數(shù)學(xué)思維方式的內(nèi)涵特征、價值意蘊及培育策略

基金項目：湖北省2023年教育科學(xué)規(guī)劃一般課題“基于項目式學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)主題式教學(xué)研究”（課題編號：2023GB077）.

作者簡介：

劉師妤，女，湖北武漢人，博士，湖北第二師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院講師，研究方向：教師教育、數(shù)學(xué)教育.

（湖北第二師范學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院，武漢 430205）

摘要：數(shù)學(xué)思維方式就是數(shù)學(xué)地思考問題和解決問題的思維活動形式。培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本旨趣，也是適應(yīng)未來社會發(fā)展的必備要求。數(shù)學(xué)思維方式兼具歸納性與演繹性、漸進(jìn)性與靈活性、抽象性與具化性等二元辯證特征。在數(shù)學(xué)問題解決的全過程中，數(shù)學(xué)思維方式存在轉(zhuǎn)化與化歸、簡化與優(yōu)化、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造三方面的價值。要實現(xiàn)這些價值，應(yīng)做到：采用元認(rèn)知策略、運用序化策略、使用概括整合策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維方式；內(nèi)涵特征；價值意蘊；培育策略

中圖分類號：G652

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：20955995（2024）03008307

數(shù)學(xué)教師有一項常規(guī)工作，就是要時常針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)診斷，啟發(fā)他們用數(shù)學(xué)思維方式思考問題、用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行表達(dá)或交流，以協(xié)助他們改進(jìn)學(xué)習(xí)方法。對于師范生來說，數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，不僅可以幫助他們學(xué)好數(shù)學(xué)，更是對他們進(jìn)行學(xué)科教學(xué)法的訓(xùn)練，讓他們今后也用這種方法去教育和訓(xùn)練他的學(xué)生去學(xué)好數(shù)學(xué)。實踐也反復(fù)表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生普遍存在著不良思維定式以及某些思維障礙。思維是人腦對客觀世界投射在意識中的映像進(jìn)行認(rèn)知的過程，思維亦是人腦對客觀事物進(jìn)行識別、邏輯歸納，從中形成有自身意義認(rèn)識的過程。一個人的思維方式，在某種程度上決定著他的發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的是發(fā)展學(xué)生的理性思維。新課程、新教材、新高考、雙減等一系列教學(xué)變革，其目的都是要彰顯學(xué)科獨特的育人功能，使學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)得以培養(yǎng)，運用學(xué)科的能力得到提高，同時，讓學(xué)習(xí)者以“深思”的方式面對文本或?qū)嵺`，讓“思維教學(xué)”再度被重視起來。因此，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式就顯得關(guān)鍵且緊要。

一、數(shù)學(xué)思維方式的內(nèi)涵特征

正如克萊因所說，數(shù)學(xué)是一種理性的精神，使人類的思維得以運用到最完善的程度?？梢?，數(shù)學(xué)思維有著獨特的魅力和無窮的力量。數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家按照不同的標(biāo)準(zhǔn)常將數(shù)學(xué)思維方式分為四類：收斂思維和發(fā)展思維（思維的指向是單一方向還是多方向）；邏輯思維和直覺思維（思維是否以每前進(jìn)一步都有充足理由為其特征）；正向思維和逆向思維（使用分析還是綜合的推理形式，具體體現(xiàn)在條件與結(jié)論的思考方向上）；創(chuàng)造性思維和再現(xiàn)性思維（思維的結(jié)果有無創(chuàng)新，體現(xiàn)在結(jié)果的延伸上、方法的再創(chuàng)上或觀念的更新上）。之所以照此分類，旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性（多方面、多角度思考問題）、思維的深刻性（善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)）、思維的靈活性（具體問題具體分析、善于調(diào)整和變化）、思維的批判性（善于質(zhì)疑、勇于評判，有自己的主張）等思維品質(zhì)。實際上，并非是數(shù)學(xué)學(xué)科所特有的思維方式，它適用于任何有意義的思維活動。正如經(jīng)濟(jì)學(xué)家張五常先生所提出的“科學(xué)的思考方式”。教師的專業(yè)發(fā)展不能僅靠悟性，還應(yīng)有一套適宜的方法論作為指引，這就少不了科學(xué)的思考方式。何為科學(xué)的思考方式呢？要思考有價值、有意義的問題；要問得明確，且允許有不同答案的可能性；有針對性的轉(zhuǎn)換視角，以衡量答案。具體到數(shù)學(xué)學(xué)科，丘維聲先生認(rèn)為數(shù)學(xué)的思維方式應(yīng)是一個全過程：觀察客觀世界的現(xiàn)象抓住其主要特征，抽象出概念或者建立模型，進(jìn)行探索，通過直覺判斷或者歸納推理、類比推理作出猜測；然后進(jìn)行深入人分析和邏輯推理，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律，從而使紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序，這就是數(shù)學(xué)的思維方式。[1]因而，以發(fā)展思維為根本旨趣的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，更要嘗試著找聯(lián)系、能轉(zhuǎn)換視角、有一定的預(yù)見性，好想法才會如雨后春筍般頻頻涌現(xiàn)出來。

