“以退求進”的教學思考

☉安徽省六安第一中學 陸學政

☉安徽省六安第一中學 謝貽海

“以退求進”的教學思考

☉安徽省六安第一中學 陸學政

☉安徽省六安第一中學 謝貽海

陸學政：中學數(shù)學高級教師（2002年破格），安徽省特級教師（2012年元月），安徽省中學數(shù)學教學專業(yè)委員會理事，六安市學科帶頭人，2000年獲安徽省高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎（第二名）及全國二等獎，2001年獲安徽省第二屆教壇新星評比高中數(shù)學第一名，獲安徽省“教壇新星”稱號，2009年獲六安市“模范教師”稱號，近幾年在CN刊物發(fā)表論文20篇.

笛卡兒說，遇到任何一個“真理”都不能輕易接受，除非它可以分解為許多個小的、令我深信無疑的事實；波利亞說，如果我們想不起別的，可以試驗這個不熟悉的論斷的某個特例.這其中都蘊涵著一個重要的思維策略：以退求進.華羅庚教授更是明確指出，善于“退”，足夠地“退”，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅.

從哲學的角度，“以退求進”的策略體現(xiàn)了特殊與一般、偶然與必然、個性與共性、具體與抽象、現(xiàn)象與本質(zhì)的辯證統(tǒng)一.陌生的、抽象的、復雜的、一般性的問題，往往都包含著某些熟悉的、具體的、簡單的、特殊性的成分，而對這些成分的分析往往容易得多，同時它們也具有一定的代表性、啟示性.因此，通過科學地“退”，通過分析這些具有代表性的事例，從中尋求規(guī)律與聯(lián)系，進而找到原問題的解決途徑，是數(shù)學學習中經(jīng)常采用的方法.

關于“退”的策略很多，如：由復雜退到簡單、由一般退到特殊、由正面退到反面、由高維退到低維、由動退到靜、由不等退到等，由果退到因，等等，這里不再贅述.筆者認為，比“退”的策略更重要的是，教師在教學中如何自如地利用“退”，如何有效地引導學生“退”，如何最終實現(xiàn)使學生學會“退”.以下談談筆者對這些問題的初步思考.

一、理解數(shù)學，理解學生，才能自如“用退”

“以退求進”，不僅是一種解題策略，而且也是一種教學策略.從數(shù)學學科的角度，數(shù)學具有高度的抽象性，因此學生對數(shù)學問題的理解與掌握往往不可能一蹴而就；從現(xiàn)代認知心理學的角度，數(shù)學思維過程是一種信息加工過程，一般需要經(jīng)歷觀察與實驗、歸納與演繹、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括等幾個環(huán)節(jié)，才能到達思維的終點；從學生年齡特征的角度，中學生思維水平的發(fā)展需要經(jīng)歷從具體形象思維到以經(jīng)驗型為主的抽象邏輯思維，再到以理論型為主的抽象邏輯思維的過程，這是一個不斷積累、緩慢提高的過程.這些因素都要求教師在教學中必須自如地“用退”.

如何才能自如地“用退”？關鍵是教師自身要先“退”，善“退”，“退”到問題的起點，退到學生的現(xiàn)有認知水平.這就要求教師理解數(shù)學，理解學生.教師要能用“退”的眼光審視數(shù)學問題，準確把握數(shù)學問題的來龍去脈、深刻理解數(shù)學問題的實質(zhì)，只有教師自己對數(shù)學的內(nèi)容、思想、方法有較高水平的理解，才可能在教學中自覺地把數(shù)學的精神傳達給學生，才能為學生學習過程中的“再發(fā)現(xiàn)”創(chuàng)造條件；教師要能用“退”的眼光審視學生的知識能力基礎，審視學生的心理發(fā)展水平，審視學生的思維特點和過程，特別是審視學生學習中可能遇到的障礙及其成因，這樣才能明晰為什么要退，退到什么地方，進而采取合理的教學措施引導學生的數(shù)學思維活動，實現(xiàn)“低耗能，高回報”.

