探尋算式規(guī)律?感受數(shù)學(xué)之美

【摘 要】新課標(biāo)在總目標(biāo)中增加了“欣賞數(shù)學(xué)美”的要求，需要學(xué)生從美學(xué)和文化的角度了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)美?！坝糜?jì)算器探索規(guī)律”一課可以讓學(xué)生在探索大量有趣算式的過程中，體會到規(guī)律之真與規(guī)律之妙，更直觀地感受到數(shù)學(xué)之美。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)之美 計(jì)算器計(jì)算 探索規(guī)律

在數(shù)的運(yùn)算中存在著大量有趣的規(guī)律，通常這些規(guī)律都蘊(yùn)藏在較為復(fù)雜的運(yùn)算之中。為了降低計(jì)算難度，讓學(xué)生能夠更好地聚焦對規(guī)律本身的研究，蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊專門安排了“用計(jì)算器探索規(guī)律”一課。本課時的教學(xué)，不僅要通過探索規(guī)律的過程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，更要注重激發(fā)學(xué)生的探究興趣，學(xué)會發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)之美。

一、合情推理，感受規(guī)律之真

數(shù)學(xué)家喬治·波利亞把歸納推理、類比推理等稱為合情推理。它是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納、類比等推斷某些結(jié)果，是一種合乎情理的推理。合情推理通常都帶有個性化的思考，容易產(chǎn)生思維的火花。因此，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。通過解讀教材，筆者認(rèn)為，本節(jié)課的一個重要任務(wù)就是讓學(xué)生在經(jīng)歷探索規(guī)律的過程中發(fā)展合情推理能力。

【教學(xué)實(shí)錄】

出示教材中例3：

26640÷111=

26640÷222=

26640÷333=

師：觀察這三道除法算式，你們有什么發(fā)現(xiàn)？猜猜商可能會怎樣變化？請同學(xué)們用計(jì)算器算出得數(shù)。

學(xué)生口答結(jié)果。

教師引導(dǎo)學(xué)生感知：被除數(shù)不變，除數(shù)越大，商反而越小。

師：請同學(xué)們比較這三道題，看看被除數(shù)、除數(shù)之間有什么聯(lián)系，商又是怎樣變化的。自己先觀察，然后小組內(nèi)交流你的發(fā)現(xiàn)。

小組交流后，教師組織全班交流。

生1：第二題和第一題相比，被除數(shù)是相同的，除數(shù)是第一題的除數(shù)乘2，而商是第一題的商除以2。

生2：第三題和第一題相比，被除數(shù)也是相同的，除數(shù)是第一題的除數(shù)乘3，而商是第一題的商除以3。

師：通過觀察、比較，我們發(fā)現(xiàn)，在除法算式中，被除數(shù)不變，除數(shù)乘幾，商就等于原來的商除以幾。

師：那根據(jù)我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能直接寫出下面幾題的得數(shù)嗎？

26640÷444=" " " " " 26640÷555=

26640÷666=" " " " " 26640÷888=

師：說一說你是怎樣根據(jù)規(guī)律寫出商的？

生3：這幾道題目和第一題相比，被除數(shù)也沒有變，所以根據(jù)剛剛發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，只要看它們的除數(shù)乘幾，把第一題的商除以幾就可以了。

師：很好，那么我們的答案到底對不對呢，請大家用計(jì)算器驗(yàn)算一下。

學(xué)生驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)規(guī)律是正確的。

師：回顧剛才的研究過程，說一說是怎樣探索出規(guī)律的。

……

例1的教學(xué)遵循教材的編排思路，即“計(jì)算器計(jì)算—提出問題—描述規(guī)律—類比求商—計(jì)算器驗(yàn)證”，這樣的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷了探索規(guī)律的完整過程。在此過程中，學(xué)生通過觀察、比較、思考和交流等活動，概括歸納出幾個相似的除法算式中存在的規(guī)律，并通過類比嘗試應(yīng)用規(guī)律，最后通過計(jì)算器驗(yàn)算證明規(guī)律的正確性。學(xué)生通過這一系列積極的探索規(guī)律活動，積累了探索規(guī)律的方法經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了合情推理能力，培養(yǎng)了探索求真的意識，獲得了愉悅的成功體驗(yàn)，為接下來的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)了例3之后，學(xué)生獲得了規(guī)律探索的一般方法和必要經(jīng)驗(yàn)。因此，在 “練一練”時，教師可以直接放手讓學(xué)生自主運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生再次經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。例1和“練一練”選取的數(shù)據(jù)都較為特殊，尤其是“練一練”當(dāng)中所有的被除數(shù)都是“111111、222222、333333……”這樣由一個數(shù)字組成的數(shù)，因此能夠給學(xué)生以較強(qiáng)的視覺沖擊。當(dāng)學(xué)生通過探索后發(fā)現(xiàn)這么特別的算式里竟然還有這樣的規(guī)律，便會被這些真實(shí)存在于運(yùn)算中的奇妙的規(guī)律吸引。

