留白式教學(xué)：給學(xué)生數(shù)學(xué)思維時空

孫振飛 陸曼 田英杰

［摘? 要］ 留白式教學(xué)是新課標(biāo)深入推進背景下頗具成效的教學(xué)模式，適當(dāng)合理的留白可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生主動參與到學(xué)習(xí)活動中來，提高學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 文章以“將一個分數(shù)拆為幾個不同的單位分數(shù)之和”為例，分析留白式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實施步驟和要點，并從留白的藝術(shù)、補白的策略以及留白的指向三個方面進行思考，以期對初中數(shù)學(xué)教師實施留白式教學(xué)提供一些幫助.

［關(guān)鍵詞］ 留白式教學(xué)；思維時空；核心素養(yǎng).

央視頻道有這樣一則公益廣告，奶奶正在教孫女水墨畫，孫女說：“奶奶，這里還有空，我再畫些樹吧？”奶奶回答道：“要適當(dāng)留白才好看. ”孫女問：“什么叫留白？”奶奶讓孫女在空白處畫些飛鳥試試. 孫女照做后驚喜地發(fā)現(xiàn)：“奶奶，畫面變廣闊了. ”奶奶說：“畫畫要留白，人生也一樣. ”“留白”是藝術(shù)作品創(chuàng)作中常用的一種手法，指書畫藝術(shù)創(chuàng)作中為使整個作品畫面、章法更為協(xié)調(diào)精美而有意留下的相應(yīng)空白，留有想象的空間. 初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也應(yīng)追求“留白”的藝術(shù).

然而，當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)仍然以傳統(tǒng)的教學(xué)模式為主，沒有擺脫“滿堂灌、反復(fù)練”的枷鎖. 在教師“教”的層面：單純增加課堂容量，延長上課時間，卻沒有真正揭示出數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生難以形成完整的知識結(jié)構(gòu)體系；過多關(guān)注知識與技能，采取單向灌輸方式，課堂上幾乎沒有留給學(xué)生真正獨立思考的時間，忽略了情感態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)；忽視作業(yè)與教學(xué)實際情況、學(xué)生生活問題的融合，削弱了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；過分強調(diào)對分數(shù)的考評，忽視了對學(xué)生綜合素養(yǎng)的評價. 在學(xué)生“學(xué)”的層面：缺乏主動學(xué)習(xí)的積極性，處于被動接受的狀態(tài)，“等教師講、靠教師教”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的常態(tài)；把作業(yè)當(dāng)作任務(wù)去完成，以“刷題”達到“熟能生巧”的目的去應(yīng)付考試；缺失克服困難的堅韌品質(zhì)、創(chuàng)新意識以及科學(xué)精神.

核心素養(yǎng)呼喚初中數(shù)學(xué)留白式教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》對教與學(xué)提出了更高的要求：“要引導(dǎo)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的同時，會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；在分析問題的同時，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；在用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程中，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界. ”［1］因此，教師必須努力轉(zhuǎn)換教學(xué)角色，變革教學(xué)方式，選擇能引發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)模式，要讓學(xué)生能夠在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流的學(xué)習(xí)過程中感悟出數(shù)學(xué)基本思想，積累基本活動經(jīng)驗，從而促進核心素養(yǎng)的形成. 而留白式教學(xué)可以很好地激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，使學(xué)生積極主動地參與到數(shù)學(xué)課堂活動中來，在探究問題的過程中，尋找解決問題的辦法，體驗成功的樂趣，建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心，感受數(shù)學(xué)的魅力.