（一）歸納與演繹思維協(xié)作

數(shù)學(xué)思維作為特殊的思維方式，承繼了思維的一般特征：間接性和概括性。即能根據(jù)某一事物推斷或預(yù)測、猜想出另一事物的特征或者根據(jù)事物的共同特質(zhì)、本質(zhì)特質(zhì)總結(jié)出結(jié)論。因而數(shù)學(xué)思維被劃分為演繹和歸納兩大類。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展歷程與高低水平也常以此作為主要的衡量標(biāo)準(zhǔn)，可見數(shù)學(xué)思維存在內(nèi)在的層次性。一般地，按照邏輯的延展性及嚴(yán)密程度，數(shù)學(xué)思維可分為三個層次，從低到高依次是分類窮舉、歸納類比、演繹推理。歸納類比實現(xiàn)從未知到可能的探索，演繹推理則是將可能變?yōu)榇_定。歸納和演繹是對事物間本質(zhì)特征的敏銳洞察方式，是出于“找聯(lián)系”的研究需要。歸納是為了提出合情的猜測或論斷，演繹則是為了驗證真理性和一般性。歸納和演繹作為數(shù)學(xué)的思維利器，不僅能有效地組織已有數(shù)學(xué)知識，還能創(chuàng)生知識。數(shù)學(xué)知識大廈奠基于數(shù)學(xué)公理、基礎(chǔ)概念和定理，知識本身的發(fā)生發(fā)展過程（原始學(xué)術(shù)形態(tài)）以及知識的探究學(xué)習(xí)過程（經(jīng)加工后的教育形態(tài)）都內(nèi)在闡明了知識組織的基本形式，即從特殊到一般，或從一般到特殊。更為重要的是，經(jīng)由抽象得到的數(shù)學(xué)真理具有一般性，在應(yīng)用到其他具體的系統(tǒng)中就具備了催生新知識的可能。

一個完整的數(shù)學(xué)思維過程是離不開歸納與演繹的交互協(xié)作的，尤其在猜測結(jié)果的真理性不明朗時。對證實或證偽工作的選擇既體現(xiàn)了歸納與演繹的相對性，又彰顯了二者之間的辯證性。數(shù)學(xué)思維同時兼具“邏輯性”和“直覺性”?！斑壿嫛钡乃季S特征是：它是一種“無意識”成分很少、指向更窄的思維，是前后一貫的，思維過程分段清楚；而“直覺”思維的特征是“無意識”成分很多，是更多“分散”的思維，迅速而且思維過程簡縮了[2]?？梢姡瑪?shù)學(xué)思維方式本質(zhì)上是一種辯證思維?！秾O子兵法》有云“兵無常勢，水無常形，能因敵變化而取勝者，謂之神?！苯虒W(xué)活動亦是如此，要做深刻的教情分析和精準(zhǔn)的學(xué)情分析，以合理選用歸納法或演繹法。如開展以“三角形”為主題的教學(xué)，可遵循“從一般三角形到特殊三角形”“以等腰三角形、直角三角形的特例學(xué)習(xí)引致一般幾何圖形”的學(xué)習(xí)路徑，以呈現(xiàn)一個完整的“抽象數(shù)學(xué)概念—形成聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)概念的判斷而得出命題—通過推理、論證，形成一個層次分明、結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的邏輯系統(tǒng)”的過程[3]。

