數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)課堂“絕對(duì)值”課例報(bào)告

楊凡

【課例主題】

本課例以“目標(biāo)貫通”“絕對(duì)值”教學(xué)為例，探索數(shù)形結(jié)合思想的有效教學(xué)方法。

【觀察要點(diǎn)】

建議從課時(shí)目標(biāo)具體化（數(shù)學(xué)素養(yǎng)）、教師語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)化（實(shí)操素養(yǎng)）、課堂環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)性（先學(xué)后教）、師生互動(dòng)啟發(fā)性（以學(xué)定教）、自主建構(gòu)的有效性（少教多學(xué)）等觀察要點(diǎn)觀評(píng)課。

【文本解讀】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）提出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，其中數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理能力等都在“有理數(shù)”單元有較多體現(xiàn)，而這些能力都是運(yùn)算素養(yǎng)的具體表現(xiàn)。本節(jié)課借助數(shù)軸引出絕對(duì)值的概念，并通過(guò)計(jì)算、觀察、交流，發(fā)現(xiàn)絕對(duì)值的性質(zhì)特征，利用絕對(duì)值來(lái)比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力。滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)絕對(duì)值部分的要求在于理解絕對(duì)值的意義，并在學(xué)習(xí)過(guò)程中使學(xué)生加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解。對(duì)絕對(duì)值的內(nèi)容本身難度要求不高，教師對(duì)絕對(duì)值的教學(xué)，應(yīng)當(dāng)注重概念的教學(xué)，避免討論過(guò)于煩瑣的內(nèi)容。

【學(xué)情分析】

本課授課對(duì)象是六年級(jí)學(xué)生，他們雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)和分?jǐn)?shù)的知識(shí)，但是運(yùn)算能力依然較弱，仍處于從具體形象思維向抽象邏輯思維的過(guò)渡時(shí)期。

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)的意義，認(rèn)識(shí)了數(shù)軸，能夠用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示有理數(shù)，初步體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在前面相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了歸納、比較、交流等一些活動(dòng)，解決了一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，感受到了數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要性;同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和能力。

【課時(shí)目標(biāo)】

1. 理解絕對(duì)值的意義（一維目標(biāo)：重點(diǎn)）。2. 理解有理數(shù)的有序性，會(huì)比較兩個(gè)有理數(shù)的大?。ㄒ痪S目標(biāo)：重點(diǎn)）。3. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解（二維目標(biāo)：難點(diǎn)）。

【第一課時(shí)課堂環(huán)節(jié)】

一、情境導(dǎo)入，聯(lián)系生活

兩只小貓和一只小狗都從一棵大樹(shù)出發(fā)，在一條東西走向的路上行走，記向東行走為正，小狗向東行走4km到達(dá)A處，小貓松餅向西行走3km到達(dá)B處，小貓金礦向東行走3km到達(dá)C處。

師：它們走的路程一樣嗎？你是怎么想的？

預(yù)設(shè)：不一樣?？梢援?huà)數(shù)軸，其中原點(diǎn)代表大樹(shù)，東邊記為正方向，那么小狗在A處記為+4km，小貓松餅在B處記為-3km，小貓金礦在C處記為+3km。小狗的路程大于兩只小貓的路程，小貓的路程是一樣的。

師：對(duì)，雖然兩只小貓的行走方向是不同的，但是它們的路程是一樣的。在生活中也還有很多類(lèi)似的例子，如果我們按照原來(lái)的方式來(lái)表示，就有一些麻煩啦。上面的問(wèn)題也就是B，C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相同，這個(gè)距離都是3km。我們就把這個(gè)距離叫作數(shù)-3，3的絕對(duì)值。這就是我們這節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

二、新知探索，概念學(xué)習(xí)

1. 概念學(xué)習(xí)

（1）定義：一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

（2）符號(hào)：若用a表示一個(gè)數(shù)，a的絕對(duì)值記作：a，讀作a的絕對(duì)值。

（3）幾何意義：一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。

（4）舉例說(shuō)明：4的絕對(duì)值是4，記作4=4;-3的絕對(duì)值是3，記作-3=3;0的絕對(duì)值是0，記作0=0。

2. 例題講解

例題1：求3.7，-12，0，-3的絕對(duì)值。

解：3.7=3.7，-12=12，0=0，

-3=3。

3. 小組討論

師：剛剛例題1中這些數(shù)的絕對(duì)值的結(jié)果有幾種情況？一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