1. 初中數(shù)學(xué)留白式教學(xué)的內(nèi)涵

初中數(shù)學(xué)留白式教學(xué)是指留給學(xué)生足夠的時間和空間以進行數(shù)學(xué)思考，在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過教師的引導(dǎo)，更好地理解基本知識，掌握基本技能，揭示數(shù)學(xué)方法，感悟數(shù)學(xué)思想，建構(gòu)知識體系，培養(yǎng)高階思維能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)方法. 首先，從時間上講，給足學(xué)生獨立思考的時間，教師要“讓位”乃至“退位”，切實轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂的組織者、參與者、合作者. 從另一方面來說，留白式教學(xué)更加追求自由性和包容性. 這種“自由”就是要求教師創(chuàng)設(shè)更加開放的教學(xué)環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促使學(xué)生主動參與課堂學(xué)習(xí)，讓學(xué)生擁有更多自我展示的機會，在交流中享受學(xué)習(xí)的快樂，在鮮活的課堂生成中自主成長乃至“野蠻”生長，更好地釋放學(xué)生的自由. 這種“包容”是指課堂中要允許多種觀點并存，讓學(xué)生勇于挑戰(zhàn)課本，敢于向權(quán)威說“不”，“師道尊嚴”應(yīng)該演變?yōu)閹熒查L；教師要正視班級中不同層次學(xué)生的存在，允許個人發(fā)展程度有快慢與高低，通過學(xué)生之間的互幫互助，促進每一位學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上有所提高與進步.

2. 初中數(shù)學(xué)留白式教學(xué)的特征

目前，初中數(shù)學(xué)留白式教學(xué)主要具有激勵性、情境性、多樣性、包容性等四個特征. 激勵性是指課堂的適當(dāng)留白符合初中生對未知世界充滿探究欲望、思維活躍、表現(xiàn)欲極強的年齡特點，有利于激發(fā)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，促進學(xué)生主動思考；情境性是指課堂留白無法孤立存在，是作為一個整體被學(xué)生所感知的，受到諸如課堂氛圍、教師表情、學(xué)生反應(yīng)等具體情況的影響；多樣性是指課堂留白賦予了課堂更多的不確定性和更廣闊的自由度，鼓勵學(xué)生對同一個問題有自己獨到的思考和見解；包容性是指課堂留白并不預(yù)設(shè)標(biāo)準答案，取消了對學(xué)生思維約束的框架，激發(fā)學(xué)生思維的火花，是對學(xué)生個體生命價值的尊重.

初中數(shù)學(xué)留白式教學(xué)案例剖析

本文中的案例取材于滬教版六年級上冊第二章“分數(shù)”中的探究活動——“將一個分數(shù)拆為幾個不同的單位分數(shù)之和”. 這節(jié)課通過讓學(xué)生對4個問題進行探究，歸納總結(jié)出將一個分數(shù)拆為幾個不同的單位分數(shù)的方法.

探究1引導(dǎo)學(xué)生思考如何將直接拆為兩個不同的單位分數(shù)之和，因為分子3可以直接拆為分母4的兩個不同因數(shù)之和，所以可以拆為與的和. 探究2先放手讓學(xué)生去嘗試如何將拆為兩個不同的單位分數(shù)之和，由于不能像那樣直接拆分，這和學(xué)生的已有認知產(chǎn)生了沖突，從而引發(fā)學(xué)生主動思考，使學(xué)生在不斷嘗試、碰壁、再嘗試中總結(jié)出“不能直接拆分的要先擴分再拆分”的方法與策略. 探究3是探究2的變式：將拆為三個不同的單位分數(shù)之和. 將學(xué)生的思維推向了高潮. 在學(xué)生獨立思考和小組交流之后，讓學(xué)生們面向全班進行展示，以期呈現(xiàn)出拆分方法的多樣化，展現(xiàn)出探究過程中學(xué)生思維的多元化，充分體現(xiàn)了課堂的包容性和學(xué)習(xí)的自由度. 上述三個探究活動都是將一個指定的分數(shù)按要求拆分成不同的單位分數(shù)之和，盡管課堂中教師已經(jīng)給予了比較大的留白時空，但依然有教師刻意留白的痕跡. 探究4則是請學(xué)生寫出一個自己喜歡的分數(shù)，并將其拆成差的形式. 從形式和情境來看，探究4有兩處留白：其一，所拆分的分數(shù)是開放的，讓學(xué)生自己設(shè)定一個分數(shù)，是投學(xué)生之所好，激發(fā)了學(xué)生探究的熱情；其二，由“和”變?yōu)椤安睢保蛔种?，達到了“一石激起千層浪”的效果. 從思維能力來看，與前三個探究活動相比，探究4需要打破思維慣性，更注重對逆向思維的考查，但在策略上又有“異曲同工之妙”，強化了對學(xué)生思維能力廣度與深度的訓(xùn)練.

