基于修正Gram睸chmidt法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換計算法

摘?要：研究基于模擬電荷法的雙連通區(qū)域的數(shù)值保角逆變換問題。利用修正GramSchmidt法求解雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換中的約束方程組，解得模擬電荷量和逆變換半徑，構造出近似保角逆變換函數(shù)。通過數(shù)值實驗驗證算法的有效性。

關鍵詞：模擬電荷法；數(shù)值保角逆變換；修正GramSchmidt法；雙連通區(qū)域

中圖分類號：O241.85??文獻標識碼：A

The?Modified?GramSchmidt?Method?for

Numerical?Inverse?Conformal?Mapping?of?Double?Connected?Domain

Wang?Jian

Xingzhi?College?of?Xi'an?University?of?Finance?and?Economics?Shaanxi?Xi'an?710038

Abstract：The?problem?of?numerical?conformal?inverse?transformation?in?the?doubly?connected?region?based?on?the?simulated?charge?method?is?studied.The?modified?GramSchmidt?method?is?used?to?solve?the?constraint?equations?in?the?numerical?conformal?mapping?inverse?transformation?in?the?doubly?connected?region.The?simulated?charge?quantity?and?the?radius?of?the?inverse?transformation?are?solved，and?the?approximate?conformal?mapping?inverse?transformation?function?is?constructed.The?effectiveness?of?the?algorithm?is?verified?by?numerical?experiments.

Keywords：Simulated?charge?method；Numerical?conformal?inverse?transformation；Revised?Gram?Schmidt?method；Double?connected?region

保角變換在物理學和工學領域［13］應用廣泛。求解保角變換的方法分為解析法和數(shù)值法。解析法僅在一些特殊區(qū)域得到函數(shù)表達式。對于復雜區(qū)域的實際問題必須采用數(shù)值法求解函數(shù)。數(shù)值法主要有積分方程式法［4］、正交多項式法［5］和有限差分法等。模擬電荷法首次由德國人Steinbigler［6］提出。天野要等學者對模擬電荷法和數(shù)值保角變換等做了大量研究工作，提出了基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換計算法（天野法）［712］。保角變換分為單連通區(qū)域保角變換［78］和多連通區(qū)域保角變換［12］，文中研究雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換問題［11］。

修正GramSchmidt法（MGS法）［13］是實現(xiàn)系數(shù)矩陣A的QR分解非常有效的算法之一。它是對古典GramSchmidt法（GS法）的改進，在數(shù)值上更加穩(wěn)定。文中利用修正GramSchmidt法解雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換中的約束方程組，得到模擬電荷量和逆變換半徑，構造近似保角逆變換函數(shù)，利用數(shù)值實驗驗證了所提算法的有效性。

1?雙通區(qū)域數(shù)值保角逆變換計算法

本節(jié)給出基于模擬電荷法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換計算法。如圖1，在w平面上，同心圓圍成的區(qū)域μ＜w＜1，其中μ是小圓的半徑，大圓是單位圓。約束點分布在邊界上，模擬電荷點分布在同心圓圍成的區(qū)域外部。通過數(shù)值保角逆變換將同心圓的邊界及區(qū)域μ＜w＜1變換成z平面上兩條封閉的Jordan曲線C1和C2所圍成的區(qū)域D。其中，C1為外邊界，C2為內(nèi)邊界。

+代表模擬電荷點；·代表約束點

圖1?基于模擬電荷法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換

在不失一般性的情況下，假定映射函數(shù)f（0）=0，f（w）滿足正規(guī)化條件f（∞）=∞，f′（∞）＞0時是正則的，即

f（w）=weg（w）+ih（w），μ＜w＜1（1）

g（w）是Dirichlet型勢場問題

SymbolQC@

2g（w）=0，μ＜w＜1

g（w）=logz－logw，w=1

g（w）=logμ－logz－logw，w=μ（2）

的解。其中h（w）是g（w）的共軛調(diào)和函數(shù)。

根據(jù)模擬電荷法，g（w）可以用同心圓所圍成的區(qū)域外部配置N個電荷點ζj作為極的對數(shù)勢場的一次結合

G（w）=-∑Nj=1Qjlogw－ζj（3）

高度近似。這里h（w）可以用

H（w）=-∑Nj=1Qjarg（w－ζj）（4）

高度近似。另外，μ由M近似。

ζj（j=1，2，…，N）為電荷點，分布在給定的區(qū)域外部，即N/2個分布在單位圓的外部，另外N/2個分布在小圓的內(nèi)部。因此雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換可以看成是單連通區(qū)域內(nèi)部數(shù)值保角逆變換和單連通區(qū)域外部數(shù)值保角逆變換的組合。故邊界條件也可以看作是單連通區(qū)域內(nèi)部數(shù)值保角逆變換邊界條件和單連通區(qū)域外部數(shù)值保角逆變換邊界條件的組合。因此，未知電荷Qj可以通過滿足下面的邊界條件進行求解：