案例1 “數(shù)列與函數(shù)關系”的教學

這是“數(shù)列的概念與簡單表示法（第一課時）”的一個教學環(huán)節(jié)，也是本節(jié)課的難點.在實際教學中，經(jīng)常見到教師直接引導學生分析序號與項的對應關系及特征，得出數(shù)列的函數(shù)本質(zhì).這樣的教學，缺乏學生的主動建構(gòu)，實質(zhì)上是一種“告訴教學”，就像“從帽子里掏出一只兔子”.究其原因，主要是教師沒有用“退”的眼光審視數(shù)列與函數(shù)的關系以及學生的認知特點.函數(shù)本身是中學數(shù)學最抽象的概念之一，而用函數(shù)的觀點理解數(shù)列則更為抽象.若總是在抽象層面思考，沒有具體的例證，數(shù)學就會變得空洞，學生的思維也需要經(jīng)歷從具體到抽象的過程.那么，什么樣的具體例證能夠承載數(shù)列與函數(shù)本質(zhì)上的統(tǒng)一呢？是數(shù)列與函數(shù)的表示方法，二者都有表格、圖像、式子等不同的表示方法，不同的表示方法又具有內(nèi)在的統(tǒng)一性：自變量與因變量、序號與項對應關系中的存在唯一性（映射）特征，這就是教學的生長點.

有了上述理解，實施“以退為進”的教學策略也就非常自如了.

1.退——嘗試用不同的方法表示一個具體的數(shù)列

問題1：對于具體數(shù)列，僅用記號{an}并不能反映該數(shù)列的實際內(nèi)涵，那么，有哪些方法可以表示呢？如數(shù)列2，4，6，8，….請同學們自己動手，嘗試用多種方法表示這個數(shù)列.

設計意圖：由于簡單、具體數(shù)列的表示具有很強的實踐性，因此學生可以自主操作.在此過程中，教師重點巡查進展情況，鼓勵學生用不同的方法表示，更重要的是對學生的表示結(jié)果及時給予恰當反饋：肯定成果、指出不足、修正錯誤.

如，有學生列表如下：

教師提醒：這里，數(shù)列的項在變化，其實還有一個量在伴隨著它而變化，你能找出來嗎？

引導學生完善表格，得到：

又如，有學生作圖如下：

教師（含而不露）：這是用圖形的方法表示數(shù)列.用數(shù)軸表示數(shù)，很好的主意！請同學們按照此法，把數(shù)列8，6，4，2，…在數(shù)軸上表示出來.

（學生動手后，馬上發(fā)現(xiàn)與數(shù)列2，4，6，8，…圖示的結(jié)果完全相同）

教師（及時追問）：兩個不同的數(shù)列，表示結(jié)果完全一樣，顯然不行.問題出在哪里？請同學們先獨立思考，然后相互交流一下看法，并找出解決問題的辦法.

指導學生改進圖形（項與相應的序號必須“捆綁”，因此必須利用二維坐標表示），得到：

圖1

2.進——提煉不同表示法的共性，自然聯(lián)系到函數(shù)

問題2：這三種表示法都涉及哪些量？它們之間有什么關系？這種關系有什么共同特征？你以前見過類似的情況嗎？

問題3：已知數(shù)列{an}的通項公式為an=2n－1.

①寫出該數(shù)列的首項、第4項.

②63是該數(shù)列的第幾項？

③126是否為該數(shù)列的項？為什么？

④嘗試分析這個數(shù)列的性質(zhì).

設計意圖：在問題2中，學生充分調(diào)動觀察、比較、分析、概括等各種思維方式，不斷接近問題的本質(zhì)，自主感受到數(shù)列與函數(shù)的“姻親”關系，進而將函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素進行“遷移”，得到函數(shù)與數(shù)列的共同特征和區(qū)別.然后通過問題3的具體練習，進一步加深了學生對數(shù)列的函數(shù)背景的認識與理解.

為了讓學生理解抽象的數(shù)學結(jié)論，“以退求進”，先設置一個學生熟悉的具體情境，把抽象結(jié)論寓于其中，使學生經(jīng)歷一個從具體到抽象的過程，學生對數(shù)學原理的理解也就變得自然了，數(shù)學也就變得具體、形象而生動了.這正是培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力的“不二法門”.

二、精心設計，激發(fā)思維，才能有效“引退”

如果說案例1中的“以進求退”對學生來說是以一種“不露痕跡”的方式進行的，那么更多的“以退求進”則是一種“明目張膽”的形式，要明確地引導學生“退”，讓學生通過“退”感受問題的背景，通過“退”揭示問題的實質(zhì)，通過“退”實現(xiàn)問題的解決，感覺“退”帶來的變化，體驗“退”帶來的力量.這是學生學習過程中必須經(jīng)歷的理解、模仿階段，也是充分體現(xiàn)教師教學主體作用的階段，需要教師有效“引退”.

