例談方程整數(shù)解問題的解法

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(新星學(xué)校 浙江蒼南 325800)

例談方程整數(shù)解問題的解法

●易永彪

(新星學(xué)校 浙江蒼南 325800)

在各類數(shù)學(xué)競賽和高中自主招生考試中,二次方程整數(shù)解問題備受關(guān)注.它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)知識相結(jié)合,涉及知識面寬、范圍廣,往往需要靈活地運(yùn)用相關(guān)概念、性質(zhì)、方法和技巧,綜合性強(qiáng),對學(xué)生的能力有較高的要求.本文將對方程整數(shù)解問題的解法與基本策略作一探索,旨在拋磚引玉.

1 巧用因式分解

例1方程-m4+4m2+2nm2+2n+5=0的正整數(shù)解有

( )

A．1組 B．2組 C．4組 D．無窮多組

(2009年浙江省溫州中學(xué)自主招生考試試題)

解原方程可化為

m4-(2n+4)m2-(2n+5)=0,

可得

[m2-(2n+5)](m2+1)=0.

因?yàn)?/p>

m2+1gt;0,

所以

m2=2n+5.

(1)

因此m為奇數(shù),不妨設(shè)m=2k+1(k為自然數(shù)),代入式(1)得

k2+k-1=2n-2.

因?yàn)閗2與k的奇偶性相同,所以k2+k-1是奇數(shù),不能被偶數(shù)整除,因此2n-2只能為1，從而

n=2,m=3,

原方程只有1組正整數(shù)解.故選A.

例2已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(a≠0)至少有一個(gè)整數(shù)根,求整數(shù)a的值.

解已知方程經(jīng)整理得

[ax-(a-5)][ax-(2a-3)]=0,

解得

由題意知a為整數(shù),因此a的取值為

1,3,5,-1,-3,-5.

評注分析方程的形式特征,可采用因式分解、求根公式等方法求得方程的根,再結(jié)合整除性質(zhì)、奇偶性等進(jìn)行求解.

2 巧用判別式

例3設(shè)m為整數(shù)，且4lt;mlt;40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有2個(gè)相異整數(shù)根，求m的值及方程的根．

解由題意知

Δ=4(2m-3)2-4(4m2-14m+8) =4(2m+1).

對4lt;mlt;40的整數(shù)m，要使Δ=4(2m+1)為完全平方數(shù)的m只能取為12和24，而

因此當(dāng)m=12時(shí)，x1=16,x2=26；當(dāng)m=24時(shí)，x1=38,x2=52.

例4已知p為質(zhì)數(shù),使二次方程x2-2px+p2-5p-1=0的2個(gè)根都是整數(shù),求出p的所有可能值.

解由已知整系數(shù)二次方程有整數(shù)根,得

Δ=4p2-4(p2-5p-1)=4(5p+1)

為完全平方數(shù),從而5p+1為完全平方數(shù).因此可設(shè)5p+1=k2.注意到p≥2,因此k≥4,且k為整數(shù)，于是

那么k+1與k-1中至少有一個(gè)是5的倍數(shù),即k=5a±1(a為正整數(shù)),因此

5p+1=(5a±1)2=25a2±10a+1,

解得

p=a(5a±2).

由p為質(zhì)數(shù),5a±2gt;1,可知a=1,因此

p=3或p=7.

當(dāng)p=3時(shí),原方程變成x2-6x-7=0,解得

x1=-1,x2=7；

當(dāng)p=7時(shí),原方程變成x2-14x+13=0,解得

x1=1,x2=13.

故p=3或p=7.

評注因?yàn)檎禂?shù)二次方程有整數(shù)根,所以Δ必為完全平方數(shù)．當(dāng)問題比較復(fù)雜時(shí)，可通過恰當(dāng)設(shè)元、引入?yún)?shù),利用因式分解、數(shù)論等方法求解．

3 巧用韋達(dá)定理

例5求使關(guān)于x的方程kx2+(k+1)x+k-1=0的根都是整數(shù)的k值.

解當(dāng)k=0時(shí),x=1符合題意.

當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)方程kx2+(k+1)x+k-1=0的2個(gè)根為x1,x2(x1≤x2),因此

(2)

由式(2)-式(3)得

x1+x2-x1x2=-2,

于是

(x1-1)(x2-1)=3,

解得

從而

綜上所述,滿足題意的k值為

例6已知關(guān)于x的一元二次方程x2+cx+a=0的2個(gè)整數(shù)根恰好比方程x2+ax-b=0的2個(gè)根都大1,求a+b+c的值.

(2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

解設(shè)方程x2+ax+b=0的2個(gè)根為α,β,其中α,β為整數(shù),且α≤β,則方程x2+cx+a=0的2個(gè)根為α+1,β+1.由題意得

α+β=-a,(α+1)(β+1)=a,

兩式相加得

αβ+2α+2β+1=0,

即

(α+2)(β+2)=3,

解得

又因?yàn)?/p>

a=-(α+β),b=αβ,c=-[(α+1)+(β+1)],

所以a=0,b=-1,c=-2；或a=8,b=15,c=6,

故

a+b+c=-3或a+b+c=29.

評注從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù),可得關(guān)于兩根的不定方程,借助因數(shù)分解、因式分解求解.

4 巧用主元更換

例7若關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-13)=0至少有一個(gè)整數(shù)根,求非負(fù)整數(shù)a的值.

ax2+2(a-3)x+(a-13)=0,

化簡得

(x+1)2a=6x+13,

因此

即

x2-4x-12≤0,

解得

-2≤x≤6.

因?yàn)閤為整數(shù),x≠-1,所以x的值可取為

-2,0,1,2,3,4,5,6.

把x分別代入求得a的值,且a為非負(fù)整數(shù),可得a的值為1,13.

例8已知

試求x2+y2+z2+u2的值．

解本題為四元二次方程，直接求解相當(dāng)困難，但各個(gè)方程結(jié)構(gòu)完全相同，因此可考慮更換主元．原方程與

等價(jià)，這里t的值為4,16,36,64.

當(dāng)t≠1,9,25,49時(shí),方程(4)與

(t-9)(t-25)(t-59)x2+

(t-1)(t-25)(t-49)y2+

(t-1)(t-9)(t-49)z2+

(t-1)(t-9)(t-25)u2-

(t-1)(t-9)(t-25)(t-49)=0

(5)

等價(jià).而式(5)是關(guān)于t的四次方程，至多有4個(gè)根.因?yàn)閠=4,16,36,64是式(4)的根，所以必為式(5)的4個(gè)根，即式(5)等價(jià)于

(t-4)(t-16)(t-36)(t-64)=0.

對比展開式t3的系數(shù)可得

x2+y2+z2+u2+1+9+25+49=

4+16+36+64，

故

z2+y2+z2+u2=36．

評注當(dāng)一個(gè)方程按常規(guī)意義下的求解比較困難時(shí),可以通過觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇更換主元，使方程次數(shù)和結(jié)構(gòu)形式發(fā)生變化，從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)容易求解的問題．