歸納與演繹從方向上對數(shù)學(xué)思維特征做了概括，不受局部觀念的指引。數(shù)學(xué)思維方式是基于數(shù)學(xué)內(nèi)容包含數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的理性思維方式，故是一種整體性思維方式。整體性思維方式要求用全方位的視角去思考知識整體及局部的內(nèi)在結(jié)構(gòu)[4]。這里的全方位視角指的是整體規(guī)劃問題解決的全局思路、局部挖掘已有的相關(guān)經(jīng)驗、遷移相似問題的研究策略。它們所對應(yīng)的正是數(shù)學(xué)思維方式。

（二）漸進(jìn)性與靈活性結(jié)合

數(shù)學(xué)思維的復(fù)雜性還體現(xiàn)在漸進(jìn)性與靈活性的錯綜盤結(jié)上。由基礎(chǔ)逐步推向復(fù)雜，是數(shù)學(xué)思維特征由單一向多樣演化、由直覺向分析突破、由常規(guī)向創(chuàng)新轉(zhuǎn)變的直接外顯形式，如集合論的建立者康托爾利用集合這一“最基本”的研究對象來描述和刻畫代數(shù)學(xué)中的研究對象，奠定了“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)。如果說數(shù)學(xué)的可信性依賴于其思維的漸進(jìn)性，那么數(shù)學(xué)的美妙則主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的靈活性上。數(shù)學(xué)思維的靈活性尤為講究“具體問題，具體分析”，既強調(diào)整體性著眼于構(gòu)建，又突出重要細(xì)節(jié)問題。

數(shù)學(xué)思維雖然抽象，但仍呈現(xiàn)階段化漸變特征。按照皮亞杰對兒童認(rèn)知發(fā)展過程的劃分標(biāo)準(zhǔn)：7歲之前主要靠感覺和動作認(rèn)識世界，能進(jìn)行簡單的思考活動，傾向于以培養(yǎng)感性思維為主；7歲之后能利用符號進(jìn)行邏輯思考能力，會進(jìn)行概括和抽象思維了，傾向于以培養(yǎng)理性思維為主。數(shù)學(xué)思維便是遵循著由感性認(rèn)知到理性認(rèn)知的螺旋式漸進(jìn)過程，否則極易陷入思維停滯或跳躍的窘境，造成思維的混亂乃至邏輯思維的喪失。漸進(jìn)性數(shù)學(xué)思維的主動習(xí)得，有賴于對數(shù)學(xué)知識生發(fā)邏輯過程的尊崇以及對自然理性的追求。

當(dāng)學(xué)習(xí)條件發(fā)生改變時，應(yīng)對的數(shù)學(xué)思維方式也會隨之變化。隨著學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平的提升甚至躍遷，思維方式的自動化程度越來越高，并逐步優(yōu)化，從而跳過程式化的認(rèn)知過程直接選用更為便捷的方法，也即產(chǎn)生了頓悟。頓悟不是憑空產(chǎn)生的，它是漸悟的升華，它由特定的教學(xué)環(huán)境和“似乎偶然”的教學(xué)因素所引發(fā)，當(dāng)積累的學(xué)習(xí)經(jīng)驗越豐富且知識理解水平越高時，頓悟的效果往往就越好。根據(jù)認(rèn)知靈活性理論，應(yīng)主動摒除“教條式”的學(xué)習(xí)方式，注重在復(fù)雜問題解決及多維環(huán)境中的反省性思考，才能養(yǎng)成思維的靈活性。數(shù)學(xué)思維的靈活性體現(xiàn)在思維起點的選擇以及思維過程的優(yōu)選組合上，故數(shù)學(xué)思維的靈活性是基于思維整體性和邏輯性的更高思維品質(zhì)。需要指出的是，后者也同樣遵循漸進(jìn)過程，只是它把之前更為基礎(chǔ)的認(rèn)知過程充當(dāng)了歸納素材。因而，對數(shù)學(xué)對象的理解層次的不同，決定著思維方式的異同。

