用坐標(biāo)法求解斜棱柱問(wèn)題的思路

在解答立體幾何問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)斜棱柱的棱長(zhǎng)、面積、體積、內(nèi)角等問(wèn)題.由于斜棱柱的側(cè)棱與底面不垂直，所以我們往往很難確定斜棱柱上的頂點(diǎn)在底面上的投影，這就給我們解題帶來(lái)了很多的麻煩.對(duì)此，我們需根據(jù)斜棱柱的結(jié)構(gòu)特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)順利獲得問(wèn)題的答案

我們知道，斜棱柱的上下兩個(gè)底面互相平行，各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，并且所有的側(cè)棱都互相平行. 運(yùn)用坐標(biāo)法求解斜棱柱問(wèn)題，需首先根據(jù)斜棱柱的特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系，要注意以下幾點(diǎn)：

1.選定合適的坐標(biāo)原點(diǎn).原點(diǎn)是三條坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，那么由原點(diǎn)引出的三條射線須得兩兩互相垂直.通?？梢砸缘酌娴囊粋€(gè)頂點(diǎn)、底面的一條邊上的中點(diǎn)、底面的一條邊上的垂足為坐標(biāo)原點(diǎn).

2.選定合適的坐標(biāo)軸.三條坐標(biāo)軸須得兩兩互相垂直，因此在選定坐標(biāo)軸時(shí)，我們需先在斜棱柱的底面找到一組相互垂直的直線，將其視為x、y軸，如底面的底邊與其邊上的中垂線、高線等；然后尋找或作出垂直于底面的直線，并將其視為z軸，通常可以作斜棱柱的上底面的一個(gè)頂點(diǎn)在底面上的射影，那么該頂點(diǎn)與其射影的連線必定垂直于底面，該線段即為斜棱柱的高.若該直線與x、y 軸不相交，則需作其平行線，使其與x、y軸相交于一點(diǎn).

3.確定三條坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度.通常以已知的線段或其在坐標(biāo)軸上的投影為參考標(biāo)準(zhǔn)來(lái)設(shè)定x、y、z 軸上的單位長(zhǎng)度.

接著設(shè)出或求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過(guò)向量運(yùn)算求得各條直線的方向向量與平面的法向量；然后根據(jù)向量的模的公式、數(shù)量積公式以及運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

例1

解

在該斜三棱柱的底面三角形中，∠ACB = 90° ，據(jù)此可以找到一組垂線 CE ⊥ AC .且可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出 CE ⊥平面 ABC ，即可將 CE 視為 z 軸、 CA為x軸、CB為y軸來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面 BDC1 的法向量和直線 AA1 的方向向量，就能直接根據(jù)夾角公式求得直線 AA1 與平面 BDC1 所成角的正弦值.

例2

解

該斜三棱柱的底面為等腰直角三角形，三棱柱的頂點(diǎn) A1 在底面ABC上的射影是線段BC的中點(diǎn)，據(jù)此我們可以以 OA、OB、OA1 為 x、y、z 軸來(lái)建立空間直角坐標(biāo)系，即可快速求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，順利得到問(wèn)題的答案.值得注意的是，在求平面的法向量時(shí)，要根據(jù)法向量垂直于平面的這個(gè)關(guān)系來(lái)建立關(guān)系式.

例3

解

在該平行六面體中，∠A1AB = ∠A1AD = ∠DAB = 60° ，平行六面體的側(cè)棱與底面的兩條邊所成的角相等，此時(shí)側(cè)棱 AA1 的射影在底面的角平分線上，據(jù)此我們可以快速確定z軸.而平行六面體的底面是菱形，可以根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)來(lái)確定 x、y 軸，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系.

總之，在解答斜棱柱問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)研究斜棱柱的結(jié)構(gòu)特征，尋找一些垂直關(guān)系，以便快速建立空間直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題來(lái)求解.在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要盡量使更多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，以快速求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，減少運(yùn)算量，提升解題的效率.

（作者單位：甘肅省慶陽(yáng)第七中學(xué)）