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    角元塞瓦定理的應(yīng)用

    2011-11-21 01:44:37
    關(guān)鍵詞:逆定理平分線正弦

    (天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育科學(xué)與數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 天津 300387)

    角元塞瓦定理的應(yīng)用

    ●李建泉

    (天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育科學(xué)與數(shù)學(xué)奧林匹克研究所 天津 300387)

    在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,平面幾何是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的重要環(huán)節(jié).競(jìng)賽中與此相關(guān)的知識(shí)對(duì)于參加自主招生考試的學(xué)生來說幫助很大.下面通過塞瓦定理及相關(guān)的一些例子加以說明.

    塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一點(diǎn),直線PA,PB,PC與直線BC,CA,AB分別交于點(diǎn)D,E,F,則

    塞瓦定理還有一個(gè)三角形式的表述.

    角元塞瓦定理P是△ABC所在平面上的一點(diǎn),直線PA,PB,PC與直線BC,CA,AB分別交于點(diǎn)D,E,F,則

    角元塞瓦定理的逆定理若點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別是直線BC,CA,AB上的點(diǎn),且滿足

    則AD,BE,CF三線交于一點(diǎn).

    下面只給出當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)塞瓦定理的證明,其他情形的證明類似.

    在△PAB中,由正弦定理可得

    PA·sin∠BAD=PB·sin∠ABE.

    同理可得

    PB·sin∠CBE=PC·sin∠BCF;

    PC·sin∠ACF=PA·sin∠CAD.

    將這3個(gè)等式相乘,可得

    sin∠BAD· sin∠CBE·sin∠ACF=

    sin∠ABE·sin∠BCF·sin∠CAD,

    下面給出幾個(gè)應(yīng)用角元塞瓦定理的例子.

    例1已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足

    ∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO,

    求證:△ABC的3條邊長(zhǎng)成等比數(shù)列.

    (2011年北京大學(xué)保送生考試試題)

    分析條件中明顯有AO,BO,CO三線交于一點(diǎn)O的條件,但沒有給出這3條線與對(duì)邊的交點(diǎn),且還給出了與角度有關(guān)的條件,應(yīng)用角元塞瓦定理,再結(jié)合分析的方法,可以作為一條尋求解決問題的途徑.

    圖1

    證明如圖1所示,設(shè)∠BAO=∠CAO=∠CBO=∠ACO=α,∠ABO=β,∠BCO=γ,則4α+β+γ=π.由角元賽瓦定理可得

    sin2α=sinβsinγ.

    下面證明BC2=AB·AC.因?yàn)?/p>

    BC2=AB·AC

    ? sin22α=sin(α+β)sin(α+γ)

    ? 1+cos(β+γ)=cos(β-γ)+cos2α

    ? 1+cosβcosγ-sinβsinγ=cosβcosγ+sinβsinγ+

    1-2sin2α

    ? sin2α=sinβsinγ.

    注三角形內(nèi)滿足∠BAO=∠CBO=∠ACO的點(diǎn)O,稱為△ABC的布洛卡點(diǎn).

    例2P為銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn),直線la和PA關(guān)于∠A的角平分線對(duì)稱,直線lb和PB關(guān)于∠B的角平分線對(duì)稱,直線lc和PC關(guān)于∠C的角平分線對(duì)稱.

    (1)證明:la,lb,lc三線交于一點(diǎn)Q;

    (2)若點(diǎn)P在3條邊BC,CA,AB上的投影分別為D,E,F(xiàn),證明:點(diǎn)P為△DEF的重心的充要條件是Q為△ABC的重心.

    分析在第(1)小題中,條件給出的是AP,BP,CP三線交于一點(diǎn)P,仍然沒有給出這3條直線與對(duì)邊的交點(diǎn),但是給出的對(duì)稱的條件與角度有關(guān).應(yīng)該利用角元塞瓦定理將條件轉(zhuǎn)化為等式,結(jié)合角元塞瓦定理的逆定理,將要證明的la,lb,lc三線交于一點(diǎn)也轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)等式,從而使條件與結(jié)論聯(lián)系起來.在第(2)小題中,多個(gè)側(cè)面的問題往往可以通過一個(gè)側(cè)面突破,從而全面解決問題.

    需要說明的是,通過AP,BP,CP的延長(zhǎng)線與對(duì)邊的交點(diǎn)也可以證明這個(gè)結(jié)論.實(shí)際上,很多結(jié)論都是等價(jià)的,證法也很多,這里只是通過條件和結(jié)論之間的關(guān)系來尋求一條解決問題的途徑.

