高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”解題分析

摘要：在教育教學(xué)的不斷改革背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要開放思路，重視對學(xué)生多種能力的培養(yǎng)，特別是對學(xué)生解題能力的培養(yǎng)要加大力度和強(qiáng)度，因為培養(yǎng)學(xué)生的解題能力也是在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.本研究中，以函數(shù)的概念與性質(zhì)相關(guān)內(nèi)容為例進(jìn)行了幾種解題方法的探討.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)的概念與性質(zhì)；學(xué)生

進(jìn)入到高中階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得有一些難度，特別是一些數(shù)學(xué)問題的解決，如果不能掌握有效的方法，則會比較吃力.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)以及相關(guān)內(nèi)容貫穿始終，函數(shù)既是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點，同時也是難點.更為關(guān)鍵的是，在高考中函數(shù)相關(guān)問題可以說是必考題目，也占有一定的比例.因此，要讓學(xué)生掌握一些有關(guān)函數(shù)問題的解題方法，幫助他們更深入理解和分析題目，從而更順利地解答函數(shù)相關(guān)問題，讓能力得到培養(yǎng).本研究中以人教A版高中教材中“函數(shù)的概念與性質(zhì)”為例分析一些有效的解題方法.

1 熟記性質(zhì)，靈活運用

在解決一些函數(shù)的概念和性質(zhì)的相關(guān)問題時，如果對概念理不清，在解答題目時就容易出現(xiàn)錯誤，如果對概念理解不透徹，在遇到一些相關(guān)問題時也會束手無策.因此，一定要正確深刻地理解函數(shù)的概念和性質(zhì).這樣在解答相關(guān)題目時，就能夠在腦中想到相關(guān)知識，對概念進(jìn)行剖析，抓住概念的實質(zhì)［1］.對題目中的一些關(guān)鍵信息進(jìn)行翻譯，在逐步分析中，明確概念與性質(zhì)，從而根據(jù)具體的題目條件靈活加以運用.

例1函數(shù)y=1+ln（x－1）（xgt;1）的反函數(shù)是（）.

A.y=ex+1－1（xgt;0）

B.y=ex－1+1（xgt;0）

C.y=ex+1－1（x∈R）

D.y=ex－1+1（x∈R）

解析：本題考查的是反函數(shù)的概念及其求法，可以運用求反函數(shù)的方法來解答.求反函數(shù)的步驟分為三步.（1）反解x，即用y表示x；（2）把x，y互換；（3）寫出反函數(shù)的定義域，也就是原來函數(shù)的值域.由y=1+ln（x－1），得ln（x－1）=y－1，于是x－1=ey－1，所以反函數(shù)為y=ex－1+1（x∈R）.因此此題正確答案選項D.本題解答時一定要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化.

2 換元法，使得題目意義更清晰

換元法也是解決數(shù)學(xué)問題的一個使用較為廣泛并且很重要的一個方法.通常是把未知數(shù)或者變數(shù)稱為元.換元法是在一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，用新的變元去代替原數(shù)學(xué)表達(dá)式的一部分，用于改造原來的式子，這樣新式子就具有了更清晰的數(shù)學(xué)意義，相關(guān)的數(shù)學(xué)問題也更加容易解決［2］.更簡單一點來說，就是在解決數(shù)學(xué)問題時，把已知或者未知中某個多次出現(xiàn)的式子看作一個整體，用一個變量去代替它.換元的關(guān)鍵是要構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，這是在使用換元法解決數(shù)學(xué)問題時必須要掌握的.

例2求函數(shù)y=x4+3x2+1x2+1的值域.

解析：本題若直接求解較為復(fù)雜，通過換元法可簡化問題.令t=x2+1（t≥1），則x2=t－1.原函數(shù)可化為y=（t－1）2+3（t－1）+1t.

此時，我們得到了一個關(guān)于t的函數(shù)y=t+1－1t，t≥1.

對函數(shù)y=t+1－1t求導(dǎo)，y′=1+1t2，因為t≥1，所以y′=1+1t2＞0，這表明函數(shù)y=t+1－1t在［1，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)t=1時，y取得最小值，ymin=1+1－1=1.

當(dāng)t趨近于+∞時，y=t+1－1t也趨近于+∞.

所以原函數(shù)y=x4+3x2+1x2+1的值域為［1，+∞）.

在這個例子中，通過換元將原本復(fù)雜的關(guān)于x的四次函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的較簡單函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得值域. 換元法在其中起到了化繁為簡的關(guān)鍵作用，清晰地展現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)與值域求解過程. 同時，在換元過程中嚴(yán)格確定了新變量t的取值范圍，保證了換元的合理性與準(zhǔn)確性.

