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    挖掘倍比關系,提高學生理解力

    2025-04-17 00:00:00劉祥
    新課程·上旬 2025年9期
    關鍵詞:彩帶份數(shù)個數(shù)

    在小學數(shù)學中,分數(shù)的理解是學生從具體數(shù)量認知向抽象數(shù)學思維過渡的關鍵環(huán)節(jié)。而“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”這一內容,不僅涉及分數(shù)的基本概念,還是學生理解比、比例等的基礎。

    本文以“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的教學為例,探討如何在教學中運用問題導向策略挖掘倍比關系,幫助學生逐步構建分數(shù)思維,提高對數(shù)學知識的理解能力和應用能力。

    一、課前思考

    (一)知識梳理

    本節(jié)課教學主要包含以下幾方面內容:

    1.理解分數(shù)在表示倍比關系中的應用。學生需要掌握如何使用分數(shù)來表示兩個同類數(shù)量之間的倍比關系。這包括認識到分數(shù)不僅僅表示部分與整體的關系,還可以用于描述兩個數(shù)量之間的倍數(shù)關系。

    2.確定單位“1”的選擇。教學中,教師要讓學生明確選擇和確定哪個數(shù)量作為單位“1”。這一步驟對于學生理解分數(shù)表示的基本單位至關重要,并且對后續(xù)計算和理解具有基礎性作用。

    3.區(qū)分不同的分數(shù)表示。教師需要幫助學生區(qū)分表示兩個同類數(shù)量之間倍比關系的分數(shù)和表示部分與整體之間倍比關系的分數(shù)。理解這兩種不同類型的分數(shù)及其應用場景,學生能更準確地應用分數(shù)解決問題。

    (二)方法明確

    從知識內容的角度來看,“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”和“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”在本質上是相似的。具體而言,這兩個問題都涉及對數(shù)量關系的理解和應用。

    從學生的認知情況看,他們已經(jīng)掌握了“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的方法,因此,本節(jié)課可以充分利用學生對“倍”的理解引導他們通過類比遷移的方式來探索“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的新知識。這種方法不僅能夠幫助學生將已有的知識經(jīng)驗應用到新的情境中,還能夠在結構化的學習過程中有效提升學生的理解力。

    (三)本質探究

    “求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的本質在于兩個同類量之間的份數(shù)比關系。分數(shù)的意義以及用分數(shù)和除法來表示“幾分之幾”的方法,都旨在闡釋這一本質。分數(shù)不僅僅是一種表示部分與整體關系的工具,還是描述兩個同類量之間比例關系的有效手段。掌握這一本質對學生深刻理解“幾分之幾”概念至關重要。通過對這種份數(shù)比關系的理解,學生能夠更全面地認識分數(shù)的實際意義,并為后續(xù)學習分數(shù)約分等相關知識打下基礎。

    二、課中實踐

    (一)創(chuàng)設情境,激活需要

    復習引入,出示問題:王阿姨買了一些花,紅花有9朵,黃花有3朵,紅花的朵數(shù)是黃花的幾倍?

    師:根據(jù)紅花有9朵,黃花有3朵,怎樣求紅花的朵數(shù)是黃花的幾倍呢?

    生:這是求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍的問題,可以用除法計算,即9÷3=3。

    師:為什么沒有單位?

    生:這里的3表示的是紅花朵數(shù)與黃花朵數(shù)的關系,不是一個具體的數(shù)量,所以沒有單位名稱。

    師:根據(jù)已知條件,再思考:黃花的朵數(shù)是紅花的幾分之幾?今天我們就來研究這樣的問題。

    (設計意圖:本環(huán)節(jié)通過提問與列式幫助學生回顧和鞏固“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”這一問題的解決思路與方法。通過簡明的提問和系統(tǒng)的列式演示,學生能夠重新梳理倍數(shù)問題的基本邏輯和計算步驟,進一步加深對倍數(shù)關系的理解。與此同時,教師通過引入與學生生活實際相關的問題情境,激發(fā)他們的興趣和參與度,為接下來開展類比遷移教學活動做好鋪墊。)

    (二)自主探究,明確方法

    師:(出示圖1)仔細觀察,你能根據(jù)題意求出黃彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾嗎?請思考以下問題:(1)黃彩帶與紅彩帶的長度有怎樣的關系?(2)怎樣求黃彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾?

    生:把紅彩帶的長看作單位“1”,平均分成4份,黃彩帶的長相當于這樣的1份。根據(jù)分數(shù)的意義,我們可以說:黃彩帶的長是紅彩帶的1/4。

    生:把黃彩帶的長看作1份,紅彩帶的長有這樣的4份,把這個問題看作“求1份是4份的幾分之幾”,可以根據(jù)分數(shù)與除法的關系,列出算式1÷4=1/4。

    師:你是把題中的哪個數(shù)量看作單位“1”的?