基于以上分析，不難看出這4個探究活動很好地體現(xiàn)了留白式教學(xué)的諸多特征，接下來就以此典型案例為例，膚淺地剖析其在留白式教學(xué)中的具體運用. 本節(jié)課的大致流程如下：

1. 情境引入時“留白”

為了達到“留白”的效果，在本節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，選取了“分面包”的故事作為引子，創(chuàng)設(shè)出符合學(xué)生認知基礎(chǔ)和已有經(jīng)驗的情境：將5個面包平均分給6個人，每個人分得多少？學(xué)生依據(jù)分數(shù)知識與除法意義很容易得到答案：每個人可分得個面包. 接著筆者故作高深地問道：那么3000多年前的古埃及人是怎樣分的呢？學(xué)生的好奇心一下子就被吊了起來. 筆者故意停頓了少許時間，在學(xué)生面面相覷、竊竊私語中娓娓道來：不知道了吧！古埃及人先將3個面包平均分成6份，每人分得個面包，再將剩下的2個面包平均分成6份，每人分得個面包，所以每個人分得+個面包.

這里設(shè)問的目的，并不是要讓學(xué)生去嘗試回答這一問題，而是為了激發(fā)學(xué)生一探古埃及人為啥用這么“笨”的方法進行等分的原因，盡快進入課堂學(xué)習(xí)的角色. 在充分吊足學(xué)生“胃口”的基礎(chǔ)上進一步講述古埃及分數(shù)發(fā)展的歷史，并通過對比東西方同時期的數(shù)學(xué)發(fā)展?fàn)顩r，體會到數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展史是何等艱辛，同時了解我國古代人民的數(shù)學(xué)智慧，增強民族自豪感.

新知識的導(dǎo)入是課堂教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，能否成功導(dǎo)入在很大程度上關(guān)系著整節(jié)課的成敗. 數(shù)學(xué)學(xué)科是一門比較抽象的學(xué)科，特別是涉及數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，學(xué)生常會覺得枯燥無味，這就要求教師能夠巧妙設(shè)置懸念，也就是所謂的“留白”，激起學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的欲望.

2. 探究問題時“留白”

課堂學(xué)習(xí)是學(xué)生進行探究的主陣地，筆者設(shè)計的4個探究問題層次分明，分步設(shè)置“留白”，讓學(xué)生通過獨立思考、自主探索、小組合作等方式把知識和方法內(nèi)化，再通過對話、追問、展示、交流、教師引導(dǎo)、師生合作等方式“補白”.

對于探究1“將拆為兩個不同的單位分數(shù)之和”，學(xué)生容易得到正確答案，即==+=+. 但是得到這道題目的答案并不是本次探究的核心目標(biāo)，而是引導(dǎo)學(xué)生從這道題中“以小見大”，歸納總結(jié)出一般的規(guī)律和方法. 為此，采用問題鏈追問方式“留白”，并在學(xué)生回答中不斷修正達成“補白”效果.

教學(xué)片段如下：

師：你能給大家講講你是如何成功拆分的嗎？

生1：將3拆成1與2的和，再約分就行了.

師：很好！能不能總結(jié)一下，此類分數(shù)拆為兩個不同的單位分數(shù)之和的方法？

生1：（支支吾吾，詞不達意）……

師：大家仔細觀察一下，分子1和2與分母4有怎樣的關(guān)系？

生2：它們都是4的因數(shù)，且它們不相同.

