三角函數(shù)內(nèi)容的的淺顯分析

摘要：眾所周知，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的精髓，是描述現(xiàn)實生活中周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，它不僅在數(shù)學(xué)中起了重要作用，而且與物理、生物、自然界的各種周期現(xiàn)象緊密聯(lián)系。本文從宏觀整體、個別概念和特定內(nèi)容三個方面對三角函數(shù)內(nèi)容進行了分析。以對三角函數(shù)有更好的定位，從而能夠更好地把握三角函數(shù)的教學(xué)。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；周期；單位圓

中圖分類號：G642.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）09-0249-02

1.三角函數(shù)的宏觀整體分析

1.1內(nèi)容分析

1.1.1背景分析。三角函數(shù)是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的最后一個基本初等函數(shù)，它產(chǎn)生的實際背景是實際生活中存在的大量周期現(xiàn)象，它是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是最基本的周期函數(shù).在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。通過實例，學(xué)習(xí)三角函數(shù)并研究三角函數(shù)的基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有周期性變化規(guī)律中的問題教學(xué)。

1.1.2教學(xué)目標。（1）知識與技能：了解任意角的概念，能借助單位圓的直觀掌握三角函數(shù)的所有內(nèi)容。（2）過程與方法：通過本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進一步加深對函數(shù)概念的理解，提高用函數(shù)概念解決問題的能力。

1.1.3知識結(jié)構(gòu)

1.1.4蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。①方程的思想；②函數(shù)的思想；③數(shù)形結(jié)合的思想；④化歸與轉(zhuǎn)化的思想；⑤分類討論的思想；⑥換元法；⑦整體的方法；⑧類比聯(lián)想的方法。

1.1.5重點、難點。重點：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；難點：運用三角函數(shù)知識解決代數(shù)、幾何和實際問題。

1.1.6教育價值。（1）有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用；（2）有助于學(xué)生認識數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造過程；（3）有助于發(fā)展學(xué)生的運算能力和推理能力。

1.2教材分析的原則和方法

方法：理論與實踐相結(jié)合的方法、教與學(xué)相結(jié)合的方法；

原則：課標原則、學(xué)生中心原則、突出數(shù)學(xué)思想方法原則、聯(lián)系的原則。

2.任意角的三角函數(shù)的概念的教材分析

2.1內(nèi)容分析

2.1.1背景分析。三角函數(shù)是函數(shù)的一個特例，是函數(shù)概念的下位概念，與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應(yīng)該按照概念的體系將之納入到原有的認知結(jié)構(gòu)中，揭示彼此之間的關(guān)系，認識新概念的本質(zhì)屬性。通過概念的同化與精致過程，幫助學(xué)生理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，并在這個過程中突出單位圓的作用。

2.1.2教學(xué)目標。知識目標：（1）掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2）已知角α終邊上一點，會求角α的各三角函數(shù)值；（3）記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。能力目標：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。德育目標：（1）使學(xué)生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；（2）學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神；

2.1.3教學(xué)重點。幫助學(xué)生理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，并在這個過程中突出單位圓的作用。

2.1.4教學(xué)難點。利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來。

2.1.5知識結(jié)構(gòu)圖

2.1.6蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想、類比聯(lián)想的方法、化歸與轉(zhuǎn)化的思想。

2.2教材分析的方法和原則

方法：理論與實踐相結(jié)合的方法、教與學(xué)相結(jié)合的方法。

原則：課標原則、學(xué)生中心原則、教師主導(dǎo)原則、突出數(shù)學(xué)思想方法原則、理論聯(lián)系實際的原則。

3.三角函數(shù)特定內(nèi)容分析

在本章的學(xué)習(xí)中，單位圓扮演了重要的角色，那么，借助單位圓研究問題給我們帶來了哪些好處呢？我認為應(yīng)從如下四個方面來探討這個問題：（1）利用單位圓定義正弦、余弦、正切函數(shù)，使得這三個三角函數(shù)從角的弧度數(shù)到角的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標建立起的聯(lián)系更加簡潔、明了，學(xué)生掌握起來也較容易。而且能夠更好地反映三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型。（2）初中的角是通過兩邊夾出來的，而高中的角不僅是通過一條射線繞著一個點轉(zhuǎn)出來的，而且是可以用單位圓的半徑來度量的。（3）用單位圓來定義三角函數(shù)，可以讓學(xué)生更好地掌握其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，即數(shù)形結(jié)合的思想。我們知道，單位圓上點的橫縱坐標就是相應(yīng)的三角函數(shù)線的數(shù)量。（4）三角函數(shù)是一類特殊的函數(shù)，它自身具有很多性質(zhì)，利用單位圓的很好的幾何特性——對稱性來研究三角函數(shù)，對我們掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，提供了極大的方便。

參考文獻：

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作者簡介：袁娜（1988-），女，湖北省武漢市華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院教師，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院2010級研究生，研究方向：數(shù)學(xué)課程設(shè)計。