強(qiáng)化模型建構(gòu)意識(shí)提升模型遷移能力

摘要：2023年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科綜合部分的物理壓軸題，即第26題，巧妙地運(yùn)用了“線框和導(dǎo)軌”作為題目載體，其情境設(shè)計(jì)既靈活又富有創(chuàng)新性，顯著體現(xiàn)了對(duì)考生關(guān)鍵能力、核心素養(yǎng)及思維品質(zhì)的全面考查。該題目特別注重考查考生對(duì)物理知識(shí)的深刻理解、融會(huì)貫通及靈活應(yīng)用的能力，可謂是一道極為出色的試題。本文將從試題評(píng)析、模型溯源至思維升華等多個(gè)維度進(jìn)行深入剖析，并強(qiáng)調(diào)在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生的模型建構(gòu)意識(shí)，提高學(xué)生模型拓展與遷移的能力，同時(shí)高度重視科學(xué)思維方法的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：高考試題；電磁感應(yīng)；單棒模型；模型建構(gòu)；另類勻變速運(yùn)動(dòng)

電磁感應(yīng)與力學(xué)結(jié)合的問題一直是高考的熱點(diǎn)。這類問題往往情境復(fù)雜、變化多樣、綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的要求很高。2023年全國(guó)新課標(biāo)高考卷的物理壓軸題來源于電磁感應(yīng)中的“單棒切割模型”［1］，該題目設(shè)計(jì)新穎巧妙，旨在考查學(xué)生綜合運(yùn)用物理概念和規(guī)律解決問題的能力。試題的設(shè)問和呈現(xiàn)方式科學(xué)合理，既包含基礎(chǔ)知識(shí)，又具備綜合性與創(chuàng)新性，體現(xiàn)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明》中“一核”“四層”“四翼”的要求［2］，有利于全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才。

1試題解析

例題（2023年全國(guó)新課標(biāo)高考卷物理壓軸題）一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m的正方形金屬細(xì)框，每邊電阻為R0，置于光滑的絕緣水平桌面（紙面）上。寬度為2L的區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，兩虛線為磁場(chǎng)邊界，如圖（a）所示。

（1）使金屬框以一定的初速度向右運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)。運(yùn)動(dòng)過程中金屬框的左、右邊框始終與磁場(chǎng)邊界平行，金屬框完全穿過磁場(chǎng)區(qū)域后，速度大小降為它初速度的一半，求金屬框的初速度大小。

（2）在桌面上固定兩條光滑長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌與磁場(chǎng)邊界垂直，左端連接電阻R1＝2R0，導(dǎo)軌電阻可忽略，金屬框置于導(dǎo)軌上，如圖（b）所示。讓金屬框以與（1）中相同的初速度向右運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)。運(yùn)動(dòng)過程中金屬框的上、下邊框處處與導(dǎo)軌始終接觸良好。求在金屬框整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R1產(chǎn)生的熱量。

閉合電路的一根導(dǎo)體棒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中垂直切割磁感線時(shí)，由E＝BLv，I＝ER，F(xiàn)安＝BIL，可得安培力大小為

F安＝B2L2vR∝v。

若導(dǎo)體棒只受安培力的作用，則做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，取初始時(shí)刻導(dǎo)體棒的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則在一個(gè)過程中安培力的沖量大小為

I安＝∑B2L2vRΔt＝B2L2R∑vΔt＝B2L2Rx∝x。

對(duì)于第（1）問，解析如下。

金屬框穿過磁場(chǎng)區(qū)域的全過程分為三個(gè)階段。第一階段進(jìn)入磁場(chǎng)的過程和第三階段離開磁場(chǎng)的過程，金屬框都在安培力的作用下做減速運(yùn)動(dòng)。第二階段金屬框全部在磁場(chǎng)中，不受安培力作用而做勻速直線運(yùn)動(dòng)。各階段的等效電路如圖1所示，電路的總電阻都為R＝4R0。