生3：也就是說，我們要將分子拆為分母的兩個不同因數(shù)的和.

探究2“將拆為兩個不同的單位分數(shù)之和”是探究1的變式，放手讓學(xué)生自己嘗試. “留白”之一是要讓學(xué)生意識到“不能像那樣直接拆分”，對此學(xué)生容易想到可以通過擴分將分子1進行變化；“留白”之二是對“分子為1的分數(shù)或分子不能拆分為分母的兩個不同因數(shù)的和的分數(shù)”的拆分方法進行總結(jié). “補白”流程如下：首先，展示學(xué)生的多種拆分方案，===+，===+=+，===+=+，…. 其次，嘗試從這些方案中“悟”出并歸納方法，即不能直接拆分的要利用分數(shù)基本性質(zhì)進行擴分，從而轉(zhuǎn)化成探究1的情況來解決.

探究3“將拆為三個不同的單位分數(shù)之和”是對探究2的進一步研究. 較之前的兩個探究，該探究關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用已有方法深度解決問題的能力，重在方法的展示和策略的“補白”. 以下展示兩位同學(xué)的不同解法及教學(xué)片段.

生4：因為==+=+，===+=+，所以 =++.

生5：===++=++.

師：請兩位同學(xué)分別說說你們的想法.

生4：我先把拆成+，再把拆成兩個不同的單位分數(shù)之和，通過前后兩次擴分與拆分，就拆成3個不同的單位分數(shù)之和.

生5：我通過一次擴分，將分子變?yōu)?，然后將6寫成1、2、3這三個數(shù)的和，進而寫成分母都是72的3個不同分數(shù)之和，再約分就可以了.

生6：也就是有兩種策略：一種是分步拆分，還有一種是一步拆分，但不管哪種方法，都需要擴分，且分子中的加數(shù)都必須是分母的因數(shù).

生7：還需補充一點，探究3用到了化歸思想，轉(zhuǎn)化為探究1和探究2去解決.

探究4“寫出一個喜歡的分數(shù)，并將其拆成差的形式”給了學(xué)生天馬行空、自由發(fā)揮的空間，學(xué)生的探究激情再一次被點燃. 學(xué)生主動互相交流拆法，并比較誰的拆法更簡便，爭著展示他們的成果，最終形成了解決問題的策略. 策略1：將分子寫成兩個數(shù)的差，并且被減數(shù)和減數(shù)都是分母的因數(shù)；策略2：利用加減法互為逆運算，可以在拆分為和的基礎(chǔ)上變?yōu)闇p法，例如，由=+得=-或=-. 該探究既培養(yǎng)了學(xué)生“轉(zhuǎn)化”“逆向思考”等數(shù)學(xué)思維能力，還激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 數(shù)學(xué)千變?nèi)f化，細品其中奧妙，方感樂在其中.

3. 評價時“留白”

課堂中的“留白”在學(xué)生“補白”之后，不管其質(zhì)量的高與低，教師都要舍得投入足夠的時間與精力，組織多種方式及時進行評價，這是學(xué)生持續(xù)開展深度學(xué)習(xí)的“加油站”或“補給站”. 評價時可以采用學(xué)生自評、小組互評、教師評價等多主體評價的方式，以及多維度的過程性評價和增值性評價的方式，著重體現(xiàn)學(xué)生“補白”結(jié)果水準的高低和“補白”過程中思維的流暢度與深刻度. 評價時忌通篇一律的“你好棒！”“大家都很厲害！”等表面性的語句，這種缺乏針對性、浮于表面的表揚也許能讓學(xué)生一時半刻獲得滿足感，但長此以往則會給學(xué)生“假大空”的敷衍之感. 正確的做法是在學(xué)生“補白”的關(guān)鍵思路處、方法思想歸納處進行總結(jié)提煉，使做出“補白”的學(xué)生和其他同學(xué)能真真切切地感受到這種表揚是發(fā)自內(nèi)心的，是老師或同伴對其能夠進行探究思考，并獲得創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)的由衷贊賞. 此外，正向的評價也可以或應(yīng)該進一步通過“留白”激發(fā)學(xué)生繼續(xù)深度思考以促進深度學(xué)習(xí)的有序開展. 比如，探究3環(huán)節(jié)中，在學(xué)生展示并總結(jié)出方法后，筆者順勢提問：“以上兩位同學(xué)都是將擴分后拆分，由于擴分的方式多種多樣，是不是就有無數(shù)種拆分的方法呢？”對學(xué)生刨根問底，能引起他們無限遐想，這就是一種高級的評價. 再如，在本課小結(jié)時，著重在學(xué)生對拆分探究過程的體會處“留白”，讓學(xué)生感悟與品味“經(jīng)歷”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的酸甜苦辣，并將這種體味記錄在課后的數(shù)學(xué)日記中，這是成長的“留白”，是對學(xué)生核心素養(yǎng)更深層次的培養(yǎng).

