讓數(shù)學(xué)課堂散發(fā)數(shù)學(xué)思維的魅力

王兆正

摘 要:在很多數(shù)學(xué)課堂上,教師所講授的內(nèi)容是學(xué)生通過自學(xué)課本完全能夠獲得的,教師所呈現(xiàn)的知識生成、生長過程是學(xué)生早已所知悉的,導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏吸引力。在數(shù)學(xué)課堂上,要讓數(shù)學(xué)思維的火花時時迸發(fā):一是把握思維提升的契機,二是設(shè)計陷阱問題讓學(xué)生在反思中成長,三是改變數(shù)學(xué)認知過程的假性呈現(xiàn)。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)教學(xué);數(shù)學(xué)思維;教學(xué)反思;課堂魅力

中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 文章編號:1009-010X(2009)09-0045-03

在對很多數(shù)學(xué)課堂的觀察中,我發(fā)現(xiàn)一個比較典型卻又未能引起足夠注意的問題:很多數(shù)學(xué)課堂缺乏起碼的吸引力,課堂依賴紀律或者獎賞來維持,而不是數(shù)學(xué)知識本身的魅力。原因在哪里呢?因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)太“容易”了。數(shù)學(xué)課堂上教師講授的內(nèi)容學(xué)生通過自學(xué)完全能夠獲得,數(shù)學(xué)課成了以“數(shù)學(xué)知識”為純粹客體,而教師從事的是搬運工作。數(shù)學(xué)教師所呈現(xiàn)的知識生成、生長的過程早為學(xué)生所知悉,使課堂變得單調(diào)、乏味,特別是缺乏思維挑戰(zhàn)性,當然也就不能激發(fā)學(xué)生探索知識的興趣和熱情。如果認為在數(shù)學(xué)課上多補充一些奧數(shù)題,講幾個數(shù)學(xué)小故事就能解決,則是一種膚淺的認識。那么在數(shù)學(xué)課堂上,如何在尋常的數(shù)學(xué)素材中激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢?如何讓數(shù)學(xué)課堂永遠充滿熱情而富有情趣?筆者在研課中記錄了一些感受。

一、從思維認知本身把握思維提升的契機

在二年級的“不連續(xù)進位乘法”中例題是48×2,教材首先呈現(xiàn)用數(shù)小棒的方法來計算,先算整捆,一共4×2=8(捆),再算單根,8×2=16(根),把其中的10根合成一捆,這樣一共得到9捆和6根,一共是96根。接著,列豎式計算,算理與擺小棒相同。

教師的教學(xué)也遵循著這樣的順序。然而,有幾個學(xué)生的小棒可能沒有捆好,散了,于是他們認真地一根一根地數(shù),再捆起來,導(dǎo)致教師在這一環(huán)節(jié)耽擱了較多時間。

研課時,大家針對這一環(huán)節(jié)展開了爭議。其中的焦點問題是,需要讓學(xué)生這樣去擺小棒嗎?擺小棒的目的是什么?怎樣可以更好地實現(xiàn)這個意圖?大家認為:適度地擺小棒是必要的,這是幫助部分學(xué)生理解算理的重要方式。然而,課堂上出現(xiàn)的問題(即小棒散了),教師卻沒有及時地“應(yīng)對”,正好說明教師沒有恰當?shù)匕盐宅F(xiàn)階段的學(xué)生思維水平,一味地追求直觀,而忽視學(xué)生的現(xiàn)實思維起點。

對于越來越大的數(shù)目計算,教師不能總是停留于原有的直觀思維水平,不必真的用10根小棒捆成一捆,學(xué)生在前面的計算教學(xué)中已經(jīng)能夠熟練地掌握了整捆和單根的概念,這里不妨讓學(xué)生畫一個整捆小棒圖表示1捆,或者用一根粗些的小棒表示一捆,或者干脆用語言敘述擺小棒的過程。讓學(xué)生從具體的“捆”過渡到抽象的“十”,從而能夠更好地幫助學(xué)生理解乘法的算理。

蘇霍姆林斯基說過,不要過分追求直觀,課堂上掛滿直觀教具,這會妨礙學(xué)生抽象思維的形成。從具體到抽象之間,我們不妨經(jīng)常用一些替代物,逐步過渡到符號化的抽象思維方式。由此想到,很多教學(xué)的細節(jié),還需要從思維的層面去引領(lǐng)學(xué)生提升。

譬如,筆者在教學(xué)中就引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常反問自己:今天,我提高數(shù)學(xué)水平了嗎?一組口算題,學(xué)生要想一想有沒有規(guī)律性,一個老問題能不能用新的方法解決,與以往有什么聯(lián)系和區(qū)別……而筆者在教學(xué)預(yù)設(shè)時,同樣也追問自我:有沒有讓學(xué)生自己建構(gòu)知識的體系?學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是否體現(xiàn)思維的螺旋上升呢?……這樣,數(shù)學(xué)教學(xué)才更加富有思維挑戰(zhàn)性,才不至于在日復(fù)一日地學(xué)習(xí)中,陷入簡單、重復(fù)的怪圈,從而不斷激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)情趣。

