“四招”搞定設(shè)元法

許生友

列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一就是要能根據(jù)題意，巧妙、靈活地設(shè)未知數(shù)（元），否則就會陷入困境.那么如何才能正確地設(shè)出未知數(shù)（元）呢？請看許老師教給我們“設(shè)元”的幾種技巧.

一、直接設(shè)元

如果題設(shè)中的關(guān)系能明顯表示出所求的未知量時(shí)，可采用直接設(shè)元法，即求什么就設(shè)什么，這是解應(yīng)用題的一般方法.

例1一條環(huán)形跑道長400米，甲練習(xí)自行車，平均每分鐘行駛550米；乙練習(xí)長跑，平均每分鐘跑250米.兩人同時(shí)、同地、同向出發(fā)，經(jīng)過多長時(shí)間，兩人首次相遇？

分析：

本題是行程問題，它有兩個(gè)相等關(guān)系：甲的路程-乙的路程=環(huán)形跑道一周的長；甲用的時(shí)間=乙用的時(shí)間.

解：設(shè)經(jīng)過x分鐘兩人首次相遇.依題意，得550x-250x=400.解這個(gè)方程，得x=4/3.即經(jīng)過4/3分鐘兩人首次相遇.

二、間接設(shè)元

這種方法是把與所求量有關(guān)的量設(shè)為未知數(shù)x，求出x后，再解原題中所求的量.一般地，如果題目里涉及幾個(gè)量存在某種數(shù)量關(guān)系時(shí)，多采用間接設(shè)元法.

例2某工廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知甲種產(chǎn)品的件數(shù)是總件數(shù)的一半還多148，乙種產(chǎn)品的件數(shù)是總件數(shù)的1/3還多52，求甲、乙兩種產(chǎn)品分別為多少件.

分析：

題設(shè)中給定了甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)與總件數(shù)的數(shù)量關(guān)系，甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)受總件數(shù)的制約，因此可用間接設(shè)元法.

解：設(shè)總件數(shù)為x，依題意，得

（1/2x+148）+（1/3x+52）=x.解得x=1 200.

故甲種產(chǎn)品的件數(shù)為1/2×1 200+148=748，乙種產(chǎn)品的件數(shù)為×1 200+52=452.

三、整體設(shè)元

對于未知量太多而已知關(guān)系又太少的某些應(yīng)用題，如果在未知量的某一部分存在一個(gè)整體關(guān)系，可設(shè)這一部分為一個(gè)元，這樣就減少了設(shè)元的個(gè)數(shù).

例3有一個(gè)六位數(shù)，后三位數(shù)是857，將這個(gè)六位數(shù)乘以6以后，得到的新數(shù)恰好是原六位數(shù)的前三位數(shù)與后三位數(shù)互換位置，求原六位數(shù).

分析：

本題若直接設(shè)原六位數(shù)為x，則很難求解，但我們?nèi)舭亚叭粩?shù)作為一個(gè)整體設(shè)為未知數(shù)x，則原六位數(shù)為（1 000x+857），便可以找到解題的突破口.

解：設(shè)原六位數(shù)的前三位數(shù)為x，則原六位數(shù)為（1 000x+857）.依題意，得6(1 000x+857)=857×1 000+x.解得x=142.故原六位數(shù)為1 000×142+857=142 857.

四、設(shè)輔助元

解答某些應(yīng)用題，直接設(shè)出未知數(shù)難以列出方程，這時(shí)，可以根據(jù)具體的情況設(shè)出題目中并不要求的其他未知數(shù)為輔助未知數(shù).這種“設(shè)而不求”的方法有時(shí)也稱為參數(shù)法，它是解答應(yīng)用題的一個(gè)重要方法，對于解數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或者已知條件較少的應(yīng)用題十分有效.

例4某種商品的零售價(jià)2007年比2006年上漲了25％.欲控制該商品的零售價(jià)2008年比2006年只上漲10％，則2008年應(yīng)比2007年降價(jià)的百分率是多少？

分析：

若設(shè)2008年應(yīng)比2007年降價(jià)的百分率為x，但2006年或2007年的零售價(jià)不知道，因此，無法列方程，所以必須增設(shè)輔助未知數(shù).

解：設(shè)2006年這種商品的零售價(jià)為a元，又設(shè)2008年應(yīng)比2007年降價(jià)的百分率為x.則依題意，得a(1+25％)×(1-x)=a(1+10％).解得x=0.12=12％.即2008年應(yīng)比2007年降價(jià)的百分率為12％.

由此看來，未知數(shù)的選取還真巧.如何巧設(shè)元呢？一般可以這樣考慮：

（1）凡是能夠用直接設(shè)元的方法列出方程的，則通常不用別的方法.

（2）凡是用直接設(shè)元的方法分析問題、建立方程有困難的，通常采用間接設(shè)元法或設(shè)輔助元的方法.

（3）涉及幾個(gè)量或某種比的應(yīng)用題和涉及兩位、三位或多位及各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用題時(shí)，多采用間接設(shè)元的方法.

（4）凡涉及與已知量和未知量關(guān)系比較密切，但又不必求出結(jié)果的量，為便于列方程，可選擇設(shè)輔助元的方法.

同學(xué)們想要掌握其中的奧秘，還要多分析，多演練，才能逐漸摸索出巧設(shè)元的規(guī)律來.