（三）抽象與具化相融合

數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科地位是由其高度的抽象性所決定的。通過對現(xiàn)實客觀世界中的對象的抽象與概括，數(shù)學(xué)只研究空間形式和數(shù)量關(guān)系，為保證抽象過程的自然性與合理性，它又必須借助于具體、生動的現(xiàn)實原型。因此，抽象與具化是數(shù)學(xué)內(nèi)在的辯證屬性，兩者的有機融合也成為數(shù)學(xué)思維方法的呈現(xiàn)形態(tài)。如在數(shù)學(xué)核心概念的學(xué)習(xí)中，可通過函數(shù)圖象、函數(shù)解析式或表格等具體實例概括抽象出函數(shù)的本質(zhì)（對應(yīng)關(guān)系），從而達(dá)到概念的形成與精致。

抽象與具化相融合的數(shù)學(xué)說理方式又稱數(shù)學(xué)抽象思維，它以更低級的抽象概念或具體的經(jīng)驗、物體作為推理的載體，涉及復(fù)雜概念的理解及思想方法的聯(lián)系與分析，故而數(shù)學(xué)抽象思維屬于高階思維類型。而數(shù)學(xué)教學(xué)實踐表明，受認(rèn)知能力和人生經(jīng)歷的影響，學(xué)生抽象思維的發(fā)展呈現(xiàn)不均衡且不充分的態(tài)勢，主要表現(xiàn)在對具體直觀性素材的過分依賴、對抽象概念與具體實例的人為割裂等。因此，發(fā)展數(shù)學(xué)思維的核心要義就在于數(shù)學(xué)抽象思維的習(xí)得。數(shù)學(xué)抽象思維具有層次性。一般地，它分為弱抽象、強抽象、構(gòu)象化抽象和公理化抽象。弱抽象指的是從同類對象中抽離出共性特征，以拓展其概念外延，以獲得比原結(jié)構(gòu)更廣泛的結(jié)構(gòu)形式。而強抽象則是指通過引入新特征強化原型并得到新概念，即由一般到特例。構(gòu)象化抽象多是為了數(shù)學(xué)邏輯發(fā)展需要而抽象出來的，如無理數(shù)的引入擴充了數(shù)系系統(tǒng)，使得實數(shù)具有完備性。而公理化抽象則是更高形式的抽象，其對象不再是概念體系，而是更為基礎(chǔ)的公理化系統(tǒng)。因而，兼顧數(shù)學(xué)思維逐級抽象的特征，數(shù)學(xué)教學(xué)要循序漸進(jìn)，要通過反復(fù)的“具體—抽象—具體”言語系統(tǒng)提升學(xué)生的抽象思維。

也有觀念認(rèn)為，數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是抽象。原因有二：一是數(shù)學(xué)的語言系統(tǒng)是對具體事物變化過程中一般規(guī)律的概括與總結(jié)；二是數(shù)學(xué)的思維方法是超越具體事物對其的“數(shù)”化、“形”化以及關(guān)系化、算法化。

從這一意義上講，珍視數(shù)學(xué)思維的抽象屬性，是對數(shù)學(xué)的本質(zhì)的彰顯。

二、數(shù)學(xué)思維方式的價值意蘊

理性與非理性，作為人類客觀存在不可或缺的兩種認(rèn)知方式，主動參與到我們的學(xué)習(xí)和生活并為知覺和行動提供決策依據(jù)。遵照此理，發(fā)揮數(shù)學(xué)思維中的理性與非理性價值作用將有助于數(shù)學(xué)問題的提出、分析與解決，具體體現(xiàn)在轉(zhuǎn)化與化歸、簡化與優(yōu)化、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造三方面。