4. 拓展問題時“留白”

課堂教學(xué)雖然結(jié)束了，但學(xué)生的思維還在延續(xù)中，正所謂“余音繞梁也”！課后拓展其實也是課堂教學(xué)的一部分，教師要善于拓展問題延伸課堂，引導(dǎo)學(xué)生利用課上所學(xué)知識解決問題，使學(xué)生對其所學(xué)內(nèi)容有更深入的思考和更深刻的認識.

比如，本節(jié)課最后留給學(xué)生一道思考題：如圖1，早在公元前三千多年前，古埃及人就創(chuàng)造并使用了分數(shù)，他們將分數(shù)符號稱為“荷魯斯之眼”. 其中，右眼角表示，代表氣味；眼球表示，代表對光的視覺和感覺；眉毛表示，代表思想；左眼角表示，代表聽覺；睫毛表示，代表味覺；眼淚表示，代表觸覺.? “荷魯斯之眼”各部分所表示的分數(shù)之和是多少？請嘗試用多種方法加以解決. 這既和課堂開始時的情境引入相呼應(yīng)，也是課堂延續(xù)的好素材. 課堂是孕育知識的搖籃，課堂之外有更加廣闊的天地，如果教師經(jīng)常給學(xué)生在課后留一個“白”，那么學(xué)生的課外生活將會更加絢麗多彩.

初中數(shù)學(xué)留白式教學(xué)反思

1. “留白”的藝術(shù)

數(shù)學(xué)是優(yōu)美的藝術(shù)，數(shù)學(xué)教學(xué)更要講究藝術(shù)性，在教學(xué)中適當(dāng)“留白”則能將這份藝術(shù)淋漓盡致地體現(xiàn)出來. 從“留白”產(chǎn)生的角度來看，可分為兩類：一是在學(xué)程設(shè)計時的預(yù)設(shè)，二是在學(xué)程實施中的生成. 預(yù)設(shè)“留白”質(zhì)量的高低，反映的是教師對新課程理念的把握、對教材架構(gòu)的整體認知以及對學(xué)生學(xué)情的準確定位. 課堂生成的“留白”，考查的是教師把控與駕馭課堂的能力，能否敏銳地捕捉到課堂中稍縱即逝的契機. 當(dāng)然，“留白”的提出者也不完全是教師，學(xué)生的“留白”更顯得彌足珍貴，這是學(xué)生主動思考后的鮮活生成，更有“補白”的價值. 從“留白”所期望達成的效果來看，有以下幾類：①可以巧設(shè)懸念“留白”，讓學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗與新情境形成沖突，使學(xué)生在好奇心理作用下產(chǎn)生要把這些空白填補的強烈欲望. ②可以在學(xué)生參與空間上“留白”，讓學(xué)生經(jīng)歷充滿挑戰(zhàn)的過程，從初見有趣現(xiàn)象時的好奇，到發(fā)現(xiàn)問題時的迷茫，再到經(jīng)歷探究過程的挑戰(zhàn)，最后品味成功的喜悅. ③可以在學(xué)生自我反思處“留白”，解題后注重對方法的反思，每節(jié)課的小結(jié)加強對數(shù)學(xué)思想的感悟，課后日記記錄學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的頓悟，章節(jié)完畢時對知識體系主動建構(gòu)，等等. 從“留白”實施的原則來看，要遵循如下幾點：學(xué)生會的不教；學(xué)生說明白的不重復(fù)；學(xué)生不會的加強引導(dǎo)啟發(fā)，盡量讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)與解決；學(xué)生反復(fù)嘗試也發(fā)現(xiàn)不了的，教師要“不吝賜教”. 一句話：少講多引導(dǎo)，教是為了不教.

