淺談一般數(shù)列的求和問題

陳盾初

摘 要：數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一個重點，也是高考重要考點之一，所以掌握數(shù)列求和的方法非常重要，需要對各種題型，各種解題策略融會貫通，能夠?qū)⒏鱾€知識點全部擊破，從而提高數(shù)學(xué)成績?；诖耍瑢?shù)列求和的各種方法做出詳細講解，希望能夠幫助學(xué)生對數(shù)列求和方法有更深刻地掌握，能夠?qū)Ω鞣N題型得心應(yīng)手，從而提高數(shù)學(xué)成績。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列求和；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2017）33-0047-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.33.024

數(shù)列的求和問題一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個非常重要的知識點，像一些簡單的等差數(shù)列、等比數(shù)列的解題方法比較簡單，有一些較為淺薄的題目可以直接用等差數(shù)列公式、等比數(shù)列公式解答出題目的答案，但是像一些非等差數(shù)列和非等比數(shù)列就需要改變解題方法，這樣的數(shù)列問題存在綜合性的特點，需要對基礎(chǔ)知識有較好地掌握才能夠解答出正確答案，下面我針對一般的數(shù)列求和方法通過例題簡單的講解。

一、對數(shù)列求和方法的認識

我們在進行數(shù)列求和的時候通常會用到這幾個方法，首先是直接法，直接法用起來簡單快捷，非常高效，在做非常簡單的題目的時候我們可以用這種方法，另外是公式法，通過前人已經(jīng)總結(jié)出來的規(guī)律，我們只需要通過對問題的簡單觀察，查看是否符合公式要求，可以直接套用公式得出問題的答案，但是這個方法需要我們對有關(guān)公式要能夠準確記憶，如果不經(jīng)常運用可能很快就忘記公式，從而不能在遇到問題的時候有效解決，另外除了能夠運用之外還需要有深刻的理解，可以在題目多變的時候靈活運用公式，不能夠只是死板的將公式記住而不知道變通，所以綜合來說，通過公式法來解決數(shù)列求和，可以節(jié)省我們的解題時間，而且使我們的解題方法更加有效準確。其次是錯位相減法，這種方法我們在做有關(guān)數(shù)列求和問題的時候是我們經(jīng)常使用的一種方法，在運用這種方法的時候，要對題目仔細分析，再三反思，確定審題正確，而且在寫的時候要更加注意，以免出現(xiàn)寫錯的情況，究其原因是因為一般用到錯位相減法的題目項數(shù)是非常多的，所以如果沒有仔細細心的態(tài)度，就很容易出現(xiàn)錯誤。最后是裂項相消法，這個方法顧名思義，是把一項進行分裂，將其從一項分裂成兩項、三項甚至是多項、然后用消除的方法求出前面項的和，這種方法適合的題型非常多，例如：等差型，三角函數(shù)型等。這些題型都可以運用這種裂項相消法，因為可以運用的題型非常多，所以對這種方法我們要有具體的了解，將其徹底掌握，從而能夠在遇到各種題型的時候，能夠靈活地將這種方法運用上去，提高解題效率，下面我針對這幾種方法做具體講解與分析。

二、直接法

對數(shù)列的求和可以直接進行求和。

例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+100的和。

分析：這個題目幾乎是在小學(xué)一年級的時候就經(jīng)常是被老師問到的問題，但是當時只是涉及求和問題，并沒有引進數(shù)列的概念。而這個題目明顯是一個等差數(shù)列，針對于這個問題，我們可以直接通過高斯求和公式進行求和。

高斯公式：和=（第一項的值 + 最后一項的值）×項數(shù) / 2

解：第一項是1，最后一項是100，所以（1+100）×100 / 2，所以這個題目的最后結(jié)果是5050。

三、公式法

（一）等差公式

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1，3，5，7，9...2n-1。

通項公式為：an = a1+（n-1）×d。首項a1=1，公差d=2。

前n項和公式為：Sn = na1 + n（n-1）d/2 = n（a1 + an） / 2

例題：假設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，而且S2 = 12，S4 = 0，求：{an}的通項公式、前n項的和Sn

分析：從這個題目可以看出這是遞減等差數(shù)列，可以直接通等差公式進行解題。

解：假設(shè)等差數(shù)列的第一項是a1，數(shù)列公差為d，那么可以得到2a1 + d = 12 和 4a1 + 6d = 0，通過運算，可以知道a1 = 9， d = -6，所以通過an= a1 + （n-1）d可以得出an= 9 - 6 （n- 1） = - 6n + 15，而Sn = na1 + n（n-1）d/2，將a1 帶入到其中去可以得到Sn = -3n2+12n。

（二）等比公式

公式：當q=1的時候，Sn=na1，當q≠1的時候，

Sn=a1（1 - qn）/1-q性質(zhì)：（1） an = amqn-m

（2）若 m + n = p +q ，則 am × an = aq × ap

例題：已知log2x = 1，求x + x2 + x3 +...+xn的前n項和。

分析：從這個題目中可以很快地看出這是等比數(shù)列，所以可以直接將等比公式的公式運用在上面。

解：因為log2x = 1，所以x = 2，所以通過求和公式Sn = x + x2 + x3 +...+xn = 2（1-2n） / （1-2）= 2n+1 - 2。

四、錯位相減法

例題：求和Sn = 1/2 + 3/22 + ... +（2n - 1）/2n 。

分析：從這個題目可以看到被除數(shù)是等差數(shù)列，除數(shù)是等比數(shù)列，所以這個題目可以運用錯位相減法。

解：Sn = 1/2 + 3/22 + ... + （2n - 1） /2n ，將這個等式兩邊同時乘以1/2，得到（1/2） Sn = 1/22 + 3/23 + ... + 2n -3 / 2n + （2n-1） / 2n+1然后將兩個等式相減，就可以得到Sn = 3 - （2n+3） / 2n

五、裂項相消法

通過上文對數(shù)列求和方法的簡單介紹與例題結(jié)合，分析了常用的數(shù)列求和方法，但是在數(shù)列求和上可以用的方法并不僅限于這幾種，其他的方法本文就不一一介紹了，希望可以對學(xué)生在做數(shù)列求和的時候有所幫助。

參考文獻：

[1] 鄒文楨.淺談一般數(shù)列的求和問題[J].理科考試研究（高中版），2017（1）：32-34.

[2] 樊冰清.淺談一般數(shù)列的求和問題[J].教育現(xiàn)代化-知網(wǎng)，2017（5）：103-74.endprint