（一）轉(zhuǎn)化與化歸

數(shù)學(xué)思維方式的價值可經(jīng)由數(shù)學(xué)知識教學(xué)和數(shù)學(xué)文化教學(xué)體現(xiàn)出來，并落實在數(shù)學(xué)問題解決的全過程中。問題是數(shù)學(xué)的心臟（波利亞語），問題是思維的發(fā)端，更是創(chuàng)新思維的動力。好的數(shù)學(xué)思維方式還能將數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)凸顯出來，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題教學(xué)的價值。

數(shù)學(xué)問題的解決過程是操作求解系統(tǒng)以趨于目標(biāo)系統(tǒng)的過程，其本質(zhì)上是問題得以轉(zhuǎn)化的過程。大眾熟知的“數(shù)學(xué)家燒開水”故事深刻地詮釋了轉(zhuǎn)化與化歸的巧妙哲學(xué)，其核心是將復(fù)雜問題簡單化、 陌生問題熟悉化、未知問題已知化。 這種轉(zhuǎn)化的能力正是數(shù)學(xué)思維能力的體現(xiàn)。如等與不等、數(shù)與形、正與反、常量與變量、運動與靜止間的辯證轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化與化歸思想方法依賴于既有經(jīng)驗，屬于典型的模型思維。模式識別是對數(shù)學(xué)問題的整體結(jié)構(gòu)以及關(guān)鍵點進(jìn)行自動判讀，進(jìn)而歸結(jié)于已有問題模式的信息加工過程，它是模型思想的第一步。具體而言，即是對轉(zhuǎn)化的對象及目標(biāo)作整體性預(yù)判及轉(zhuǎn)化方法上的準(zhǔn)備。為了實現(xiàn)有效地轉(zhuǎn)化，往往需要變更問題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，或變換問題的外部形式。如求過正方體的頂點的異面直線的對數(shù)問題，借助于最簡單的空間幾何體模型——三棱錐就能巧妙地轉(zhuǎn)化與化歸，或者處理不規(guī)則幾何體的度量關(guān)系、位置關(guān)系也常常需要通過割補等方式建構(gòu)規(guī)則圖形。

轉(zhuǎn)化與化歸方法的普適性還體現(xiàn)在它對于數(shù)學(xué)各板塊知識的溝通與促進(jìn)作用。由于信息資源得不到有效的交叉融合，知識板塊之間相互割裂而形成的無序狀態(tài)，仿佛大海中的一個個“孤島”，被稱作“知識孤島”。知識孤島一旦產(chǎn)生，數(shù)學(xué)思維的界域性會受到極大簡縮，思維定勢也會頻繁出現(xiàn)。因此，知識的融會貫通是保證轉(zhuǎn)化與化歸方法能得以運用成功的前提條件，也是知識的意義象征及價值體現(xiàn)。如函數(shù)與方程思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)四大思想方法之一，有效地溝通了函數(shù)、不等式及方程三個核心板塊，實現(xiàn)了“函數(shù)有零點”“函數(shù)圖象有交點”及“方程有實根”的三個等價條件的自動轉(zhuǎn)化。

（二）簡化與優(yōu)化

借助合理的數(shù)學(xué)思維工具可以提高分析并解決問題的能力，其涵義是指簡化和優(yōu)化問題解決的全過程。數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開簡化與優(yōu)化。數(shù)學(xué)問題的思考與解決過程本質(zhì)上就是簡化和優(yōu)化的過程。

