關(guān)于中學(xué)概率內(nèi)容的教與學(xué)

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(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)統(tǒng)計(jì)系 安徽合肥 230022)

關(guān)于中學(xué)概率內(nèi)容的教與學(xué)

●蘇淳

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)統(tǒng)計(jì)系 安徽合肥 230022)

概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容進(jìn)入中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂是近幾年的新生事物，是與國際接軌的一項(xiàng)舉措，符合與時(shí)俱進(jìn)的精神.

但是，綜觀整個(gè)中小學(xué)階段的教學(xué)內(nèi)容安排，卻令人感覺雜亂無章，缺乏統(tǒng)一考慮和整體安排.有些內(nèi)容反復(fù)出觀，有些內(nèi)容缺乏深度.

以下，筆者僅就個(gè)人的體會(huì)，談兩點(diǎn)看法.

1 古典概型與計(jì)數(shù)

現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課本的最大不足在于忽視基本功的訓(xùn)練，試圖在沙灘上建高樓.在古典概型中不重視對概率計(jì)算方法的教學(xué)就是其中的一種表現(xiàn)，其結(jié)果是造成學(xué)生只會(huì)用繁雜的方法計(jì)算古典概率，既使學(xué)生學(xué)得無味，又憑空增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān).

因?yàn)楣诺涓判退婕暗慕y(tǒng)計(jì)試驗(yàn)都只有有限個(gè)可能的基本結(jié)果，所以引入一個(gè)符號Ω來表示所有可能的基本結(jié)果之集是一件輕而易舉的事情.而且這樣一來，樣本空間、基本事件、隨機(jī)事件的直觀概念便自然而然地為學(xué)生所接受，為后面的學(xué)習(xí)打開了方便之門.這種既方便又有利的事情，現(xiàn)行中學(xué)課本卻沒有去做.

應(yīng)當(dāng)指出，如何正確利用式(1)計(jì)算概率，是大有講究的.下面舉例說明.

例1一個(gè)籠子里關(guān)著10只貓，其中有7只白貓、3只黑貓.把籠門打開一個(gè)小口，使得每次只能鉆出1只貓.貓爭先恐后地往外鉆.如果10只貓都鉆出了籠子，以Ak表示第k只出籠的貓是黑貓的事件，試求P(Ak)(k=1,2,…,10).

分析顯然，如果用Ω表示10只貓出籠的所有不同的可能列隊(duì)順序構(gòu)成的集合，那么Ak就是由所有符合條件的列隊(duì)順序所構(gòu)成的子集.

這是一種最容易被同學(xué)接受的解法.但是，由于使用的是排列模式計(jì)數(shù)，把10只貓視為10個(gè)不同的元素，然而貓有時(shí)是很難識別的，除了顏色易于區(qū)分之外，在顏色相同的貓之間往往很難分辨出誰是誰，因此在計(jì)算它們出籠的先后順序時(shí)，未必能視為10個(gè)不同元素的排列.相反地，把同種顏色的貓看成相同的元素，似乎要更加合理一些.由此看來，不如采用不盡相異元素的排列模式計(jì)算出籠順序.

就運(yùn)算過程而言，這種方法較之解法1要簡單得多;就所說的道理而言，也無不當(dāng)之處.最為重要的是：盡管采用了2種不同的計(jì)數(shù)模式計(jì)算|Ω|和|Ak|,但是計(jì)算出的概率值卻是相等的.這就告訴我們，概率計(jì)算問題不同于普通的計(jì)數(shù)問題，在概率計(jì)算問題中，重要的不是采用何種計(jì)數(shù)模式來計(jì)算樣本空間和隨機(jī)事件中的樣本點(diǎn)(基本事件)的數(shù)目，而是要保證對兩者采用同一種計(jì)數(shù)模式.鑒于上述考慮，還可以給出貓出籠問題的其他解法.

這樣，我們又得到了與前面2種解法完全相同的結(jié)果.這個(gè)例子告訴我們：對于古典概型問題，可以有多種不同的解法，并且可以采用不同的計(jì)數(shù)模式計(jì)算樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù).但是，必須對樣本空間和隨機(jī)事件采用相同的計(jì)數(shù)模式，并且能夠給出合理的解釋.

例2籠內(nèi)關(guān)有6只果蠅，不慎混入2只蒼蠅，只好把籠子打開一個(gè)小孔，讓蠅子一只一只飛出去，直到2只蒼蠅都飛出籠子，再關(guān)閉小孔.以X表示籠內(nèi)所剩下的果蠅數(shù)目，求X的分布律.

分析這是一道建立在古典概型基礎(chǔ)上的隨機(jī)變量試題，其關(guān)鍵仍然是合理計(jì)算古典概率．

解X的取值集合為{0,1,…,6}，并且對任何k∈{0,1,…,6},(X=k)都是一個(gè)隨機(jī)事件，它表示共飛走了8-k只蠅子，其中最后飛走的一只是蒼蠅，在前7-k只蠅子中有一只是蒼蠅.

可以設(shè)想所有蠅子都飛出了籠子，考察最后有多少只連續(xù)飛出的果蠅，這時(shí)的果蠅數(shù)目仍然是X，我們記Ak=(X=k).如果以Ω表示蠅子出籠的所有可能順序的集合，那么Ak就是最后有k只連續(xù)飛出的果蠅的各種可能順序所構(gòu)成的子集.顯然，可以利用排列模式計(jì)算|Ω|和|Ak|.但不如采用組合模式方便：

(在前7-k只蠅子中有1只是蒼蠅)，因此

2 全概率公式應(yīng)當(dāng)成為中學(xué)概率教學(xué)的落腳點(diǎn)

中小學(xué)關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)前后跨越了10年之久，然而最后卻始終未能引出全概率公式.全概率公式不僅是初等概率發(fā)展史中的里程碑，其意義與價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了歷史的局限，迄今仍在概率統(tǒng)計(jì)的各個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮著無可替代的重要作用.

