān)鍵是要構(gòu)造好相應(yīng)的函數(shù).從哪里入手，怎么構(gòu)造，如何構(gòu)造出適當(dāng)?shù)?、合理的、可行的、易操作的函?shù)，許多同學(xué)找不到突破口，甚至感到無所適從.下面就此問題作一些探討，同時希望能幫助同仁把握這類試題的特點及規(guī)律，進(jìn)行有針對性的復(fù)習(xí)，供參考.

一、轉(zhuǎn)化為f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型

尋找待證不等式的等價不等式，把等價不等式轉(zhuǎn)化為f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型，觀察此等價不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）.

例1 （2010年高考遼寧卷·文21）已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)a≤－2，

證明：對任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）－f（x2）|≥4|x1－x2|.

分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）不妨設(shè)x1＞x2＞0，由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤－2時，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以f（x1）＜f（x2），即f（x1）－f（x2）＜0，于是|f（x1）－f（x2）|≥4|x1－x2|?f（x2）－f（x1）≥4x1－4x2?f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1.觀察此不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，就會想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+4x，接下來的工作只需證明函數(shù)g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）上是減函數(shù)就可以了，這時只需要證明g′（x）≤0.

限于篇幅，具體證明過程在這里不再贅述.

點評：找到待證不等式的等價不等式f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1，觀察此等價不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu)特征，就想到構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）+4x，然后利用導(dǎo)數(shù)就可以輕松獲解.這是破解此類問題行之有效的思維途徑之一.

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

解答略，留給感興趣的讀者朋友去解答.

二、轉(zhuǎn)化為f（x）≥0（≤0）型

尋找待證不等式的等價不等式，使等價不等式的一端為0，形如f（x）≥0（≤0），由此構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）.

例3 （2011年高考遼寧卷·理21）已知函數(shù)

點評：（1）此種方法，直接移項作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值進(jìn)行證明，是常用的一般方法.（2）在這里，若出現(xiàn)g（0）≠0，而是g（0）=m＞0，也可以.同理，若要證明g（x）＜0，而g（0）≠0或g（n）≠0，而是得到g（n）=M＜0，亦即得到g（x）＜g（n）=M＜0，也得到圓滿獲證.

例4已知函數(shù)f（x）=ex－2x+2a.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)a＞ln2－1，且x＞0時，ex＞x2－2ax+1.

解答略，留給感興趣的讀者朋友去解答.

三、轉(zhuǎn)化為f（x）≥g（x）型

尋找待證不等式的等價不等式，把等價不等式轉(zhuǎn)化為f（x）≥g（x）型，由此構(gòu)造兩個函數(shù)h（x）=f（x），u（x）=g（x）.接下來的工作是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)h（x），u（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)h（x），u（x）的最值或臨界值.具體證明過程略.

證明略，留給感興趣的讀者朋友去證明.

通過上述幾道例題，我們可以看出，函數(shù)背景下的不等式證明對學(xué)生來說有兩個主要的挑戰(zhàn)：一是要善于觀察待證不等式的等價不等式的結(jié)構(gòu)特征，由等價不等式的結(jié)構(gòu)特征去構(gòu)造出相應(yīng)的、適當(dāng)?shù)摹⒑侠淼暮瘮?shù)，將不等式證明的問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)研究的問題；二是要掌握有關(guān)函數(shù)性質(zhì)研究的知識，掌握對有關(guān)函數(shù)性質(zhì)研究的方法，積累對有關(guān)函數(shù)性質(zhì)研究的經(jīng)驗.可以說，掌握好上述列舉的三種類型問題的探究思維途徑及思想方法，對函數(shù)背景下的不等式證明的問題就能很好解決了.