數(shù)學(xué)中的簡化包含數(shù)學(xué)用具的簡化、數(shù)學(xué)語言的簡化、人為規(guī)定的簡化、數(shù)學(xué)策略的簡化等，既符合人們的認(rèn)知發(fā)展需求，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)求美、求簡的精神追求。大數(shù)學(xué)家羅素稱“數(shù)學(xué)是符號加邏輯”，是對數(shù)學(xué)簡潔之美的精辟概括。數(shù)學(xué)的簡潔美是數(shù)學(xué)內(nèi)容和它的簡化形式的統(tǒng)一，是人類“思維經(jīng)濟(jì)化”在數(shù)學(xué)上的反映。數(shù)學(xué)家陳省身也曾言，在數(shù)學(xué)的世界中，簡單性和優(yōu)雅性是壓倒一切的。數(shù)學(xué)模型的簡潔美就是很好的例證。一個正確且恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型滿足表征形式簡單、邏輯關(guān)系清晰、求解方法明確等特點，它試圖以最少的假設(shè)條件、采用盡可能簡潔的方法推出盡可能廣泛而深刻的結(jié)論。數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的一道橋梁，使數(shù)學(xué)應(yīng)用成為可能并普及開來，絕大程度上要歸結(jié)于它對現(xiàn)實問題的本質(zhì)抽象和極簡表達(dá)。李大潛院士也這樣評價數(shù)學(xué)模型：“數(shù)學(xué)上追求的是最有用廣泛的結(jié)論、最低的條件代價以及最簡明的證明，使學(xué)生形成精益求精的風(fēng)格，凡事力求盡善盡美?！盵5]如數(shù)學(xué)證明中的“無字證明”（PROOFS WITHOUT WORDS）就是極簡的數(shù)學(xué)模型。無字證明由于其僅用圖象而無需文字解釋就可達(dá)到不證自明的目的，故被視作比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅且具條理。

簡化是為了優(yōu)化，反過來優(yōu)化又為了達(dá)致簡化，兩者的這種休戚共生關(guān)系彰顯出了數(shù)學(xué)思維的根本旨趣。優(yōu)化是數(shù)學(xué)思維逐步深入的必然結(jié)果，也是驅(qū)使其形成優(yōu)良思維品質(zhì)的內(nèi)在動力。通過對數(shù)學(xué)問題的優(yōu)化思考與求解，數(shù)學(xué)思維層次水平會不自覺地進(jìn)階，從而走向深刻與完備。如數(shù)學(xué)的最優(yōu)化問題指的是要在盡可能節(jié)省人力、物力和時間的前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最佳效果，是數(shù)學(xué)分支統(tǒng)籌學(xué)的主要研究內(nèi)容，更是數(shù)學(xué)思維應(yīng)用價值的直接輸出與直觀呈現(xiàn)。

（三）發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造

觀照數(shù)學(xué)思維的顯性價值的同時，也應(yīng)捕捉到數(shù)學(xué)思維的潛在聯(lián)絡(luò)功能，因為是其潛在功能決定了根本價值。作為一種內(nèi)隱的心智活動，數(shù)學(xué)思維直接為發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造提供心理準(zhǔn)備和促發(fā)條件。首先是意識上的準(zhǔn)備。發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造意識源于志趣的驅(qū)使以及數(shù)學(xué)的本身之美的熏染。如卡爾達(dá)若在討論“怎樣的兩個數(shù)彼此相加之和為10，彼此相乘之積為40”的問題時，提出一個重要思想：如果承認(rèn)虛數(shù)的合理性，那么原本沒有答案的問題也會有答案。這預(yù)示著虛數(shù)很有可能會被正式地提出并賦予合法化地位。其次是官能上的準(zhǔn)備。思維由大腦主宰，數(shù)學(xué)思維中理性思維（如符號化、形式化的邏輯判斷與推理）和非理性思維（如歸納、類比、聯(lián)想）分別受左右腦控制，當(dāng)對兩者的協(xié)同刺激和控制得當(dāng)時，就會促進(jìn)智能的有效提升。如笛卡爾意識到代數(shù)研究與幾何研究的范疇孤立問題，苦苦思索多年終于運用構(gòu)造性思維引進(jìn)了平面直角坐標(biāo)系溝通了代數(shù)與歐幾里得幾何，創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。再次是技法上的準(zhǔn)備。重要數(shù)學(xué)問題的提出，實質(zhì)上是思維工具加工處理的結(jié)果。如歐拉基對于“哥尼斯堡七橋”現(xiàn)實問題，就運用數(shù)學(xué)抽象方法提出了經(jīng)典的“一筆畫”問題，從而創(chuàng)立了圖論和拓?fù)鋵W(xué)。