    生:把紅彩帶的長看作單位“1”。

    (設計意圖:通過動手操作與直觀感知,幫助學生逐步構建對分數(shù)與倍數(shù)關系的理解。通過畫圖和列式,讓學生更為形象地理解彩帶長度之間的倍數(shù)關系,為抽象的數(shù)學概念提供具體的支撐,引導學生從倍數(shù)思維轉向分數(shù)思維。)

    師:(出示圖2)仔細觀察,現(xiàn)在你能根據(jù)題意,求出藍彩帶的長是紅彩帶的幾分之幾嗎?請寫一寫,畫一畫。

    生:(展示圖3)可以把紅彩帶的長度4米看作單位“1”,用虛線表示,平均分成4份,藍彩帶的長度相當于這樣的3份。根據(jù)份數(shù)的關系,從分數(shù)的意義的角度思考,可以說:藍彩帶的長是紅彩帶的3/4。

    生:紅彩帶長4米,藍彩帶長3米,他們都是具體的長度,可以根據(jù)分數(shù)與除法的關系,用3÷4=3/4。

    師:算式里的“3”表示什么?“4”表示什么?

    生:算式里的“3”表示藍彩帶的長度是3米,“4”表示紅彩帶的長度是4米。

    生:算式里的“3”還可以表示把藍彩帶的長度平均分成的3份,“4”表示紅彩帶的長度也可以平均分成這樣的4份。

    師:你是把題中的哪個數(shù)量看作單位“1”的?

    生:把紅彩帶的長看作單位“1”。

    師:這個算式的得數(shù)后面有單位名稱嗎?

    生:沒有。它表示藍彩帶的長與紅彩帶的長之間的關系,不是一個具體的數(shù)量,因此沒有單位名稱。

    師:對于課前的問題,大家現(xiàn)在能回答了嗎?

    生:3÷9=3/9。

    師:對比課前問題和課上問題的解題過程,大家來說說,怎樣求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾?

    生:解決這樣的問題要用除法,算式中的除數(shù)都是看作單位“1”的量。

    生:不論從份數(shù)角度思考的1÷4=1/4,還是從數(shù)量角度思考的3÷4=3/4,都是要用一個數(shù)除以另一個數(shù)來計算。

    (設計意圖:本環(huán)節(jié)通過類比遷移引導學生逐步認識幾分之幾都可以通過除法來解決。這一過程不僅幫助學生從數(shù)量理解除法計算的實際操作,還啟發(fā)他們從“份數(shù)關系”的角度進行思考。特別是通過“份數(shù)”角度的引導,學生能夠更深入地理解像這樣的分數(shù)在表示兩個數(shù)量之間關系時的基本意義。這種認識能夠幫助學生超越表面的數(shù)值運算,理解分數(shù)在表示相對關系時的深刻內涵,有助于他們將“幾分之幾”這一概念應用到更廣泛的數(shù)學問題情境中。)

    (三)深入思考,明確本質

    師:(出示圖4)小紅做了一些手工材料,有3個三角形,9個圓。動腦筋想一想:三角形的個數(shù)與圓的個數(shù)有怎樣的關系?

    生:(展示圖5)把圓的個數(shù)看作單位“1”,平均分成了9份,三角形的個數(shù)相當于這樣的3份。列式為3÷9=3/9,就可以說,三角形的個數(shù)是圓的3/9。

    生:(展示圖6)把圓的個數(shù)看作單位1,平均分成了3份,三角形的個數(shù)相當于這樣的1份。列式為1÷3=1/3,就可以說,三角形的個數(shù)是圓的1/3。

    師:這兩種方法有哪些相同點和不同點?

    生:相同點是都把圓的個數(shù)看作單位“1”,進行了平均分,看三角形的個數(shù)相當于這樣的幾份。

    生:不同點是單位“1”平均分成的份數(shù)不同,因此,三角形的個數(shù)相當于這樣的份數(shù)也不同。

    (設計意圖:本環(huán)節(jié)通過引導學生深入探究“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”這一問題的多種計算方式,幫助學生從不同角度理解這一數(shù)學問題的本質。教師通過提問和探討,讓學生意識到無論采用哪種計算方式,核心思路都是將參考量視作單位“1”,并將其平均分成若干份,再與比較量進行對比。)

    師:你能根據(jù)今天所學編寫一道可以用兩種方法解決的問題,并列式解答嗎?

    生:小芳每天睡8小時,她一天的睡眠時間占全天的幾分之幾?

