從北京奧運(yùn)的喜慶燈籠說(shuō)起

作者簡(jiǎn)介：王繼延，理學(xué)碩士. 曾執(zhí)教高中十余年，并任中學(xué)校長(zhǎng). 現(xiàn)為華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心組成員，全國(guó)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（華東師大版）常務(wù)副主編，教育部基礎(chǔ)司項(xiàng)目“全國(guó)初中畢業(yè)、升學(xué)考試評(píng)價(jià)”數(shù)學(xué)學(xué)科負(fù)責(zé)人. 作為主編或主要人員參與編寫(xiě)或翻譯多本數(shù)學(xué)教育專業(yè)著作與教材，如《全國(guó)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》《基礎(chǔ)教育新課程師資培訓(xùn)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）》《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)》《數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講》《數(shù)學(xué)物理方程》《文科數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)思想和方法》與《高中數(shù)學(xué)選修讀本》等書(shū)，在《人民教育》《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》《高等數(shù)學(xué)研究》《生態(tài)學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等雜志上發(fā)表多篇文章.

讀者朋友，你會(huì)認(rèn)識(shí)圖形嗎？你知道點(diǎn)、線、面之間的內(nèi)在聯(lián)系嗎？你會(huì)邏輯推理嗎？下面請(qǐng)王教授給你一一指點(diǎn)吧.

你可能還記得北京奧運(yùn)會(huì)的精彩場(chǎng)面吧.那時(shí)全國(guó)各地喜氣洋洋，走到街上，一眼望去，滿街上喜慶的大紅燈籠映紅了大人小孩的臉龐；五個(gè)靈氣十足的奧運(yùn)福娃更是引來(lái)了大人小孩的頻頻歡呼.

你是否注意到那喜慶場(chǎng)面中形形色色的圖案，形狀、顏色不一的大紅燈籠，“北京歡迎你”的奧運(yùn)福娃，迎風(fēng)招展的五星紅旗……這一切都與我們今天所要討論的話題——“圖形的初步認(rèn)識(shí)”有關(guān).

走在街上，映入我們眼簾的都是一個(gè)個(gè)空間物體，若去掉一些外觀的因素，剩下的就是由點(diǎn)、線、面組成的數(shù)學(xué)圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.實(shí)際上你從小就玩過(guò)這些形狀的物體，現(xiàn)在你有了一些較為理性的認(rèn)識(shí)，知道這些圖形和那些有類似之處，也有相異的地方.你一定能從一大堆立體圖形中挑選出你所喜歡的形狀，搭起一座富有詩(shī)意的“建筑物”.

那么從數(shù)學(xué)的角度，如何認(rèn)識(shí)立體圖形呢？我們常見(jiàn)的方法就有三種.第一種是直觀圖，這是你在美術(shù)課上經(jīng)常畫(huà)的圖形.第二種是三視圖，人們發(fā)現(xiàn)只要知道從三個(gè)不同方向（正面、側(cè)面與上面）所看到的物體的平面圖形——主視圖、側(cè)視圖與俯視圖，就可以認(rèn)識(shí)這個(gè)立體形狀的物體.下面圖1給出的就是遠(yuǎn)程直升飛機(jī)的三視圖.你能猜出圖2中的兩組圖形是哪兩種圖形的三視圖嗎？你還能畫(huà)出由5個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方體堆成的圖形（如圖3）的三視圖嗎？第三種就是立體圖形的表面展開(kāi)圖.這也應(yīng)該是你早就看到過(guò)的事實(shí).中秋佳節(jié)，一家人會(huì)聚在一起，一邊吃月餅，一邊賞月，多么美好??！那時(shí)你是否也會(huì)發(fā)現(xiàn)，將月餅包裝盒打開(kāi)攤平，就是一個(gè)長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)圖？當(dāng)然為了能構(gòu)成一個(gè)包裝盒，它還多了一些邊角料.當(dāng)然不是每一個(gè)立體圖形的表面都可以展開(kāi)成平面圖形，你最喜歡玩耍的圓球——籃球、排球、足球、乒乓球……它們的表面就無(wú)法展開(kāi)成平面圖形.以后你就會(huì)知道其中的奧秘了.現(xiàn)在請(qǐng)你試試看，相信你一定可以迅速說(shuō)出下列各圖形（如圖4）分別是哪些多面體的表面展開(kāi)圖.

對(duì)于體與面的關(guān)系，我們還可以從其他角度加以分析.將一個(gè)平面圖形繞著某一根軸旋轉(zhuǎn)一周，便產(chǎn)生了一個(gè)立體圖形.生活中，有時(shí)會(huì)看到這種景象：一扇門(mén)繞著門(mén)軸旋轉(zhuǎn)一周，就產(chǎn)生了一個(gè)立體的圓柱.與“面的運(yùn)動(dòng)可以形成體”同樣的道理，“線的運(yùn)動(dòng)可以形成面”，“點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以形成線”.可以說(shuō)，點(diǎn)和線是最基本的幾何圖形.有了點(diǎn)和線，就有了角.有了角，就可以研究線與線的相互關(guān)系——相交線和平行線.