知識的價值在于其能被意義建構(gòu)，故知識的正確性存在一定條件，即知識存在不確定性。發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的不確定性遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)知識客觀存在上的不確定性程度高，因為思維具有復(fù)雜性和特殊性。而數(shù)學(xué)思維的要義則是從不確定性中找尋并驗證確定性，如概率論。本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)思維是近似確定性的。正如數(shù)學(xué)知識的不確定性為數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展、教師教學(xué)創(chuàng)造和學(xué)生高效探究提供了無限可能性[6]，數(shù)學(xué)思維的近似確定性在積累豐富多變的數(shù)學(xué)思維素材的同時，為質(zhì)疑與批判提供了土壤和環(huán)境。

三、數(shù)學(xué)思維方式的培育策略

從思維優(yōu)化層面培育數(shù)學(xué)思維方式，其主要路徑是建立思維意識與具化的“做數(shù)學(xué)”過程的對接通道。

在思維的前端和末端，注重思維的由來以及對思維過程的再認(rèn)知；在思維的運作過程，強調(diào)思維的有序性；在思維的輸出階段，注重概括與整合策略的運用。

（一）采用元認(rèn)知策略

元認(rèn)知策略是指對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行計劃、監(jiān)控和調(diào)節(jié)的抽象層面的學(xué)習(xí)策略，需要刻意學(xué)習(xí)。計劃策略指明思維的方向性，監(jiān)控策略確保思維的邏輯性和層次性，調(diào)節(jié)策略則注重思維的深刻性。在數(shù)學(xué)解題活動中，人們總是忽視甚至無視最不起眼的部分，好比波利亞《怎樣解題表》中的第四個步驟——“回顧與反思”，但它卻往往是最核心的部分。沒有了對問題的回顧與反思，外顯體現(xiàn)在經(jīng)驗不能被推廣，新方法難以被發(fā)現(xiàn)；內(nèi)在則是沒有對只有認(rèn)知進(jìn)行監(jiān)控、評價，知識理解難以進(jìn)入深層次。當(dāng)我們考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，不難發(fā)現(xiàn)，他們對自己學(xué)習(xí)活動和結(jié)果的自我觀察、自我評價、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié)都存在著很大的差異，這種心理現(xiàn)象就是心理學(xué)中所說的元認(rèn)知。元認(rèn)知知識就是有關(guān)認(rèn)知的知識，即人們對于什么因素影響人的認(rèn)知活動的過程與結(jié)果，這些因素是如何起作用的，他們之間又是怎樣相互作用的等問題的認(rèn)識。

總是采用元認(rèn)知策略，能一步步接近問題的本質(zhì)，這是深度思考的魅力所在。傅仲孫先生曾強調(diào)理解數(shù)學(xué)知識的三重境界：知其然，知其所以然、何由以知其所以然，這是對問題本質(zhì)思考的不斷逼近。什么樣的問題容易引發(fā)深度思考呢？新奇或有一定難度的問題，本身所蘊含的元認(rèn)知知識較豐富，容易激起學(xué)生高度自覺的思維，促使他們在求解前有預(yù)判意識，求解中有變換和調(diào)整，求解后有評價和優(yōu)化，這樣就有更多機會去體驗自己的思維與解法，并經(jīng)受成功或失敗的體驗。教學(xué)過程中教師模擬數(shù)學(xué)家思維過程、示范數(shù)學(xué)家的思維方式可視作是對教師和學(xué)生思維活動的元認(rèn)知探索[7]。此外，通過元認(rèn)知體驗，可以對元認(rèn)知知識加以修正，能不斷發(fā)展擴大元認(rèn)知知識；元認(rèn)知體驗有助于對認(rèn)知活動進(jìn)行監(jiān)控，有利于激活策略與方法，確定新的認(rèn)知目標(biāo)和任務(wù)，或因困惑、失敗的體驗而放棄原來的認(rèn)知目標(biāo)和任務(wù)。

