對一道桿約束問題的深度探究

**基金項目：本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃立項課題“新實驗體系下物理課堂開展深度學習的實踐研究”（課題編號：C－c/2021/02/158）的階段性研究成果。

摘要：鑒于學生對一道桿約束問題的質(zhì)疑，本文通過實驗探究、Working Model仿真模擬和理論分析，發(fā)現(xiàn)該題的備選答案與實際情況不符，說明該題目的命制缺乏嚴謹性和科學性。因此，本文在探究該題目答案合理性的基礎(chǔ)上，對后續(xù)問題進行了深入探討，以期提高教師和學生對問題的分析拓展能力。

關(guān)鍵詞：桿約束；深度探究；Working Model軟件；質(zhì)心運動

1問題與質(zhì)疑

如圖所示，一長直輕桿兩端分別固定小球A和B，兩小球質(zhì)量均為m，兩小球半徑均忽略不計，桿的長度為L。先將桿AB豎直靠放在豎直墻上，輕輕撥動小球B，使小球B在水平面上由靜止開始向右滑動，當小球A沿墻下滑距離為L2時，下列說法正確的是（不計一切摩擦，重力加速度為g）（）。

A. 桿對小球A做功為14mgL

B. 小球A、B的速度都為12gL

C. 小球A、B的速度分別為123gL和12gL

D. 桿與小球A、B組成的系統(tǒng)機械能減少了12mgL

前不久，一位學生對教輔書中的上述題目提出疑問。學生提出，他在生活中發(fā)現(xiàn)，一根斜靠在墻上的晾衣桿滑下時會離開墻壁，那么，這道題中的小球A是否也會離開墻壁呢？如果小球A在沿墻下滑距離不到L2時就已離開墻壁，那這道題就不能簡單地運用速度分解和系統(tǒng)機械能守恒來進行分析。因為小球A一旦離開墻壁，其速度就會出現(xiàn)水平分量，運動過程會變得十分復雜。

筆者聽后，深感這位學生的觀察和推理能力之強，隨后查閱了一下這道題的出處，發(fā)現(xiàn)這道題在多地高一或高三的?？季碇芯霈F(xiàn)過，那么有沒有可能是數(shù)據(jù)設(shè)置好了保證小球A一直不會離開墻壁，亦或是在小球A下滑到L2之前不會離開墻壁呢？

2實驗與模擬

2.1實驗觀察

通過桿的約束，兩球必然會相互影響。為了直觀呈現(xiàn)結(jié)果，可以先從實驗的角度出發(fā)。

該實驗裝置簡單易得，“兩球”用較重的金屬球，“輕桿”用密度較小的PVB材料，然后將它們通過膠水粘牢，實驗裝置如圖1所示。實驗開始前，為使裝置能順利下滑，可以設(shè)置一個角度。接下來讓兩球緊靠較光滑的墻面和桌面，并由靜止開始下滑，觀察它們在下滑過程中是否脫離墻面。由于兩球運動過快，普通相機采集幀數(shù)較少，只能清晰地記錄即將落地時的情形，此時我們發(fā)現(xiàn)小球A已脫離墻壁。

2.2仿真模擬

Working Model是一款運動仿真軟件，可以用于設(shè)計和分析各種機械系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)和運動系統(tǒng)。由于現(xiàn)實中存在諸多損耗，該軟件可以模擬并解決許多不容易在現(xiàn)實情況下完成的實驗。

該軟件能夠設(shè)定墻面和地面均為光滑，并逐幀記錄兩物體的運動情況，從而避免了真實實驗有摩擦、運動過快導致的幀數(shù)過少等問題。通過觀察小球A及系統(tǒng)質(zhì)心的模擬軌跡，可以更直觀地了解它們的運動情況。軟件模擬軌跡如圖2所示，兩條曲線分別是小球A和系統(tǒng)質(zhì)心的運動軌跡。

通過仿真模擬，可以明顯地發(fā)現(xiàn)小球A在空中某位置脫離了墻壁，同時也發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)質(zhì)心在小球A脫離墻壁前做圓周運動（理論分析見下文）。讀出兩球質(zhì)心的初始縱坐標分別為3.00m和0.30m（考慮球的體積），算出兩球質(zhì)心間的距離為2.70m。放大軌跡讀出小球A軌跡發(fā)生偏折時小球A質(zhì)心的縱坐標為2.081m（見圖3），從而算出小球A剛脫離墻壁時與小球B質(zhì)心的豎直距離為1.781m。從而計算出小球A剛脫離墻壁瞬間桿與墻面夾角的余弦值約為0.66。這一結(jié)果大于題設(shè)的0.5，故小球A脫離墻壁后還將繼續(xù)運動一段時間才滿足“小球A沿墻下滑距離為L2”，這個過程的分析會非常復雜。

3解析與探討

下面，筆者將首先從邏輯的角度分析小球A運動的全過程；其次，介紹求解小球A脫離墻壁臨界點的三種方法；最后，再結(jié)合這三種方法探討小球A脫離墻壁后兩球運動的速度。