預(yù)設(shè)：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值要么是正數(shù)，要么是零。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)。

追問(wèn)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？

預(yù)設(shè)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等。

4. 歸納小結(jié)

（1）任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)。

（2）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);零的絕對(duì)值是零。

（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值相等。

三、新知運(yùn)用，舉一反三

例題2：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于2，那么這個(gè)數(shù)是幾？

解：符號(hào)表示：a=2，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值代表這個(gè)數(shù)距離原點(diǎn)的距離，因此通過(guò)數(shù)軸可知這個(gè)數(shù)是2或-2。

例題3：若x=-3，y=2，則x+2y的值為（??? ）。

A. -7??? B. -1??? C. -7或1??? D. 7或-1

預(yù)設(shè)：-3的絕對(duì)值是確定的為3，而y要么是2，要么是-2。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)。因此x+2y的值有兩種情況。

解：因?yàn)閤=-3=3，y=2，所以x=3，y=2或-2。故x+2y的值為7或-1，選擇D選項(xiàng)。

課堂練習(xí)：

1. 在數(shù)軸上，到原點(diǎn)的距離等于3.5個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所表示的有理數(shù)是____。

預(yù)設(shè)：到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，分別在數(shù)軸的左邊和右邊。

解：3.5或-3.5。

2. ____的絕對(duì)值是它本身，____的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。

預(yù)設(shè)：0的絕對(duì)值等于它本身也等于它的相反數(shù)。

解：非負(fù)數(shù)，非正數(shù)。

3. 絕對(duì)值小于5的整數(shù)有____。

預(yù)設(shè)：絕對(duì)值等于一個(gè)數(shù)的數(shù)包括正數(shù)和負(fù)數(shù)，因此正整數(shù)和負(fù)整數(shù)都要考慮，還有零不能忘記。

解：-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4。

4. 若a=3，b=2，且a+b=a+b，則a+b的值是（??? ）。

A. 5??? B. ±5??? C. 1??? D. ±1

預(yù)設(shè)：絕對(duì)值等于3和2的數(shù)都有兩個(gè)，而a+b當(dāng)a和b符號(hào)相同時(shí)，與它們分別的絕對(duì)值相加相等，當(dāng)符號(hào)相反時(shí)，就不相等了。

解：a+b的值只有當(dāng)兩數(shù)符號(hào)相同時(shí)滿足題意，因此a+b=5或a+b=-5，故選擇B選項(xiàng)。

四、課堂小結(jié)，感悟思想

1. 絕對(duì)值的意義;2. 數(shù)形結(jié)合的思想方法。

五、課后作業(yè)，鞏固復(fù)習(xí)

A層：練習(xí)冊(cè)5.3基礎(chǔ)習(xí)題;

B層：5.3絕對(duì)值（1）的拓展習(xí)題。

【第二課時(shí)課堂環(huán)節(jié)】

一、情境導(dǎo)入，聯(lián)系生活

師：出示我國(guó)北京（-6℃）、上海（0℃）、杭州（1℃）、廣州（5℃）、哈爾濱（-14℃）五座城市2022年的最低氣溫，同學(xué)們你們能把這些城市的氣溫表示在一條數(shù)軸上嗎？溫度的高低與相對(duì)應(yīng)的數(shù)在數(shù)軸上的位置有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)：數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)字從左到右越來(lái)越大。

師補(bǔ)充：正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

追問(wèn)：上節(jié)課我們學(xué)了絕對(duì)值的概念，那一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值越大，說(shuō)明這個(gè)數(shù)到原點(diǎn)的距離是怎么樣呢？

預(yù)設(shè)：一個(gè)數(shù)所表示的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，其絕對(duì)值越大，與原點(diǎn)的距離越近，其絕對(duì)值越小。

例題4：用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，并將它們從小到大排列起來(lái)：5，0，-1，4.5，-1。

預(yù)設(shè)：從數(shù)軸上可以看出：-1<-1<0<4.5<5。

二、新知探索，聯(lián)系舊知

師：根據(jù)2022年的城市最低氣溫我們知道，北京（-6℃）、哈爾濱（-14℃），那如何比較-6和-14的大小呢？

預(yù)設(shè)：-6=6，-14=14，因?yàn)?4>6，所以-14>-6。

追問(wèn)：那么對(duì)兩個(gè)負(fù)數(shù)，我們是否可以用它們的絕對(duì)值來(lái)比較它們的大?。?/p>

預(yù)設(shè)：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的那個(gè)數(shù)反而小。