2. “補白”的策略

“留白”不易，“補白”則更難. 首先，要明確“補”的主體，毫無疑問應(yīng)該是學(xué)生，教師的自問自答嚴格意義上講不是“補白”，對促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)的價值不大，只有學(xué)生采用自主探究、獨立思考等方式“悟”出來的東西才能真正填補其認知上的空白區(qū)域. 由于學(xué)生在個體經(jīng)驗、數(shù)學(xué)水平上存在差異，不同學(xué)生對知識的理解、方法的總結(jié)、思想的感悟是參差不齊的，這時候需要發(fā)揮學(xué)生群體的合作精神，在相互交流中加深對問題的認識. 其次，在“留白”教學(xué)中教師只是暫時的“退位”，絕不能“失位”，要全程參與到學(xué)生“補白”的過程中，在知識混淆處幫助學(xué)生明辨是非，在思維方法卡頓處幫助學(xué)生梳理思路，在思想滲透處幫助學(xué)生化隱為顯…… 有時甚至要不吝講解，極盡教師“補白”的功效. 在“補白”的過程中，一定要學(xué)會等待，再多留出點時間，也許就能靜待花開. “留白”和“補白”不僅在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有啟迪學(xué)生思維的作用，在任何課型中都可以加以使用，其不僅僅只是一種教學(xué)方法，已然演變?yōu)橐环N教學(xué)原則.

3. “留白”的指向

“留白”是一種智慧，更是一種情懷與境界.? “留白”的指向之一是彰顯教育本質(zhì)，遵循育人規(guī)律. “留”的是數(shù)學(xué)知識的空白，更廣一點說，“留”的是探究未知世界的激情；“補”的是數(shù)學(xué)中的某個技能、方法或思想，更是對學(xué)生主體地位的發(fā)揮和獨特個性的張揚，是對鮮活生命的尊重、欣賞與期許. “留白”的指向之二是培養(yǎng)學(xué)生高階思維和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 新課標(biāo)強調(diào)“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個自主構(gòu)建自己對數(shù)學(xué)知識的理解的過程”［1］，這其實就是“補”的精髓所在. 教師要想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生積極主動地參與學(xué)習(xí)過程，鼓勵每個學(xué)生“動”起來，下放學(xué)習(xí)主動權(quán)給學(xué)生，給每個學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和取得成功的機會，從而促進學(xué)生發(fā)展.

“恰是未曾著墨處，煙波浩渺滿目前”. 在我們的數(shù)學(xué)課堂上，請讓一個空間給學(xué)生自己去填補、請放一段時間讓學(xué)生自己去安排、請丟一個問題給學(xué)生自己去解決、請造一個機會讓學(xué)生自己去把握、請留一個困難讓學(xué)生自己去琢磨，學(xué)生一定會展現(xiàn)出他們的智慧，而我們的課堂也將收獲更多意料之外的精彩.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022 年版）［S］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

基金項目：上海市普陀區(qū)教育科研2022年度重點課題“指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)單元教學(xué)策略的研究”（課題編號為JA2022302，主持人為孫振飛）.

作者簡介：孫振飛（1971—），正高級教師，普陀區(qū)初中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，主要從事中考命題研究以及初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作.