3.1從邏輯的角度對小球A受力分析

小球A與小球B剛開始做加速直線運動，假設(shè)不存在小球A脫離墻壁的現(xiàn)象，那么當小球A運動到地面時，小球B將運動到距小球A為L的位置；再假設(shè)小球A可以繼續(xù)往下“鉆進地里”，那么小球B將會由于桿的約束而折返，小球B運動過程示意圖如圖4所示，因而可知小球A落地瞬間小球B速度為0，這就說明小球B做減速運動。而小球B做減速運動是由于桿的約束作用為其提供向左的水平分力，進而說明小球A受到的桿拉力的水平分力方向向右，小球A受力示意圖如圖5所示，這樣小球A在水平方向合力就不可能為0，從而產(chǎn)生悖論。

通過以上的邏輯分析可以得出該題必存在小球A脫離墻壁的現(xiàn)象，并且進一步得出當小球A脫離墻壁的瞬間，桿對小球A、B均無作用力。

3.2求小球A脫離墻壁的臨界點的三種方法

設(shè)輕桿與墻壁的初始夾角為θ0 ，在小球A下滑一段距離后，桿與墻壁的夾角為θ，小球A速度大小為vA，小球B速度大小為vB ，兩小球質(zhì)量均為m，兩球繞質(zhì)心（中點）做圓周運動旋轉(zhuǎn)的角速度均為ω，桿長為L。

3.2.1方法1

由速度分解可得

由系統(tǒng)機械能守恒定律可得

由于小球A脫離墻壁瞬間，桿對兩球均無作用力，即此時小球B瞬時加速度為0，小球A瞬時加速度為g，小球A脫離墻壁瞬間，小球A、小球B的運動示意圖如圖6所示。

3.2.2方法2

由動量定理可知，在小球A脫離墻壁前，系統(tǒng)水平方向動量增加的原因是墻壁彈力對系統(tǒng)有沖量，而增加的動量都在小球B上。當小球A脫離墻壁后，墻壁不再提供水平彈力，故系統(tǒng)水平方向動量守恒，小球A的水平速度必然增加，小球B的速度就要減小。由此可得小球A脫離墻壁瞬間小球B的水平速度達到最大值。

由方法1中的式①②，可得

對式⑥令p＝cosθ，則根號內(nèi)變?yōu)?/p>

對其求導得

3.2.3方法3

小球A脫離墻壁前，由幾何知識，桿的中點（質(zhì)心）與墻角的距離為定值，可以說明質(zhì)心在做圓周運動，兩小球又同時繞質(zhì)心做角速度為ω的變速圓周運動；小球A脫離墻壁后，系統(tǒng)水平方向不受力，質(zhì)心在水平方向做勻速運動，豎直方向做加速運動，兩球仍然繞質(zhì)心做變速圓周運動。

由于輕桿和球的體積均可忽略，故以墻角為坐標原點，小球A脫離墻壁前質(zhì)心的運動示意圖如圖7所示。若小球A未脫離墻壁，系統(tǒng)質(zhì)心的坐標

可見系統(tǒng)質(zhì)心在小球A脫離墻壁前做圓周運動，其水平和豎直方向的分速度分別為

由機械能守恒及柯尼希定理（質(zhì)點系的動能等于質(zhì)心動能和各質(zhì)點相對質(zhì)心運動所具有的動能之和）［1］，可得

聯(lián)立式B12B13，可得

由質(zhì)心運動定理可知，質(zhì)心水平動量增加的原因是系統(tǒng)受到水平外力（墻壁對小球A的作用力）作用，當小球A脫離墻壁后，質(zhì)心水平動量達到最大且不變。

聯(lián)立式B11B14可得

同方法2對式B15括號中式子換元并求導，可得當

三種方法均得到相同結(jié)論，即cosθ＝23cosθ0，這說明只要墻壁和地面是光滑的，該系統(tǒng)由靜止釋放后總能使沿墻下滑的小球在某個角度脫離墻壁。當初始角度為0°時，微擾后下滑的脫離角度的余弦值為cosθ＝23≈0.667，該結(jié)果與Working Model仿真模擬的結(jié)果很接近，不完全相等的原因是仿真模擬時為了使系統(tǒng)能運動，已經(jīng)為θ0賦予了一個不為0的極小值。理論分析的結(jié)果說明小球A下滑13L后就已經(jīng)脫離墻壁，再一次證明題設(shè)是錯誤的。［2］由此可見，命題者在命題之前，需要詳盡分析研究的問題，注重命題的嚴謹性和科學性，避免出現(xiàn)與事實不符的情況。

3.3求小球A脫離墻壁后兩球的運動速度

此后，質(zhì)心在水平方向上動量保持不變，設(shè)桿與豎直方向的夾角為α，小球A脫離墻壁后質(zhì)心的運動示意圖如圖8所示。

由式B16可得，當初始角度為0°時，小球A脫離墻壁時桿的質(zhì)心速度

4結(jié)語

以上模擬實驗和理論分析結(jié)果與題目提供的選項答案相距甚遠，可見出題者并沒有意識到小球A脫離墻壁的問題，從而也就未設(shè)置這樣的選項。而以上求解過程，特別是小球A脫離墻壁后兩球的運動，對于普通高中生來說顯然難度頗大，可作為競賽參考。

參考文獻

［1］ 宋輝武. 巧構(gòu)物理模型 另解桿連物系所受的彈力［J］. 物理教學， 2018， 40 （3）： 54-55．

［2］ 趙清鋒. 輕桿連接體中的加速度及其關(guān)聯(lián)問題分析［J］. 物理教學， 2019， 41 （3）： 65-67， 69．