    證明(1)設(shè)∠PAB=α,∠PBC=β,∠PCA=γ,la,lb,lc分別與BC,CA,AB交于點(diǎn)L,M,N,則

    ∠LAC=α,∠MBA=β,∠NCB=γ.

    因?yàn)镻A,PB,PC三線交于一點(diǎn),所以由角元塞瓦定理得

    由角元塞瓦定理的逆定理,得la,lb,lc三線交于一點(diǎn)Q.

    圖2

    (2)如圖2,因?yàn)锳,E,P,F四點(diǎn)共圓,所以∠PEF=α,∠PFE=∠A-α.設(shè)直線DP與EF交于點(diǎn)K,由B,D,P,F(xiàn)和C,D,P,E四點(diǎn)共圓,可得∠FPK=∠B,∠EPK=∠C.在△PFK和△PEK中,由正弦定理可得

    在△ABL和△ACL中,由正弦定理可得

    于是

    FK=EK,

    從而

    BL=CL.

    同理可得,直線EP平分DF的充要條件是CM=AM,直線FP平分DE的充要條件是AN=BN,即點(diǎn)P為△DEF的重心的充要條件是Q為△ABC的重心.

    注直線AP,la稱為∠A的等角線,P,Q稱為△ABC的等角共軛點(diǎn).

    例3已知△ABC的內(nèi)切圓⊙I分別與3條邊BC,CA,AB切于點(diǎn)A1,B1,C1,l為過點(diǎn)I的任意一條直線,A′,B′,C′分別是A1,B1,C1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),證明:AA′,BB′,CC′三線交于一點(diǎn)[1].

    (2009年保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

    分析對(duì)稱的條件中既有角相等,也有邊相等,由對(duì)稱軸過⊙I的圓心以及弧相等,結(jié)合切線的條件,可以得到一些非對(duì)稱的角度的相等.相似和全等是處理線段和角度關(guān)系常用的手段,但是如果在尋求解題途徑中無法找到相似和全等,那么常用的方法是運(yùn)用正弦定理.在處理比例式時(shí),利用面積有時(shí)也能起到同樣的作用.

    圖3

    因?yàn)?/p>

    所以

    BB′sin∠A1BB′,

    AA′sin∠CAA′=BB′sin∠CBB′.

    同理可得

    BB′sin∠ABB′=CC′sin∠ACC′,

    CC′sin∠BCC′=AA′sin∠BAA′.

    將上面3個(gè)式子相乘,可得

    sin∠CAA′sin∠ABB′sin∠BCC′=

    sin∠CBB′sin∠ACC′sin∠BAA′,

    由角元塞瓦定理的逆定理,可得AA′,BB′,CC′三線交于一點(diǎn).

    例4設(shè)Γ(I)是以△ABC的內(nèi)心I為圓心的一個(gè)圓,由點(diǎn)I向邊BC,CA,AB引垂線,分別與Γ(I)交于點(diǎn)D,E,F(xiàn),證明:AD,BE,CF三線交于一點(diǎn)[2].

    分析與例3類似,可以采用類似的方法,也可以利用對(duì)稱得到的點(diǎn)到直線的距離相等來直接計(jì)算相關(guān)角的正弦.

    證明設(shè)∠CAD=α1,∠BAD=α2,∠ABE=β1,∠CBE=β2,∠BCF=γ1,∠ACF=γ2,d(X,YZ)表示點(diǎn)X到直線YZ的距離.因?yàn)镈,E關(guān)于∠BCA的角平分線CI對(duì)稱,所以

    d(D,CA)=d(E,BC).

    同理可得

    d(E,AB)=d(F,CA),d(F,BC)=d(D,AB).

    所以

    圖4

    由角元塞瓦定理的逆定理,可得AD,BE,CF三線交于一點(diǎn).

    利用角元賽瓦定理的例子很多,這里只就幾個(gè)例子來說明利用我們掌握的知識(shí),挖掘條件與結(jié)論之間的關(guān)系,以達(dá)到最終解決問題的目的.

    [1] 2009保加利亞數(shù)學(xué)奧林匹克.國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽題及精解[J],李炘譯.中等數(shù)學(xué),2010(增刊):40-41.

    [2] 2003年IMO中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)教練組.走向IMO數(shù)學(xué)奧林匹克試題集錦(2003)[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2003.

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