如何才能有效地“引退”？關鍵是教師要提好的問題、精心設計教學過程，以激發(fā)學生的思維.提出的問題要反映當前學習內(nèi)容的本質(zhì)，要在學生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，這樣才能形成認知沖突，使學生的心理保持積極的、適度的求知傾向；教學過程必須讓學生有充分的獨立思考空間，有足夠的思維參與度.這里要注意兩點：一是“引退”的方式，若將待解決問題作為“終點”，退回去的初始狀態(tài)作為“起點”，應盡量采用“終點——起點——終點”的“引退”方式.“起點”最好不是教師主動提供的，而是學生在教師引導下的主動獲得；二是“引退”的“度”，“退”不是對思維層次的降低，不是簡單地把知識分解為一些沒有內(nèi)在聯(lián)系的片段，不是忽略內(nèi)涵與知識整體中的那些綜合的思想和策略，不是把高認知要求的數(shù)學任務轉(zhuǎn)化為低水平的任務，否則，“退”就失去了最根本的目的——促進學生的思維發(fā)展.

案例2 “坐標平面上兩點間距離公式”的推導

與針對“點到直線距離公式推導”的教學設計討論的“紅紅火火”相比，對“兩點間距離公式推導”的教學設計的討論則顯得異常冷清，可能覺得它很簡單，沒有多少思考的價值吧，對此筆者有不同的看法.“兩點間距離公式”的推導，體現(xiàn)了“一維與二維”的辯證關系及化歸思想，也是培養(yǎng)學生“以數(shù)示形，以形促數(shù)，數(shù)形結(jié)合”思想的較好機會，因此具有很高的教學價值.公式推導的關鍵是，如何引導學生通過探究，自主構(gòu)造出以P1P2為斜邊的直角三角形.學生只學過數(shù)軸上兩點間的距離公式，這是一維的問題，而平面上兩點間距離是二維問題，一維是二維的特殊情況，二維又是一維的推廣.因此，應該將二維問題先“退”到一維的情況；同時考慮到個體的差異性，可能有的學生對數(shù)軸上兩點間的距離公式也沒有牢固掌握，于是作為教學預案，將數(shù)軸上其中一點固定為原點（對應實數(shù)0），這時，又“退”到數(shù)軸上一點到原點的距離，即實數(shù)絕對值的幾何意義，這就是公式推導的“起點”.

教學設計如下：

1.退——平面到數(shù)軸

問題1：你認為什么是平面上兩點P1，P2距離的特殊情況？

設計意圖：教師“引退”，讓學生自己思考“特例”，確定研究的起點.如果有困難，教師可適當啟發(fā).學生可能形象地說出“P1P2是水平線段或鉛垂線段時最特殊”，這時教師引導學生利用平移將其歸結(jié)到坐標軸（x軸或y軸）上.

問題2：（1）當P1，P2是數(shù)軸上兩點的時候，設P1的坐標是x1，P2的坐標是x2，你能求出P1，P2的距離嗎？

如學生回答問題（1）有困難，教師可繼續(xù)設問（再“引退”）：

（2）你認為什么是數(shù)軸上兩點P1，P2距離的特殊情況？

（3）當P1是數(shù)軸原點的時候，你能求出P1，P2的距離嗎？進而返回解決問題（1）.

問題3：設平面上兩點P1（x1，y0），P2（x2，y0），你能求出P1，P2的距離嗎？若改為P1（x0，y1），P2（x0，y2）呢？

設計意圖：將數(shù)軸的情形遷移到與坐標軸平行（或重合）的情形，但本質(zhì)并未改變（仍然是一維問題）.

2.進——數(shù)軸到平面

問題4：設平面上兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），你認為如何求出P1，P2的距離？

設計意圖：為最終解決一般情況下的平面上兩點間距離問題，引導學生利用化歸思想，在前面“退”的基礎上自行找到解決途徑（即構(gòu)造以P1P2為斜邊的直角三角形）.