以金屬框的速度方向?yàn)檎较颍诘谝浑A段和第三階段中，由動(dòng)量定理可得

聯(lián)立以上兩式，結(jié)合已知條件v2＝v02，可得金屬框的初速度大小為v0＝B2L3mR0。

對(duì)于第（2）問，解析如下。

由于金屬導(dǎo)軌電阻可忽略，金屬框置于導(dǎo)軌上，所以上、下邊框的電阻被短路。第一階段的等效電路如圖2所示。

圖2第一階段的等效電路圖

電路的總電阻R′＝R1R0R1＋R0＋R0＝53R0，

由動(dòng)量定理可得

解得v1′＝25v0。

由能量守恒定律可得

第二階段金屬框全部在磁場(chǎng)中，左、右邊框以相同的速度切割磁感線，相當(dāng)于兩個(gè)相同的電源并聯(lián)，等效電動(dòng)勢(shì)仍為E，等效內(nèi)阻為并聯(lián)內(nèi)阻R02。［3］也可理解為金屬框的左、右邊框捆綁（并聯(lián)）在一起切割磁感線，等效為只有一個(gè)電源。第二階段等效電路如圖3所示。

電路的總電阻R″＝R1＋R02＝52R0，

金屬框在安培力的作用下繼續(xù)做減速直線運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量定理可得－

即金屬框右邊框到達(dá)磁場(chǎng)區(qū)域右邊界時(shí)金屬框恰好停止，運(yùn)動(dòng)過程結(jié)束。由能量守恒定律可得

在金屬框整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R1產(chǎn)生的熱量為

2試題評(píng)析

本題通過設(shè)計(jì)金屬框在垂直于其平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程，建構(gòu)了一個(gè)學(xué)習(xí)探索的問題情境，所涵蓋的必備知識(shí)廣泛，包括動(dòng)量定理、電阻的串并聯(lián)原理、歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律、安培力計(jì)算公式以及能量守恒定律等關(guān)鍵概念和物理規(guī)律。此設(shè)計(jì)旨在通過了解學(xué)生對(duì)這些概念和規(guī)律的理解與靈活應(yīng)用，著重考查其綜合分析能力和創(chuàng)新思維，體現(xiàn)了試題考查的綜合性和創(chuàng)新性的特點(diǎn)。

本題在學(xué)生比較熟悉的物理模型基礎(chǔ)上進(jìn)行展開，逐步深入探討。通過讓金屬框沿金屬導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)并進(jìn)入磁場(chǎng)，讓電阻可忽略的導(dǎo)軌將金屬框上、下邊框短路，極大地簡(jiǎn)化了電路。題目構(gòu)思新穎且巧妙，將基礎(chǔ)知識(shí)和創(chuàng)新思維融入試題之中，引導(dǎo)學(xué)生具體問題具體分析。本題涉及知識(shí)面較廣，綜合性較強(qiáng)，創(chuàng)新性較高，設(shè)問由淺入深，要求學(xué)生不僅能夠獲取信息，而且能夠理解基本概念和規(guī)律，并加以靈活運(yùn)用，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用物理知識(shí)解決問題的能力。［4］

在對(duì)本題的第（1）問進(jìn)行解答時(shí)，學(xué)生需通過對(duì)金屬框穿過磁場(chǎng)的整個(gè)過程的分析，厘清金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的減速運(yùn)動(dòng)、完全在磁場(chǎng)中的勻速運(yùn)動(dòng)以及穿出磁場(chǎng)時(shí)的減速運(yùn)動(dòng)這三個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。根據(jù)題目所給的金屬框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域前和穿過磁場(chǎng)區(qū)域后的速度信息，利用安培力的沖量大小與位移成正比的關(guān)系，再結(jié)合動(dòng)量定理給出金屬框進(jìn)入前和穿過后的速度關(guān)系，得到初速度的大小。