例題5：如果a>0，b<0，a

A. -b>a>-a>b???????? B. a>b>-a>-b

C. -b>a>b>-a???????? D. b>a>-b>-a

預(yù)設(shè)：可以根據(jù)字母a和b的符號(hào)和它們的絕對(duì)值通過(guò)畫(huà)數(shù)軸來(lái)確定數(shù)所代表的點(diǎn)的左右位置關(guān)系。

解：根據(jù)絕對(duì)值越大的數(shù)離數(shù)軸越遠(yuǎn)和相反數(shù)的概念，再根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊大于左邊，分析數(shù)軸圖可知選A選項(xiàng)。

三、新知運(yùn)用，舉一反三

1. 如果x，y都是不為0的有理數(shù)，則式子+的值是____。

預(yù)設(shè)：因?yàn)椴恢纗和y的正負(fù)，因此需要進(jìn)行分類(lèi)討論，在進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí)要注意按照順序，否則會(huì)出現(xiàn)遺漏或者重復(fù)。

解：當(dāng)x和y兩個(gè)都是正數(shù)時(shí)，原式=+=2;

當(dāng)x和y兩個(gè)都是負(fù)數(shù)時(shí)，原式=+=-2;

當(dāng)x和y兩個(gè)一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，原式=+=0或+=0。

綜上所述，式子+的值是2或-2或0。

2. 點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=a-b。利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：

①數(shù)軸上表示1和3兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是____;

②數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)之間的距離表示為_(kāi)___。

預(yù)設(shè)：根據(jù)題目的材料可知將兩個(gè)數(shù)作差后再取它們差的絕對(duì)值就可以得到這兩個(gè)數(shù)所代表的點(diǎn)之間的距離。

解：①2 7 ②x+1或-1-x。

課堂練習(xí)：

1. 用“>”或“<”連接下列各數(shù)：

-7___-5;--2___-（-2）;-0.125___-

。

解：-7<-5，--2<-（-2），-0.125>-

。

2. 已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如下圖所示，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（??? ）。

A. a<1

C. 1

預(yù)設(shè)：通過(guò)數(shù)軸上面右邊的點(diǎn)大于左邊的點(diǎn)以及絕對(duì)值的概念可以判斷出的a絕對(duì)值是大于1的。

解：由圖可知a在-1的左側(cè)，因此a是小于-1的，而且a的絕對(duì)值大于1，因此本題選擇A選項(xiàng)。

四、課后作業(yè)，鞏固復(fù)習(xí)

A層：自編練習(xí)5.3（2）基礎(chǔ)習(xí)題;

B層：5.3（2）的拓展習(xí)題。

【執(zhí)教反思】

一、緊扣目標(biāo)，教學(xué)環(huán)節(jié)更有實(shí)效

本課內(nèi)容預(yù)設(shè)兩課時(shí)，嘗試目標(biāo)與環(huán)節(jié)整體設(shè)計(jì)、統(tǒng)一排序，感受了“圍繞目標(biāo)教學(xué)”的魅力。目標(biāo)緊扣環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)鋪墊、實(shí)現(xiàn)、鞏固目標(biāo)，讓教學(xué)更能深入?！敖^對(duì)值”是第五章有理數(shù)第三小節(jié)的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)由原來(lái)的正數(shù)和零擴(kuò)展到負(fù)數(shù)，整數(shù)集拓展到有理數(shù)集，能將一個(gè)有理數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，是在學(xué)習(xí)了互為相反數(shù)的定義、符號(hào)表示及幾何意義的基礎(chǔ)上對(duì)有理數(shù)再探究的過(guò)程。

二、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)眼光看世界

本節(jié)課借助數(shù)軸的直觀性理解絕對(duì)值及幾何意義，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并在后續(xù)練習(xí)中加以運(yùn)用。通過(guò)觀察、思考及合作交流，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的能力。情境引入中，引導(dǎo)學(xué)生將東西向的路看成一條數(shù)軸，將位置看成數(shù)軸上的點(diǎn)。實(shí)際問(wèn)題中比較路程，忽略方向，只看距離，抽象成數(shù)軸上忽略數(shù)的符號(hào)，只考慮點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。最后又回歸到實(shí)際生活問(wèn)題中，體會(huì)絕對(duì)值在生活中的應(yīng)用，助力學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

（責(zé)任編輯：淳? 潔）