問題5：平面上兩點間距離公式對特殊情況也適用嗎？公式推導體現(xiàn)了什么樣的思考方法？

設計意圖：一方面旨在揭示公式的一般性與特殊性的關系，另一方面旨在揭示公式推導過程中蘊涵的思想方法，給學生以啟迪.

為了讓學生順利找到解題途徑，“以退為進”，引導學生考慮特殊的、具體的、簡單的情形，突出了新舊知識的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，使學生經(jīng)歷一個從特殊到一般的過程，提高了學生的思維層次，培養(yǎng)了學生的思維能力.

三、指導應用，反思提升，才能實現(xiàn)“會退”

“引退”的目的是為了讓學生最終“會退”，因此，“引退”時問題設置的梯度應該由小逐漸變大，開放性越來越強，越來越強調(diào)學生的獨立思考，教師更多的是以指導者的身份出現(xiàn)，提供給學生典型素材加以訓練，指導學生及時總結(jié)，幫助學生反思提升.同時，“以退為進”的思考策略不是一朝一夕就能掌握的，教師要更多地指導學生在平時的學習中不斷嘗試，積累解題經(jīng)驗，增加解題智慧，最終實現(xiàn)“會退”.

案例3 “共交點的直線系”的教學

教材先給出例子：求直線l1：3x+4y－2=0與直線l2：2x+y+2=0的交點坐標，然后在“探究”中提出：當λ變化時，方程3x+4y－2+λ（2x+y+2）=0表示什么圖形？圖形有何特點？

若從培養(yǎng)學生“會退”能力的角度出發(fā)，在符合學生認知基礎的前提下，教學設計完全可以靈活處理，以更加具有開放性的問題呈現(xiàn)教學過程：

給出式子：（3+2λ）x+（4+λ）y+2λ－2=0，其中實數(shù)λ在變化.

問題1：你如何理解這個式子？它是什么？

設計意圖：明確式子的“身份”，指導學生分別從數(shù)與形的角度加以理解，得出：它是一個關于x、y的二元一次方程，表示一條直線.

問題2：當實數(shù)λ變化時，直線也隨之變化，你覺得什么值得研究？如何研究？

設計意圖：這是一個較開放的問題，沒有研究的最終目標，更沒有研究的方法與途徑.學生只能靠自己原有的經(jīng)驗和智慧進行思考.最終得出：研究直線的變化規(guī)律，可以先取λ的幾個特殊值，畫出相應的直線，試一試（培養(yǎng)學生“退”的意識）.

（在學生發(fā)現(xiàn)作出的幾條直線共點，進而通過解方程組解出交點坐標后）

問題3：問題解決了嗎？

設計意圖：引導學生從特殊回到一般，驗證所有這樣的直線均經(jīng)過該點.

問題4：反思剛才的過程，從知識上、方法上你有哪些收獲？有沒有可以改進的地方？

問題5：還有什么值得研究的問題？

提出的問題越開放，對學生獨立思考能力、綜合思維能力的要求越高，對培養(yǎng)學生“會退”能力的鍛煉價值也就越大.當然，開放是相對的，問題的開放度也要量力而行，不能偏離教學的最終目標.

四、結(jié)語

教師能否自如“用退”，能否有效“引退”，學生是否“會退”，最終取決于教師的專業(yè)素養(yǎng)，取決于教師是否具有比較扎實的數(shù)學理論功底，取決于教師是否懂得教學方法，是否知道如何引導學生的數(shù)學學習，取決于教師能否自覺、主動地理解和把握學生的數(shù)學學習心理，并在此基礎上，研究和把握教學過程中教與學相互作用的基本規(guī)律.只有教師時刻加強專業(yè)學習，不斷提高專業(yè)水平，才能“退”得自覺，“退”得自主，“退”得自然，“退”得自如，學生才能真正感受到“退一步，海闊天空”.

1.普通高中課程標準實驗教科書（人教A版數(shù)學必修2）.北京：人民教育出版社，2011.

2.普通高中課程標準實驗教科書（人教A版數(shù)學必修5）.北京：人民教育出版社，2007.

3.曹才翰，章建躍.中學數(shù)學教學概論（第二版）.北京：北京師范大學出版社，2008.

4.曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學（第二版）.北京：北京師范大學出版社，2007.

5.喻平.數(shù)學教學心理學.北京：北京師范大學出版社，2010.

6.羅增儒.數(shù)學解題學引論.西安：陜西師范大學出版社，2008.