坐標(biāo)變換在求空間閉體體積中的應(yīng)用

☉貴州省凱里學(xué)院附屬中學(xué) 吳秀吉 王祖美

坐標(biāo)變換在求空間閉體體積中的應(yīng)用

☉貴州省凱里學(xué)院附屬中學(xué) 吳秀吉 王祖美

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)長(zhǎng)方體，正方體，棱柱，棱錐，圓柱，圓錐等，要求它們的體積我們只要知道它們的底面積和高并代入已有公式就很容易求得.對(duì)于底面面積比較難求這一類閉體，沒(méi)有一般的公式和方法.本文以平面截球所得截面是圓，球心與圓心的連線垂直于截面為基礎(chǔ)，利用坐標(biāo)伸縮變換為橋梁對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行研究并得出結(jié)果.

一、下面給出文［1］中3個(gè)命題，并就命題1，2給出證明過(guò)程

命題2［1］：在平面內(nèi)，夾在兩平行直線間的兩個(gè)平面圖形，被平行于這兩條直線的任意直線所截，如果截得一個(gè)圖形的線段長(zhǎng)總是另一個(gè)圖形線段長(zhǎng)的k倍，那么這個(gè)圖形的面積是另一個(gè)圖形面積的k倍.

證明：設(shè)夾在兩平行線l1，l2的封閉曲線C，C′，且垂直于l1，l2的垂線段長(zhǎng)為b，現(xiàn)將［0，b］內(nèi)任意插入（n－1）個(gè)點(diǎn)：x1，x2，…，xn－1.為了便于書(shū)寫，令x0=0，xn=b，使

此分法表示為T.此分法將［0，b］分成n個(gè)小區(qū)間：

第k個(gè)小區(qū)間［xk－1，xk］的長(zhǎng)為Δxk=xk－xk－1.第k個(gè)小區(qū)間［xk－1，xk］上任取一點(diǎn)ξk（xk－1≤ξk≤xk）.以ξk所在的線段長(zhǎng)為f（ξk），則以f（ξk）為長(zhǎng)以Δxk為寬的矩形面積f（ξk）Δxk應(yīng)是“第k個(gè)小曲邊梯形的面積”ΔAk的近似值，即ΔAk≈f（ξk）Δxk，其中（k=1，2，…，n）.顯然，當(dāng)Δxk越小，其近似程度越好.將n個(gè)矩形的面積加起來(lái)，應(yīng)該是“封閉曲線C所圍成面積”的近似值，即

其中，S′是封閉曲線C′圍成的面積.證畢.

證明：略.

二、命題2、命題3在空間中的推廣

定理1：夾在兩平行平面間的兩個(gè)閉體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的一個(gè)平面圖形的面積總是另一個(gè)平面圖形面積的k倍，那么這個(gè)閉體的體積是另一個(gè)閉體體積的k倍.

圖1

三、現(xiàn)在我們通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明對(duì)定理2的應(yīng)用

例2 已知平面S：2x+y+z+10=0與橢球4x2+25y2+4z2=400相交于一個(gè)橢圓面S1.設(shè)其中心為M，求橢圓錐OS1的體積.

綜上所述，對(duì)于球體的相關(guān)體積問(wèn)題，我們可以通過(guò)利用坐標(biāo)的伸縮變換，將其轉(zhuǎn)化為單位球體中的體積來(lái)解決，很大程度上降低了問(wèn)題解決的難度，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

1.唐明甫.求平面封閉圖形面積的一種方法［J］.數(shù)學(xué)通訊，1999，4．

2．劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

3.劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（下）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

4.陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何(下)［M］.北京：高等教育出版社，2001.