    方法一:8÷24=8/24

    方法二:(展示圖7)可以把全天的24小時看作單位“1”,用虛線表示,平均分成3份,睡眠時間的8小時相當于這樣的1份。根據(jù)份數(shù)的關系,用1÷3=1/3,可以說:睡眠時間是全天時間的1/3。

    師:通過這節(jié)課的學習,說說你學到了什么。

    生:我明白了“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”和“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”計算方法相同,都可以用除法計算。

    (設計意圖:通過引導學生自主設計練習,鼓勵他們在實際操作中進一步理解并掌握“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的核心意義和解題方法。同時,通過這種自我生成問題的方式,學生能夠自主建構相應的除法運算模型,將問題抽象為數(shù)學語言。)

    三、課后反思

    (一)類比遷移,提升學生推理能力

    數(shù)學知識的學習是一個螺旋式上升的過程。教師在教授這類知識時,需要厘清數(shù)學知識的發(fā)展脈絡,找準不同知識點之間的聯(lián)系。在教學中,合理設計主問題,能夠有效引導學生基于已有經(jīng)驗進行類比和遷移,從而發(fā)展他們的合情推理能力。

    在本節(jié)課中,教師立足知識的整體性,將“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的學習放置在表示兩種數(shù)量之間倍比關系的知識框架中,促進學生的聯(lián)想和類比遷移,進一步拓展對分數(shù)的意義的認識。

    教學過程中,學生不僅在已有知識的基礎上進行類比和遷移,還通過推理活動逐步建構對數(shù)量關系的深刻理解,發(fā)展了數(shù)學推理能力。

    (二)數(shù)形結合,提升學生抽象思維能力

    數(shù)學學習離不開直觀工具的支持,而畫圖是將抽象數(shù)學概念轉化為直觀理解的重要手段。在學習“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”這一問題的解決方法時,學生通常能夠建立知識的發(fā)展脈絡和解題思路。然而,對“一個數(shù)為何可以是另一個數(shù)的幾分之幾”這一問題,學生的理解往往較為淺顯。

    教學中,教師特別設計了課前作業(yè),使數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出倍數(shù)關系。在沒有圖示輔助的情況下,教師發(fā)現(xiàn)學生對3/9的不同寫法理解不足。教師通過追問“對于算式3÷9=3/9,你有什么想法”來引導學生深入思考。通過作圖和列式的方式,教師幫助學生發(fā)現(xiàn)單位“1”可以用不同的方法進行平均分配,從而得到不同的結果。這個過程中,學生不僅僅在具體的算式上進行操作,更在理解這些操作背后的數(shù)學原理和邏輯。

    通過這種引導,學生的理解從“數(shù)量”角度逐漸轉向“份數(shù)”角度,進而認識到不同形式的分數(shù)在本質上表達的是相同的數(shù)學關系。這個過程促使學生從具體的例子抽象出分數(shù)表示“幾分之幾”的本質特征,從而提升他們的抽象思維能力,進而理解和處理更復雜的問題。

    這種教學方式不僅增強了學生對數(shù)學概念的直觀感知,還顯著提高了學生在處理類似問題時的抽象思維能力,從而在解決問題時展現(xiàn)出更強的靈活性和更高的準確性。

    (三)自主設計,提升學生應用能力

    學生依據(jù)所學知識并結合生活經(jīng)驗自主設計問題,可以直接體現(xiàn)對所學內容的掌握程度。在教學中,讓學生自主設計可以用不同分數(shù)解決“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的問題,有助于學生鞏固所學知識,并加深對實際情境中復雜問題的理解。學生設計出的問題主要分為兩類:離散量和連續(xù)量。離散量問題通常涉及“個數(shù)”,學生會采用圈一圈的方式進行平均分配;連續(xù)量問題則涉及“長度”,學生會采用分段的方式進行平均分配。這些設計任務不僅讓學生實踐所學知識,還促使他們將理論應用到實際情境中。

    通過自主設計活動,學生能夠積累大量的實踐經(jīng)驗,進一步豐富對生活中“幾分之幾”問題的理解。這一過程不僅幫助學生將所學知識應用到實際問題中,還提升了他們在真實情境中解決問題的能力。例如,在設計離散量問題時,學生學會了如何將分數(shù)與實際個數(shù)相聯(lián)系;在處理連續(xù)量問題時,他們掌握了如何在長度的實際問題中應用分數(shù)。這些能力的提升促使學生更靈活地運用數(shù)學知識來解決實際問題,從而增強了他們的應用能力和數(shù)學思維。

    四、總結

    學生理解力的提升是一個漸進而持續(xù)的過程。在日常教學中,教師需深入剖析看似簡單的數(shù)學現(xiàn)象,引導學生進行更為深刻的思考。本課的教學實踐證明:

    1.知識架構的厘清:在教學過程中,教師通過系統(tǒng)梳理倍比關系的基本知識,幫助學生建立清晰的知識框架。通過深入剖析“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”的本質,學生能夠更全面地理解分數(shù)的意義。

    2.本質問題的挖掘:通過對倍比關系的深入挖掘,教師引導學生從多個角度探討分數(shù)的含義。這樣的探究不僅加深了學生對分數(shù)概念的理解,還幫助他們掌握了將這一概念應用于不同數(shù)學問題的方法。

    3.延伸理解的拓展:教師通過類比遷移、數(shù)形結合和自主設計等教學方法,有效地拓展了學生對倍比關系的理解。這些方法幫助學生將抽象的數(shù)學概念轉化為具體的操作步驟,提升了他們的推理能力、抽象思維能力和應用能力。

    編輯:常超波

    作者簡介:劉祥(1997—),男,漢族,江蘇南京人,本科,小學二級教師,研究方向:小學數(shù)學。

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