二、追根溯源，感受探索之妙

如果說例3及相應(yīng)練習(xí)中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)規(guī)律是運(yùn)算中的一種客觀存在，那么教材“練習(xí)七”第6題蘊(yùn)藏的規(guī)律則更多地體現(xiàn)了人為構(gòu)造的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究規(guī)律之源，更顯數(shù)學(xué)本身以及數(shù)學(xué)探索的奇妙。

【教學(xué)實(shí)錄】

出示“練習(xí)七”第6題：

師：利用方格里的數(shù)，我們可以按照一定的順序?qū)懗霾煌乃闶?，請大家先觀察算式，說一說每組算式各有什么特點(diǎn)。

生1：我發(fā)現(xiàn)每組兩道算式里的數(shù)都是相同的，但順序是相反的。

生2：我發(fā)現(xiàn)每道算式里的數(shù)也是有一定規(guī)律的，是按照表格里數(shù)的排列順序?qū)懙?。比如，第一組第一道算式就是表格里的數(shù)橫著看，從左往右兩個兩個數(shù)分別是49，35，81；第二道算式也是橫著看，不過要從右往左數(shù)，分別是18，53，94。

……

師：很好，大家觀察得都非常仔細(xì)，看出了算式的特點(diǎn)?，F(xiàn)在請大家計(jì)算每道算式的和，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)三個兩位數(shù)相加的和都是165，三個三位數(shù)相加的和都是1665。

師：你們也都有同樣的發(fā)現(xiàn)嗎？那你們還能像這樣再分別寫一組三個兩位數(shù)和三個三位數(shù)相加的算式嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考并寫出算式。

生1：92+57+16=165，438+951+276=1665。

生2：43+95+27=165，834+159+672=1665。

師：有沒有人得到的結(jié)果和剛剛的發(fā)現(xiàn)是不一樣的？（沒有）那么請大家再聯(lián)系表格中數(shù)的排列特點(diǎn)，想想為什么會有這樣的規(guī)律。（啟發(fā)：可以試著把表格里的數(shù)像這樣加一加，看看有沒有新發(fā)現(xiàn)）

學(xué)生思考后小組內(nèi)交流討論。

生1：我們發(fā)現(xiàn)表格里數(shù)的排列是有規(guī)律的，不管是橫著看還是豎著看，三個數(shù)加起來的和都等于15。

生2：斜著看每組三個數(shù)加起來的和也是15。

生3：我知道為什么了，其實(shí)我們可以想如果把三個加數(shù)列豎式計(jì)算，三個個位數(shù)加起來是15個一，也就是15，三個十位數(shù)加起來是15個十，也就是150，三個百位數(shù)加起來是15個百，也就是1500。三個兩位數(shù)相加，和就是150+15=165，三個三位數(shù)相加，和就是1500+150+15=1665。

師：大家也明白了嗎？現(xiàn)在我們不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，還知道了其中的道理，真了不起！同學(xué)們，其實(shí)這個神奇的格子取材于我國古代神話傳說中的“洛書”。

教師介紹“洛書”的有關(guān)知識：“河圖洛書”，中華文明的源頭，被譽(yù)為“宇宙魔方”，其中蘊(yùn)含著很多奇妙的規(guī)律。

這道練習(xí)題將“洛書”圖案中蘊(yùn)含的三階幻方與加法算式聯(lián)系起來，其中的規(guī)律神奇而美妙，非常適合學(xué)生去探索，但難度較大，教學(xué)時須引導(dǎo)學(xué)生逐步理解和發(fā)現(xiàn)。首先是觀察算式的特點(diǎn)，明確加數(shù)都是按照一定的順序排列的，然后計(jì)算結(jié)果、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再通過舉例進(jìn)一步驗(yàn)證規(guī)律，至此，一個完整的規(guī)律探索的過程就完成了。對于規(guī)律背后蘊(yùn)藏的道理，也可以利用已有知識經(jīng)驗(yàn)來解釋。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，驗(yàn)證規(guī)律后繼續(xù)觀察表格中的數(shù)據(jù)，從而發(fā)現(xiàn)表格中數(shù)的排列是有規(guī)律的，橫著、豎著、斜著的三個數(shù)加起來的和都是15。在找到原因的同時，也讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，真正把規(guī)律探索的趣味性與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維性結(jié)合到了一起。也只有經(jīng)歷這樣的探索規(guī)律的過程，學(xué)生才能更好地學(xué)會數(shù)學(xué)思考、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)那一份獨(dú)有的快樂，不斷增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