第（2）問增加了金屬導(dǎo)軌的設(shè)置，為學(xué)生提供了與第（1）問相同的金屬框初速度、導(dǎo)軌電阻可忽略等信息。學(xué)生需要判斷出上、下邊框的電阻被導(dǎo)軌短路的情況，進(jìn)而分析清楚金屬框在不同運(yùn)動(dòng)階段其左、右邊框的電阻與R1的串、并聯(lián)關(guān)系。結(jié)合第（1）問的分析，可得到金屬框右邊框到達(dá)磁場(chǎng)右邊界時(shí)金屬框恰好停下的結(jié)論，并求出電阻R1上產(chǎn)生的熱量。常見的錯(cuò)誤解答主要有兩種：第一種是沒有考慮與金屬導(dǎo)軌接觸的上、下邊框的電阻被短路，誤認(rèn)為兩個(gè)階段的等效電路如圖4所示，導(dǎo)致第一階段的計(jì)算變得極其復(fù)雜，而第二階段的電路結(jié)構(gòu)更加難以分析，不清楚兩個(gè)電源是如何連接的，因此無法繼續(xù)計(jì)算；第二種是受到第（1）問的思維定式，沒有考慮到第二階段的電路中也有電流存在，誤認(rèn)為金屬框全部在磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)不受安培力作用而做勻速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而考慮如第（1）問中第三階段金屬框離開磁場(chǎng)的過程，等效電路如圖5所示，電路結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)過程類似于第一階段，最終計(jì)算出錯(cuò)誤的結(jié)果為B4L615mR20。事實(shí)上，第二階段中金屬框的左、右邊框產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)電源都要為外電阻R1供電，實(shí)質(zhì)為電路的疊加。

總的來說，作為高考?jí)狠S題，該題的情境來源比較常規(guī)，但問題的設(shè)計(jì)極具創(chuàng)新性。一方面是通過接觸電阻可忽略的導(dǎo)軌，使金屬框的部分電阻短路，另一方面是通過導(dǎo)軌加入電阻R1，使原本雙電源的反接關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)椴⒙?lián)關(guān)系。因此本題主要難在電路結(jié)構(gòu)的分析，這直接關(guān)系到金屬框速度的計(jì)算以及電路所產(chǎn)生熱量的分配。此外，題目中只給出了初始狀態(tài)，全過程有幾個(gè)階段需要逐步計(jì)算才能得出結(jié)論，碰巧的是第二階段結(jié)束時(shí)金屬框剛好停止。這種精巧的設(shè)計(jì)值得細(xì)細(xì)品味，此題無論從思維上還是數(shù)學(xué)計(jì)算上，都具有一定的難度，區(qū)分度較高，有利于選拔頂尖創(chuàng)新人才、推動(dòng)新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革和教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)。

3模型溯源

試題來源于電磁感應(yīng)中的經(jīng)典模型——單棒切割模型（如圖6所示）。

光滑U形金屬導(dǎo)軌固定在水平面上，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，電阻的阻值為R，空間存在垂直紙面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一根質(zhì)量為m的金屬棒與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻均可忽略不計(jì)，現(xiàn)給金屬棒沿導(dǎo)軌向右的初速度v0，試分析金屬棒的運(yùn)動(dòng)。

金屬棒由于受到安培力的作用而做減速運(yùn)動(dòng)，速度的變化影響電動(dòng)勢(shì)，電動(dòng)勢(shì)的變化影響電流，電流的變化影響安培力，安培力的變化影響合力，合力的變化影響加速度，加速度的變化又反過來影響速度，如此循環(huán)，構(gòu)成的邏輯鏈如圖7所示［5］。因此，金屬棒做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng)，即速度v隨時(shí)間t非均勻變化。

下面將從金屬棒受力的特點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行討論，揭示出這種典型的非勻變速運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)規(guī)律。