對于中學(xué)生來說，全概率公式并不難接受，相反，卻能大大提高他們的解題能力，更能提高他們的學(xué)習(xí)興趣.

例3有2個(gè)罐子，在第1個(gè)罐中放有7個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球，在第2個(gè)罐中放有5個(gè)紅球、4個(gè)白球和3個(gè)黑球.從第1個(gè)罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入第2個(gè)罐中，再從第2個(gè)罐中隨機(jī)取出1個(gè)球來.試求從第2個(gè)罐中隨機(jī)取出的球?yàn)榧t球的概率.

分析這是一個(gè)我們從未遇到過的問題.在這個(gè)問題中，包含了2個(gè)相繼進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)，并且第2個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果受到第1個(gè)試驗(yàn)之結(jié)果的影響.

解分別以A1，A2，A3表示由第1個(gè)罐子取往第2個(gè)罐子的球是紅球、白球和黑球的事件．顯然這3個(gè)事件兩兩不交，并且它們之并就是Ω,因此

從而

(2)

由于A1，A2，A3都是第一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果，為計(jì)算它們的概率，將樣本空間取為第1次取球的所有可能結(jié)果之集，并按古典概型計(jì)算之,因此

綜上所述,可得

這種方法把一個(gè)較為復(fù)雜的概率計(jì)算問題分解為一系列易于計(jì)算的步驟.為了總結(jié)這個(gè)方法，先給出一個(gè)定義.

在必要時(shí)，可以把分劃的概念推廣到可列個(gè)事件(即n為+∞)的情形.

利用對樣本空間Ω的分劃，我們給出如下的概率計(jì)算公式.

定理1(全概率公式)設(shè)A1，A2，…，An是對樣本空間Ω的一個(gè)分劃，如果P(Ak)gt;0，k=1，2，…，n，則對任何隨機(jī)事件B，都有

在可列情形下,相應(yīng)地有：

通過例1的解答，我們看到了全概率公式的威力．在使用該公式時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意正確選擇Ω的分劃{Αk，k=1，2，…，n}.若選擇不當(dāng)，則難以達(dá)到簡化計(jì)算的目的．

同理可得

于是由全概率公式得

因此結(jié)論對一切n都成立．

例5甲、乙2人輪流拋擲一枚均勻的骰子．甲先擲，一直到擲出了1點(diǎn)，交給乙擲，而到乙擲出了1點(diǎn)，再交給甲擲，并如此一直下去．試求第n次拋擲時(shí)由甲擲的概率．

于是由全概率公式得

經(jīng)過整理，將上式化為易于遞推的形式

反復(fù)利用該式，并注意p1=1，得

因此

下面介紹一個(gè)有趣的問題，其解答可利用全概率公式.

例6包括甲、乙2人在內(nèi)的2n名乒乓球運(yùn)動(dòng)員參加一場淘汰賽，第一輪將他們?nèi)我鈨蓛膳鋵Ρ荣?，然?n-1名勝者再任意兩兩配對進(jìn)行第2輪比賽，如此下去，直至第n輪決出一名冠軍為止.假定每一名運(yùn)動(dòng)員在各輪比賽中勝負(fù)都是等可能的,求甲、乙2人在這場比賽中相遇的概率.

解在參賽人數(shù)為2n時(shí)，記甲、乙2人在這場比賽中相遇的概率為pn，并記他們在第一輪比賽中就相遇的概率為qn.

下面對n進(jìn)行討論.若n=1，則一共只有甲、乙2個(gè)人參加比賽，他們一定在第1輪相遇，所以p1=q1=1.

若n=2，則有包括甲、乙2人在內(nèi)的4個(gè)人參加比賽.分別以A和B記他們在第1輪和第2輪比賽中相遇的事件，于是

p2=P(A)+P(AcB)=

P(A)+P(Ac)P(B|Ac)=

q2+(1-q2)P(B|Ac).

p2=q2+(1-q2)P(B|Ac)=

如上的結(jié)果使我們有理由猜測：對一切正整數(shù)n，都應(yīng)當(dāng)有

pk+1=P(A)+P(AcB)=

P(A)+P(Ac)P(B|Ac)=

qk+1+(1-qk+1)P(B|Ac).

如果甲、乙2人在第1輪比賽中沒有相遇，那么要使他們在后續(xù)的比賽中相遇，就必須2個(gè)人在第1輪比賽中雙雙戰(zhàn)勝對手，同其余2k-2名勝者一起進(jìn)入下一輪比賽.而從此時(shí)開始便是2k名運(yùn)動(dòng)員按照原來的比賽規(guī)則進(jìn)行比賽.因此只要甲、乙2人都能進(jìn)入后續(xù)的比賽，那么他們在后續(xù)比賽中相遇的概率就是pk，于是

結(jié)合歸納假設(shè)即知

pk+1=qk+1+(1-qk+1)P(B|Ac)=

當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論仍然成立.

在上述解答中，我們都是以A和Ac(即甲、乙2人是否在第1輪相遇)作為對Ω的分劃．這種對分劃的選取方式不僅有利于處理n=2的情形，而且有利于運(yùn)用歸納假設(shè)進(jìn)行歸納過渡.