選用恰當(dāng)?shù)姆椒?，快速求得多元代?shù)式的值

多元代數(shù)式的求值問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中. 這類問題的命題形式多樣，解法靈活.下面以一道題為例，探析求解多元代數(shù)式求值問題的方法.

題目

該題目涉及了三個(gè)元 x、y、z，且其關(guān)系式較為復(fù)雜，我們需對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍?gòu)造，以通過換元、構(gòu)造齊次式來求得代數(shù)式的值.

一、換元法

對(duì)于多元代數(shù)式求值問題，我們通常采用換元法來求解.首先仔細(xì)觀察已知關(guān)系式和目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，并建立二者之間的聯(lián)系；然后選擇合適的式子用一個(gè)新元替換，以達(dá)到減元的目的.將原來復(fù)雜的代數(shù)式簡(jiǎn)化，就能從新的角度找到解題的思路.

解法1

我們根據(jù)已知關(guān)系式設(shè)a = x + y + z x + y - 5z 、b = x + y + z y + z - 5x 、 c = x + y + z x + z - 5y ，這樣通過換元，就能得到新關(guān)系式 ab + bc + ca = -3abc ，并通過代換將目標(biāo)式化為關(guān)于a、 b、c的式子；最后通過整體代換求得代數(shù)式的值.

解法2

我們先令 y + z - 5x = a ，x + z - 5y = b ，x + y - 5z = c；然后用a、b、c表示x、y、z，即可通過換元來改變目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)形式，并使隱含的條件顯示出來，從而使問題迅速得解.

二、齊次化法

齊次式是指代數(shù)式中的每個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)是一樣的.為了快速求得多元代數(shù)式的值，我們通常要通過代換、湊項(xiàng)、湊系數(shù)等方式構(gòu)造出齊次式，以通過整體代換來求得目標(biāo)式的值.

解法3

設(shè) x + y + z = 1，將已知關(guān)系式化為齊次式即可通過整體代換求得問題的答案.

總之，求多元代數(shù)式的值，要注意多觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，善于尋找代數(shù)式與公式之間的契合點(diǎn)，將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、?gòu)造、代換，從而順利求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué)）