三、合理想象，感受數(shù)學(xué)之美

數(shù)學(xué)運(yùn)算中的這些規(guī)律，在形式構(gòu)造上有著明顯的特征，或遞增、遞減排列，或?qū)ΨQ、螺旋排列，形式多樣，呈現(xiàn)著特有的數(shù)學(xué)之美。在教學(xué)中，教師在引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律的同時，也要及時引導(dǎo)學(xué)生觀察這些有趣的算式，并適當(dāng)補(bǔ)充類似的算式，讓學(xué)生深深感受數(shù)學(xué)知識的形式美、結(jié)構(gòu)美，讓這些平時看似冷冰冰的數(shù)字如同一個個跳躍的小精靈，生動活潑地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，讓學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)之趣、數(shù)學(xué)之美，從而發(fā)自內(nèi)心地愛上探索規(guī)律的活動，愛上數(shù)學(xué)。

如在學(xué)習(xí)了練習(xí)七第7、8題之后，教師還可以補(bǔ)充，如：神奇的“1”。

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

111111×111111=12345654321

1111111×1111111=1234567654321

……

學(xué)生在探索規(guī)律的過程中還需要去體驗(yàn)規(guī)律的局限性、規(guī)律與規(guī)律之間的內(nèi)在聯(lián)系等。例如，學(xué)生在完成練習(xí)七第12題時，利用計(jì)算器算出142857乘1，2，3，4，5，6的積之后，發(fā)現(xiàn)它們都是由1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字組成的：

142857×1=" 142857" " 142857×4=" 571428

142857×2=" 285714" " 142857×5=" 714285

142857×3=" 428571" " 142857×6=" 857142

教師適時提問： 142857×7，同學(xué)們覺得積可能是由哪幾個數(shù)字組成的？根據(jù)之前積累的規(guī)律探索經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會繼續(xù)類比下去，認(rèn)為142857乘7的結(jié)果也是由1，4，2，8，5，7這6個數(shù)字組成的。接著，教師讓學(xué)生利用計(jì)算器驗(yàn)證自己的猜測，發(fā)現(xiàn)得到的積是999999這樣一個特殊的數(shù)，規(guī)律并沒有延續(xù)下去。學(xué)生在這樣的試錯探索中體會到規(guī)律有時是有范圍限定的。

接著，繼續(xù)完成以下題目（先算出前面三道題的得數(shù)，再直接寫出后面兩道題橫線上的數(shù)）：

142857×1+857142=

142857×2+714285=

142857×3+571428=

142857×4+" " " " " " =

142857×5+" " " " " " =

根據(jù)前三題的結(jié)果，學(xué)生很容易就能夠根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并順利完成后面兩題。教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：為什么這幾道不同的算式能夠得到相同的結(jié)果？學(xué)生很快就會發(fā)現(xiàn)這幾道算式的內(nèi)在聯(lián)系，每個算式其實(shí)都表示7個142857相加，所以結(jié)果都是999999，之前學(xué)生猜測142857×7的試錯過程，也為探索這五道算式的規(guī)律埋下了伏筆。

經(jīng)過這樣的探究、猜想、試錯、再探究、再發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)生對規(guī)律的探索有了更深入的認(rèn)識。他們不但能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解釋規(guī)律，更能體會到數(shù)學(xué)規(guī)律背后知識之間的緊密聯(lián)系，深度理解數(shù)學(xué)的理性美。

把數(shù)學(xué)規(guī)律探索納入培育學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的視野之下，帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)之真、數(shù)學(xué)之妙、數(shù)學(xué)之美，能夠讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)。愿我們的教學(xué)都能夠喚醒學(xué)生內(nèi)心對知識的好奇與期待，讓他們能夠真正享受到學(xué)習(xí)帶來的特別的快樂！

【參考文獻(xiàn)】

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.