二、設(shè)計陷阱問題,讓學(xué)生在反思中成長

一位青年教師執(zhí)教了四年級的“乘法分配律”。流程是這樣的:首先創(chuàng)設(shè)了蘇果超市招聘營業(yè)員的情境。甲顧客買大米和面粉各3袋。大米每袋62元,面粉每袋38元。他一共用去多少元?小明算得很慢,而小華算得比較快。你知道小明和小華各是怎么算的嗎?引出62×3+38×3=(62+38)×3。然后又出示一組類似的算式:18×5+72×5=(18+72)×5、49×6+51×6=(49+51)×6,計算判斷大小。接著讓學(xué)生觀察上面幾道算式,比較這幾道算式符號的左邊有什么相同,右邊有什么相同,而且有什么規(guī)律。在總結(jié)得出乘法分配律后,教師進行了類似的模仿練習(xí)。

研課中執(zhí)教者覺得自己的課堂,從學(xué)生的表現(xiàn)來看,參與積極,回答也幾乎沒有錯誤,似乎是一節(jié)很有效的課堂教學(xué)。但在隨后的一個效果檢測中,有一道題:25×24=□×□+□×□,學(xué)生的答案錯誤百出,典型錯誤是將其中的一個乘數(shù)拆成了兩個數(shù)的積,與乘法結(jié)合律混淆了,如:25×24=25×8+25×3,25×24=25×4+25×6,學(xué)生答案的正確率不到30%。這個檢測結(jié)果顯然讓教者不能接受,也讓大家感到意外。隨后大家一起對這堂課進行了剖析,并再次反思有效教學(xué)的真正內(nèi)涵。

現(xiàn)代教學(xué)論認為,只有經(jīng)過學(xué)生自身的反思和建構(gòu),學(xué)習(xí)的知識才能真正為自己所接納和靈活應(yīng)用。在這一節(jié)課知識的傳授中,“看不到”學(xué)生思維的發(fā)展歷程,實際上學(xué)生的思維并沒有投入到學(xué)習(xí)中來,即使表面上看起來是多么認真,而態(tài)度的認真與思維的有效并沒有必然的聯(lián)系。學(xué)生沒有真正地理解乘法分配律,而只是機械地記住了改寫的形式,一旦發(fā)生變化,當然不能正確應(yīng)對。

設(shè)置“25×24=□×□+□×□”這樣一個問題,就是要檢測學(xué)生自己在頭腦中有沒有形成“(□+□)×□”這樣一個乘法分配律的思維模型(即用兩個數(shù)的和乘一個數(shù))。這是學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律后必須能夠從知識儲備中獨立再現(xiàn)和提取出來的,這才是真正的理解和掌握了乘法分配律。

數(shù)學(xué)課要讓學(xué)生思維活躍,不斷地體驗到挑戰(zhàn),才能讓學(xué)生更深層次地理解知識,并富有激情。在適當引導(dǎo)下,學(xué)生完全可以給出25×1+25×23、25×2+25×22、25×3+25×21……25×23+25×1,還可以給出1×24+24×24、2×24+23×24……24×24+1×24等,在開放的答案中,學(xué)生可以深刻地掌握乘法分配律的本質(zhì)形式,甚至還體驗到乘法分配律的價值不只是一種簡便計算的方法,而是一種算法模型,這種簡單的模仿即便上百遍也無法獲得的體驗。

在一節(jié)有效的數(shù)學(xué)課堂上,知識的形成過程不應(yīng)是“一帆風(fēng)順”的,而應(yīng)是“波瀾起伏”的;不是簡單的“模仿”,而是深入的“創(chuàng)造”。教者的智慧不在于如何避免學(xué)生的錯誤,而在于能否看透學(xué)生錯誤背后的思維成因,進而精心地設(shè)計陷阱問題并能引起有效反思。這才是對學(xué)生最大的“獎賞”。

尋找到一個恰當?shù)南葳鍐栴},凸顯所學(xué)知識的本質(zhì),也成為筆者在設(shè)計教學(xué)活動時的一項重要內(nèi)容。

三、大膽質(zhì)疑改變數(shù)學(xué)認知過程的假性呈現(xiàn)

因為經(jīng)常鼓勵學(xué)生大膽提出自己的疑問,筆者在教學(xué)中也遭遇了意外。教學(xué)四年級的“倍數(shù)和因數(shù)”,在探索寫一個數(shù)的倍數(shù)的環(huán)節(jié)中,筆者讓學(xué)生伴隨著優(yōu)美的音樂寫3的倍數(shù),1分鐘后,音樂停止,學(xué)生匯報寫的情況。從交流討論寫的情況中發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)是寫不完的。然后引出“寫一個數(shù)的倍數(shù)時,一般只要寫出前幾個倍數(shù),然后再添上省略號”。就在筆者準備轉(zhuǎn)入練習(xí)環(huán)節(jié)時,一個學(xué)生高高舉起手,說:“老師,我有一個困惑。3的倍數(shù)有無限個,我們只寫出前面幾個,行嗎?要不要多寫幾個?”

