將探究進(jìn)行到底

孟　坤

日常生活中，我們經(jīng)常要數(shù)數(shù).數(shù)數(shù)并不難，但要在復(fù)雜的圖形中及情境下數(shù)數(shù)，有時(shí)并非易事，往往需要細(xì)心觀察、分析、比較，并采用分類計(jì)數(shù)、化繁為簡等方法.

一、確定直線的條數(shù)

例1平面上有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，過其中的每兩個(gè)點(diǎn)畫直線，一共可畫出幾條直線？

分析：平面上四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系不確定，可把這四個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系分為三類.

解：（1）四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，如圖1，可以畫1條直線；

（2）四個(gè)點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，如圖2，可以畫4條直線；

（3）四個(gè)點(diǎn)中的任何三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上時(shí)，如圖3，可以畫6條直線.

評(píng)注：分類討論是解答數(shù)學(xué)問題常用的思想方法，同時(shí)也是一種解題策略.分類時(shí)必須按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，保證合理性，做到不重復(fù)不遺漏.

變式題：過平面上2 008個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)，最多能作出多少條直線？

分析：本題與例1的區(qū)別是：本題存在一個(gè)隱含條件，即有“最多”二字，其含義是2 008個(gè)點(diǎn)中的任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，否則直線條數(shù)就不是最多的.

解法一：采用“由少及多”的方法探究.

當(dāng)平面上有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，過兩點(diǎn)最多能作出1條直線；

當(dāng)平面上有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，過其中的每兩點(diǎn)最多能作出3條直線，即3=1+2；

當(dāng)平面上有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，過其中的每兩點(diǎn)最多能作出6條直線，即6=1+2+3；

當(dāng)平面上有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，過其中的每兩點(diǎn)最多能作出10條直線，即10=1+2+3+4；

……

考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和直線的條數(shù)，從中尋找出規(guī)律.

故當(dāng)平面上有2 008個(gè)點(diǎn)時(shí)，過其中的每兩點(diǎn)最多能作出直線的條數(shù)為：

1+2+3+…+2 007=×2 007×（1+2 007）=2 015 028.

評(píng)注：對(duì)有些規(guī)律探究型問題，若直接從所要求解的問題出發(fā)，往往無從下手，則可從較為簡單的情形開始探究，采用“由少及多”即由特殊到一般的方法，逐步過渡到復(fù)雜的情形，并從中總結(jié)出規(guī)律.

解法二：利用分類計(jì)數(shù)法探究.

若把這2 008個(gè)點(diǎn)記作A1，A2，A3，…，A2 007，A2 008，由分析知任意三個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上，所以存在以下情形：過點(diǎn)A1與其余2 007個(gè)點(diǎn)可作直線的條數(shù)為2 007；除點(diǎn)A1外，過點(diǎn)A2與其余2 006個(gè)點(diǎn)可作直線的條數(shù)為2 006；除點(diǎn)A1，A2外，過點(diǎn)A3與其余2 005個(gè)點(diǎn)可作直線的條數(shù)為2 005……除點(diǎn)A1，A2，…，A2 006外，過點(diǎn)A2 007與A2 008可作直線的條數(shù)為1.

綜上可知，過平面上2 008個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)，最多能作出的直線的條數(shù)為：

2 007+2 006+2 005+…+3+2+1=2 015 028.

評(píng)注：運(yùn)用分類計(jì)數(shù)法的策略解決問題，需具備分類思想和探究能力、歸納能力及類比推理能力.

推廣：過平面上n個(gè)點(diǎn)（n≥2）中的任意兩點(diǎn)作直線，最多能作出直線的條數(shù)為（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+3+2+1=n（n-1）.

請讀者朋友利用分類計(jì)數(shù)法探究：

（1）平面上有3條直線，請指出這3條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）已知平面上有2 008條直線兩兩相交，其中無任何三條直線相交于一點(diǎn)，這些直線相交的點(diǎn)共有多少個(gè)？

（3）平面上有n（n≥2）條不同的直線兩兩相交，且無任何三條直線相交于一點(diǎn)，這些直線相交的點(diǎn)共有多少個(gè)？

二、確定平面分成的部分個(gè)數(shù)

例2閱讀下面的對(duì)話，并回答問題.

小剛和小紅在做一道數(shù)學(xué)題：“在平面上有3條直線，可以將平面分成幾個(gè)部分？”

小剛說：“我已經(jīng)得到了答案，如圖4，它可將平面分成4個(gè)部分.”

小紅說：“由于題目中沒有具體指出平面上三條直線的位置關(guān)系，因此應(yīng)先確定它們的位置關(guān)系，這才是解決本題的關(guān)鍵.我的答案是：如圖5①，三條直線都不相交，它們將平面分成4個(gè)部分；如圖5②，一條直線與兩條平行直線相交，它們將平面分成6個(gè)部分；如圖5③，三條直線交于一點(diǎn)，它們將平面分成6個(gè)部分；如圖5④，三條直線兩兩相交，它們將平面分成7個(gè)部分.”

問題：（1）小剛與小紅的答案誰的正確？

（2）現(xiàn)在老師又提出了下面一個(gè)問題：如果要使這個(gè)問題有唯一答案，應(yīng)再追加什么條件？

解：（1）小紅的答案正確.

（2）這是一道結(jié)論開放型問題，答案不唯一，可追加不同的條件.例如：①三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，把平面分成幾個(gè)部分？②三條直線最多把平面分成幾個(gè)部分？③三條直線至少把平面分成幾個(gè)部分？

評(píng)注：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意多角度考慮.平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)要學(xué)會(huì)提出問題，因?yàn)樘岢鰡栴}比解決問題更重要.

請讀者朋友利用“由少及多”的方法探究：（1）在平面上有2 008條直線，最多可以將平面分成幾個(gè)部分？

（2）在平面上有n條直線，最多可以將平面分成幾個(gè)部分？

現(xiàn)在就練：1．春節(jié)期間，有10個(gè)好友互相打電話問候，則他們共打了個(gè)電話.

2．若8個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則共需要進(jìn)行場比賽.

參考答案：1．452.28

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。