若某個(gè)力的大小與速度成正比，即F＝kv，比例系數(shù)k為常量，則它在一個(gè)過程中的沖量大小為

即一個(gè)力的大小與速度成正比，則它的沖量與位移成正比。這是典型的微元法，蘊(yùn)含著微積分的思想，問題的核心在于，速度隨時(shí)間的累積量恰好等于位移。

在上述模型中，對(duì)金屬棒由動(dòng)量定理可得

解得v＝v0－B2L2mRx。

金屬棒的速度v隨位移x均勻變化，v-x圖像如圖8所示。

基于安培力的大小與速度成正比的特點(diǎn)，利用動(dòng)量定理就可以將速度與位移聯(lián)系起來，方便地解決這類非勻變速運(yùn)動(dòng)問題。牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》中專門提到“受與速度成正比的阻力作用的物體運(yùn)動(dòng)”，并且作為一個(gè)“命題”或“定理”表述為 “如果一個(gè)物體受到的阻力與其速度成正比，則阻力使它損失的運(yùn)動(dòng)正比于它在運(yùn)動(dòng)中所掠過的距離”。［6］

另一方面，由牛頓第二定律可得

即速度變化量與位移之比dvdx為常量，或者說速度變化量與位移成正比。為了區(qū)別于加速度的定義a＝dvdt，通常定義“另類加速度”為A＝dvdx。由于a不變的運(yùn)動(dòng)稱為勻變速運(yùn)動(dòng)，所以類比將A不變的運(yùn)動(dòng)稱為“另類勻變速運(yùn)動(dòng)”。兩種加速度的大小關(guān)系為

當(dāng)A不變時(shí)做加速運(yùn)動(dòng)，a將變大；當(dāng)A不變時(shí)做減速運(yùn)動(dòng)，a將變小。由上式可得

由此可見，做“另類勻變速運(yùn)動(dòng)”的物體，其速度v、位移x、加速度a、合力F都隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律變化。從數(shù)學(xué)的角度看，這種看似巧合的結(jié)論，實(shí)質(zhì)是自然指數(shù)函數(shù)特性的必然結(jié)果。它的導(dǎo)數(shù)與它本身成正比，無論如何求導(dǎo)或積分其結(jié)果都是指數(shù)規(guī)律，只是這種運(yùn)動(dòng)給數(shù)學(xué)模型賦予了物理意義而已。從這個(gè)角度看，它是一種十分復(fù)雜的變速運(yùn)動(dòng)，但從另一個(gè)角度看，速度v、加速度a、合力F都隨位移x均勻變化，它又是一種非常簡(jiǎn)單的變速運(yùn)動(dòng)。

在上述模型中，金屬棒受到的安培力滿足F安＝－kv，其以初速度方向?yàn)檎较?，比例系?shù)為k＝－B2L2R，做“另類勻變速運(yùn)動(dòng)”。由于A＝km＝－B2L2mR＜0，所以金屬棒的速度v隨時(shí)間t按指數(shù)規(guī)律減小，將無限趨近于0，v-t圖像如圖9所示。

參考文獻(xiàn)

［1］段石峰.電磁感應(yīng)含容電路中是否計(jì)電阻的討論［J］.中學(xué)物理教學(xué)參考，2022，51（31）：40-43．

［2］教育部考試中心. 中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說明［M］. 北京：人民教育出版社，2019：10-35．

［3］段石峰.等效電源法在高中物理教學(xué)和解題中的應(yīng)用［J］.湖南中學(xué)物理，2022，37（8）：45-48．

［4］教育部教育考試院.高考試題分析理科綜合（2024年版）［M］.北京：語文出版社，2023：94-95．

［5］張兵榮.落實(shí)物理核心素養(yǎng) 培養(yǎng)科學(xué)思維能力——以電磁感應(yīng)專題復(fù)習(xí)教學(xué)為例［J］.物理教學(xué)，2021，43（3）：2-6．

［6］［英］牛頓.自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理［M］.王克迪，譯.北京：北京大學(xué)出版社，2006：155．