問題打破了課堂的平靜,也激起學(xué)生思維的漣漪。這也是筆者備課時沒有預(yù)想到的問題。筆者隨即進行了思索:從表面看,這是多寫幾個與少寫幾個的問題,是煩瑣與簡潔的問題,從本質(zhì)上講,實際是能否用有限的數(shù)表示出無限的數(shù)的問題,是無限的有限表達式的問題。

有了這樣的思考后,筆者與學(xué)生展開了對話:

師:我們先不討論要不要多寫幾個的問題,同學(xué)們看:3、6、9、12、15……,后面的數(shù)沒有寫出來,你能看出來嗎?

生1:我能。是18、21、24、27、30等等。

(學(xué)生一口氣報了很長的數(shù)。)

師:能肯定嗎?說說你是怎么看出來的呢?

生1:能。我是這樣看的,因為后面一個數(shù)比前面一個數(shù)都多3。

(這時候,舉手的孩子更多了。)

生2:我也能。3的倍數(shù)可以這樣寫:3×1、3×2、3×3、3×4、3×5,所以后面就是3×6、3×7、3×8等等。

師:也就是說3的倍數(shù)的排列是有一定規(guī)律的,按照這樣的規(guī)律,后面的數(shù)即便沒有寫出來,會不會有變化的可能呢?

生齊:不會。

師:那么,我們寫出幾個數(shù),就能夠表示出3的倍數(shù)的排列規(guī)律,還用不用再多寫呢?

生領(lǐng)悟地說:不用了。

研課時大家發(fā)出了感慨。一個成人習(xí)以為常的寫數(shù)習(xí)慣,在孩子眼里卻充滿疑問,孩子們有多少這樣的困惑被忽略或掩蓋?而筆者思考最多、感觸最深的是:孩子提出這樣一個好像不是問題的問題,那么他在學(xué)習(xí)中究竟遇到了什么問題?我們的教學(xué)中又出現(xiàn)了什么問題?

回顧剛才的教學(xué)片斷,教學(xué)從“寫不完”直接就過渡到“只要寫幾個”,這中間壓縮了“用有規(guī)律的幾個倍數(shù)可以表示出所有的倍數(shù)”的思維過程。忽略了這樣一個思維細節(jié),學(xué)生將無法理解“有規(guī)律的寫數(shù)”意味著什么,表示了什么,也就很自然地要提出:寫一個數(shù)的倍數(shù)的規(guī)則,為什么只要寫幾個就行了呢?

小學(xué)數(shù)學(xué)的知識,對于成人來說,是簡單的。簡單得讓我們失去了對于知識產(chǎn)生和發(fā)展過程的“敏感”。一切知識在程式化、自動化后,都是那么理所當然,不容置疑。然而,學(xué)生由于受到知識、經(jīng)驗的局限,一切都是全新的過程,一切都可能充滿艱難的探索。每一個思維細節(jié)都可能充滿困惑,如果我們忽略它,每一個困惑都可能成為學(xué)生掌握知識不可逾越的障礙。

數(shù)學(xué)課堂依然充斥有“課本劇”,不過更為隱性。我們教學(xué)的關(guān)注不能僅停留在有沒有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程,還要關(guān)注在這個過程中學(xué)生是不是真正的主體,而不是能只走過場,假性呈現(xiàn)。教師要關(guān)注學(xué)生的思維現(xiàn)實、思維發(fā)展。因為,疑問正是學(xué)生認知的盲點,教師要鼓勵學(xué)生提出這樣的問題。而解決這樣的問題正是教師從“未知者”的眼光來觀察和認識知識細節(jié)的最佳時機。更重要的是,教師要發(fā)揮更多的專業(yè)能力,更豐厚的教學(xué)智慧,主動還原知識的形成細節(jié),從而把握學(xué)生真實的思維發(fā)展進程,改進教學(xué)過程,讓學(xué)生獲得更為有效的發(fā)展。

總之,當教師在教學(xué)中充分關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維生長時,當學(xué)生在學(xué)習(xí)中敢于不斷地提出自己的思維困惑時,不敢說這樣的課堂一定是成功的,但一定是不平淡、平庸的。只有我們的數(shù)學(xué)課堂在擺脫平淡、平庸之后,才能真正吸引學(xué)生投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來,才能讓數(shù)學(xué)教學(xué)擁有生命的活力。

【責(zé)任編輯 高潔】