3 數(shù)形結(jié)合，讓問題更直觀

借助圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的解題方法，這種方法我們稱之為數(shù)形結(jié)合法.數(shù)形結(jié)合法是解決數(shù)學(xué)問題最常用的方法之一.本質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，從直觀的圖形中了解數(shù)學(xué)語言的意思，使復(fù)雜問題變得更簡單一些.函數(shù)圖象的幾何特征和數(shù)量特征緊密結(jié)合，體現(xiàn)的正是數(shù)形結(jié)合的特征與方法.數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生應(yīng)該具備的素養(yǎng)之一.在函數(shù)的概念與性質(zhì)的相關(guān)問題中，運用數(shù)形結(jié)合法解題，將題目中的已知信息和函數(shù)形象直觀地呈現(xiàn)出來，能夠有助于學(xué)生理解題意，探究解題思路，檢驗解題結(jié)果，進(jìn)而逐漸培養(yǎng)解題能力，提升數(shù)學(xué)實力和水平，拓寬解題思路［3］.

例3對于任意實數(shù)x，設(shè)f（x）是y1=4x+1，y2=x+2，y3=-2x+4三個函數(shù)的最小值，則f（x）的最大值為.

圖1解析：本題是求f（x）（三個函數(shù)中的最小值）的最大值，直接從函數(shù)表達(dá)式去分析較為復(fù)雜，而借助三個函數(shù)圖象，可直觀看到不同x取值下函數(shù)值的對比，確定函數(shù)最小值，從而找到f（x）的圖象，很容易求出其最大值.

在同一個平面直角坐標(biāo)系中作出三個函數(shù)的圖象（如圖1）.根據(jù)題意得知，f（x）的圖象是三個函數(shù)圖象的最下面的部分構(gòu)成的折線.從圖象可知，函數(shù)f（x）的最大值是y2與y3圖象交點的縱坐標(biāo).解方程組y=x+2，

y=－2x+4，得y=83，故f（x）的最大值為83.

4 應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，讓復(fù)雜問題簡單化

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種基本的數(shù)學(xué)思想.在解決一些問題，尤其是一些較難的數(shù)學(xué)問題時，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，把較為復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決，這就是轉(zhuǎn)化思想［4］.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)?？梢钥吹睫D(zhuǎn)化思想的運用.在關(guān)于“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的一些題目中，可以運用轉(zhuǎn)化思想，把復(fù)雜問題變得簡單一些，從而幫助我們解題.

例4關(guān)于x的方程cos2x－sin x+a=0在區(qū)間0，π2上有解，求a的取值范圍.

解析：經(jīng)過閱讀題目可以看出，本題是含有參數(shù)的三角方程解的問題，相對來說比較復(fù)雜.對于這樣的題型，想要快速解決問題，需要利用函數(shù)思想對其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，分離方程cos2x－sin x+a=0中的參數(shù)a，并構(gòu)建函數(shù)a=－cos2x+sin x，從而將本道題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題.

具體解題步驟如下：

根據(jù)題意，令函數(shù)f（x）=－cos2x+sin x，x∈0，π2，當(dāng)a在函數(shù)f（x）=－cos2x+sin x的值域上時，方程a=f（x）有解.將函數(shù)f（x）化為f（x）=－（1－sin2x）+sin x=sin x+122－54，又因為x∈0，π2，所以可得sin x∈（0，1］，因此f（x）的值域為（－1，1］，最終得出a的取值范圍是（－1，1］.

由此可以看出，利用函數(shù)思想解決含有參數(shù)的三角方程問題，可以把復(fù)雜的問題簡單化，更快速地解決問題.所以在解題過程中，如果遇到相關(guān)問題，可以嘗試將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)方面的問題，從而利用函數(shù)思想解決問題.

高中數(shù)學(xué)不同于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，它的特殊性使得它沒有一個固定的解題模板和教學(xué)模式，因此在解答問題時要懂得求新求變，具有創(chuàng)新意識.函數(shù)的概念與性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的部分，學(xué)習(xí)時要重點關(guān)注，掌握一些有效的解題思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、換元法等，不斷積累解題經(jīng)驗，這樣解答數(shù)學(xué)題目時能夠從多個方面考慮問題，形成有效的解題思路.這些不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，也能夠使學(xué)生在分析、解決數(shù)學(xué)問題中獲得全面發(fā)展，更好地為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)服務(wù).

參考文獻(xiàn)：

[1]姜易京，龍佳慧，王思亮.人教A版高中數(shù)學(xué)教材中“函數(shù)的概念與性質(zhì)”內(nèi)容的文本與使用情況探析——基于國家中小學(xué)智慧教育平臺的分析[J].遼寧師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2023，25（3）：1419.

[2]魏莉莎，湯瓊，閆旭，等.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教科書分析研究——以“函數(shù)的概念與性質(zhì)”章節(jié)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（17）：911.

[3]郭輝林.高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”大單元教學(xué)設(shè)計分析[J].新課程，2022（36）：112113.

[4]杜小平，郭紹.高中數(shù)學(xué)新舊教材“函數(shù)的概念與性質(zhì)”內(nèi)容比較分析及教學(xué)策略[J].新課程，2020（33）：114115.