∑Nj=1Qjlogwi－ζj=logwi－logzi（5）

∑Nj=1Qjlogwi－ζj+logM=logwi－logzi（6）

又由條件g（∞）=0，h（∞）=0，可得：

∑Nj=1Qj=0（7）

其中，zi（i=1，2，…，N）是雙連通區(qū)域數(shù)值正保角變換的約束點，wi是經(jīng)過zi數(shù)值保角正變換得到的映射結果，即wi有N/2個分布在單位圓上，另外N/2個分布在小圓上。由式（5）到式（7）可得N+1維線性方程組如下：

a11…a1，N/2+1…a1，N0

aN/2+1，1…aN/2+1，N/2+1…aN/2+1，N1

aN1…aN，N/2+1…aNN1

01…10Q1

QN/2+1

QN

logM=logw1－logz1

logwN/2+1logzN/2+1

logwN－logzN

0（8）

其中，aij=logwi－ζj（9）

通過式（3）、式（4）和方程組（8）得到近似保角逆變換函數(shù)：

F（w）=weG（w）+iH（w）（10）

最后，利用G（w）、H（w）計算雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換。

2?基于修正GramSchmidt法的保角逆變換模擬電荷求解

將約束方程組（8）式寫成標準線性方程組Ax=b的形式，其中Ax=b、x∈RN+1、b∈RN+1，約束方程的系數(shù)矩陣A是非對稱的，修正GramSchmidt法（MGS法）是實現(xiàn)系數(shù)矩陣A的QR分解非常有效的算法之一。它是對古典GramSchmidt法（GS法）的改進。修正GramSchmidt法（MGS法）可用于求解大型非對稱線性方程組，因為該方法在數(shù)值上更穩(wěn)定且矩陣Q的逆由QT給出。根據(jù)參考文獻［13］，可以得到修正GramSchmidt法求解約束方程組（8），其算法步驟如下：

Input?A，b，x.

for?k=1∶n

R（k，k）=‖A（1∶m，k）‖2；

Q（1∶m，k）=A（1∶m，k）/R（k，k）；

for?j=k+1∶n

R（k，j）=Q（1∶m，k）TA（1∶m，j）；

A（1∶m，j）=A（1∶m，j）-Q（1∶m，k）R（k，j）；

end

end

y=Q（1∶m，k）＼b；

x=R（k，k）＼y；

Output?x.

3?數(shù)值實驗

為驗證算法的有效性，在MATLAB13b環(huán)境下，以橢圓為邊界的雙連通區(qū)域為例，利用模擬電荷法對雙方向的雙連通區(qū)域數(shù)值保角變換進行數(shù)值實驗。雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換的誤差由error=max（maxC1f（w）－zi，maxC2f（w）－zi）確定［14］，其中zi是雙連通區(qū)域數(shù)值保角正變換的約束點。為檢驗修正GramSchmidt法求解保角逆變換中約束方程組的有效性，雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換計算法的步驟如下：

Step1?通過雙連通區(qū)域數(shù)值保角正變換得到約束點zi和映射點F（zi），將F（zi）的位置作為雙連通數(shù)值保角逆變換的約束點wi的位置，即wi=F（zi）。

Step2?根據(jù)約束點wi設置保角逆變換模擬電荷點ζj及其他參數(shù)。

Step3?通過修正GramSchmidt法求解約束方程組（8）得到模擬電荷Qj。

Step4?對同心圓的邊界及外部區(qū)域的每一個點通過式（3）和式（4）計算得到G（w）和H（w）后，代入近似保角逆變換函數(shù)（10）中計算對應的變換點。

例?橢圓為邊界C1：x2a21+y2b21=1，C2：x2a22+y2b22=1，這里a1=7，b1=5，a2=5，b2=1。

圖2—圖5中粗實線表示邊界，細實線表示等高線，約束點分布在邊界上，黑色“+”表示模擬電荷點，約束點和模擬電荷點一一對應。圖2表示雙橢圓邊界C1和C2圍成的區(qū)域及其等高線和模擬電荷點位置。圖3表示將雙橢圓區(qū)域通過數(shù)值保角正變換后得到的同心圓區(qū)域及其等高線。從圖2和圖3可以看出對于C1和C2所圍成的區(qū)域內(nèi)的任意部分經(jīng)過數(shù)值保角變換對應的仍然是變換后圍成區(qū)域的內(nèi)部，同時雙橢圓邊界經(jīng)過保角變換對應變成了同心圓的邊界。圖5表示同心圓的邊界及其等高線和模擬電荷點位置，圖4是將圖5通過F（w）映射成雙橢圓區(qū)域。從圖4和圖5可以看出，通過數(shù)值保角逆變換又將同心圓邊界及其圍成的內(nèi)部區(qū)域變換成了由C1和C2所圍成的邊界和內(nèi)部區(qū)域。從而驗證了修正GramSchmidt法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換計算法的有效性。圖6給出的是雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換當N=95時邊界及模擬電荷的分布情況。圖7表示雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換的誤差曲線，由圖可看出，隨著電荷點數(shù)的增加，保角逆變換誤差減小，在N=95時，誤差值為6.1×10－2。

4?結論

利用修正GramSchmidt法求解雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換模擬電荷法中的約束方程組，進而構造保角逆變換函數(shù)，提出了基于修正GramSchmidt法的雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換計算法。利用橢圓為邊界進行了雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換數(shù)值實驗，數(shù)值實驗驗證了所提計算法的有效性，并用等高線模擬了雙連通區(qū)域數(shù)值保角逆變換的計算結果。

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作者簡介：王堅（1992—?），男，陜西西安人，碩士，助教，主要從事科學計算研究。