不知你是否發(fā)現(xiàn)，原先較多采用的量一量、看一看的直觀的方法，現(xiàn)在有了一些變化.那就是多了一些“說(shuō)理”的數(shù)學(xué)形式過(guò)程.人們常說(shuō)“言必有據(jù)”，也就是告訴我們，說(shuō)話一定要有根據(jù).

例如“對(duì)頂角相等”，我們可以對(duì)圖形中的任意兩個(gè)對(duì)頂角用量角器進(jìn)行度量，發(fā)現(xiàn)它們都具有相等的關(guān)系；我們還可以將兩個(gè)對(duì)頂角中的一個(gè)角繞著它的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，觀察發(fā)現(xiàn)它恰好能與另一個(gè)角重合，即兩角相等.

這些都是實(shí)驗(yàn)操作的直觀的方法，運(yùn)用這樣直觀的方法，我們可以探索發(fā)現(xiàn)一些有用的結(jié)論，這是解決問(wèn)題的開(kāi)始，是一個(gè)重要的學(xué)習(xí)過(guò)程.然而度量可能會(huì)產(chǎn)生誤差，旋轉(zhuǎn)可能會(huì)因紙張的粗糙產(chǎn)生偏差.那么要使人們確信，就必須運(yùn)用數(shù)學(xué)上的推理，即通常所說(shuō)的“邏輯推理”.

下面就是“對(duì)頂角相等”的邏輯推理過(guò)程.

如圖5，因∠1+∠2=180°（∠1，∠2互補(bǔ)），故∠1=180°-∠2（等式的性質(zhì)）.又因∠3+∠2=180°（∠3，∠2互補(bǔ)），所以∠3=180°-∠2（等式的性質(zhì)）.故∠1=∠3（等量代換）.同理可推得∠2=∠4.即對(duì)頂角相等.

你看，這里一步緊扣一步，步步有據(jù)，沒(méi)有一點(diǎn)漏洞.盡管這些步驟看上去有點(diǎn)枯燥，但相信你經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的探索學(xué)習(xí)，一定會(huì)感到這同樣也是數(shù)學(xué)的美！

試試看，相信你，一定可以完成以下這個(gè)問(wèn)題：

在空白處填上正確的依據(jù)或結(jié)論.

如圖6，已知∠1=∠B.

∴AD∥BC（）.

∴∠D+ =180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)必要的數(shù)學(xué)說(shuō)理，因此在你觀察剖析、操作實(shí)驗(yàn)、歸納猜想的同時(shí)，也必須注意運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯推理，務(wù)必使兩者很好地有機(jī)結(jié)合.

現(xiàn)在再回過(guò)頭去看看，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)你已經(jīng)認(rèn)識(shí)了不少數(shù)學(xué)圖形，有立體的，也有平面的.你對(duì)探索幾何問(wèn)題有了一些初步的體會(huì)，注意到解決問(wèn)題需要將合情推理與邏輯推理兩者結(jié)合，才能使你的聰明才智得到充分的發(fā)揮.

今天關(guān)于圖形的話題，僅僅是你在初中階段學(xué)習(xí)幾何的開(kāi)始，只是初步的認(rèn)識(shí).源自生活的幾何圖形的世界豐富多彩，形形色色的圖形，各有各的特征，各有各的奧秘，有了它們的幫助，你的數(shù)學(xué)本領(lǐng)就會(huì)越來(lái)越大，你就可以描繪出更具詩(shī)意的畫(huà)面.

最后，請(qǐng)你思考下面的問(wèn)題，看自己能否獨(dú)立解決.

如圖7，讓我們且用“紙板盒”來(lái)稱呼一種用兩個(gè)正方體黏合而成的長(zhǎng)方體.我們將只認(rèn)可這樣的紙板盒組合體：其中每個(gè)紙板盒至少以一個(gè)整面（正方形或長(zhǎng)方形）與另一個(gè)的其他部分黏合.在這種定義下，用兩個(gè)紙板盒事實(shí)上只能構(gòu)成兩種組合體.那么，用三個(gè)紙板盒能構(gòu)成多少種組合體呢？

提示：把三個(gè)紙板盒按題目要求組合起來(lái)的樣式有11種，如果不是下意識(shí)地規(guī)定紙板盒在黏合時(shí)必須將正方體與正方體對(duì)齊，組合體還不止這些.取消了這一限制，就會(huì)有無(wú)窮多種組合體.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。