對認(rèn)知加以認(rèn)知，從知識應(yīng)用回到知識起源，是對當(dāng)今社會“碎片化學(xué)習(xí)潮流”的抗議與匡正，知識學(xué)習(xí)、思維發(fā)展要經(jīng)歷一個完整的過程，知識體系、思維方式才能重構(gòu)并趨于完善。

（二）運用序化策略

思維序化指的是思維的秩序化和序列化，前者涉及思維的有序性，后者則注重思維的層次性。數(shù)學(xué)思維的層次性往往通過有序性進(jìn)行表達(dá)，故我們的研究視點為有序化的思維及表達(dá)。波利亞根據(jù)生物發(fā)生律的思想將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程由低級到高級分為三個不同的階段：（1）探索階段（直觀感知階段）；（2）形式化階段（引入符號與定義，使之上升到概念水平）；（3）同化階段（知識消化、吸收、融匯于學(xué)習(xí)者的智力結(jié)構(gòu)中），每個人的思維都必須有序地通過這三個階段，即認(rèn)知的過程應(yīng)遵循階段序進(jìn)原則。發(fā)展思維亦是如此，鄭毓信先生提出思維教學(xué)的“兩階段理論”——第一階段幫助學(xué)生了解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維并改進(jìn)日常思維；第二階段通過“數(shù)學(xué)學(xué)會思維”并提升思維品質(zhì)[8]。實踐表明，“從做中學(xué)”的教育價值不僅在于溝通了兒童的心理世界與現(xiàn)實世界，而且為兒童提供了豐富的思考材料和可能的經(jīng)驗活動的積累。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程還應(yīng)是學(xué)生操作、感知、思考、探索、交流的過程。反過來，數(shù)學(xué)經(jīng)驗活動的積累，會使思維過程更加清晰、簡潔，思維方式更顯有序。從思維順序上看，強調(diào)逆向思維的教學(xué)價值不僅有助于消弭正向思維的思維定勢和片面弊端，而且能形成貫通的思維，讓思維流動起來[9]。如對數(shù)列綜合性質(zhì)的考查上，一般先考慮特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）的性質(zhì)，行不通則再考慮轉(zhuǎn)化為基本量間關(guān)系；對圓錐曲線問題的考查，一般優(yōu)先考慮曲線的定義、幾何性質(zhì)及圖形的幾何特征，主要是為了避免不必要或繁瑣的代數(shù)演算。又如估算優(yōu)先于精算，定性分析優(yōu)先于定量分析。龐加萊曾指出：數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)在于對“序”的把握，一個數(shù)學(xué)證明并不是若個三段論的簡單并列，而是眾多三段論在確定的序之中的安置。這種使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多，一旦直覺到這個序，就能領(lǐng)悟到整個推理?？梢?，我們更應(yīng)主動去探尋數(shù)學(xué)學(xué)科中對提升學(xué)生思維品質(zhì)（尤其是條理性）有益的東西。

新秩序的建立要以序作保障，新課程理念的深化更要有序為邏輯支撐。有序思想是客觀存在于課程體系的整個過程中的。如教學(xué)內(nèi)容的選材與編排方式，教師教學(xué)活動的組織與開展，學(xué)生認(rèn)知事物、習(xí)得并建構(gòu)的過程。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)符合知識內(nèi)在邏輯要求，符合學(xué)生心理發(fā)展規(guī)律，每一后繼經(jīng)驗總是建立在前面經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，同時又對有關(guān)內(nèi)容作更深入、更廣泛的探討。從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，凡是講究序進(jìn)原則，即保證學(xué)科的邏輯順序，又遵從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展能力順序。內(nèi)容的確定性與不確定性交替呈現(xiàn)，對培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力、創(chuàng)新能力大有裨益。教學(xué)活動也應(yīng)是井然有序，先后分明：創(chuàng)設(shè)問題情景為先，探尋解決辦法在后；建構(gòu)結(jié)構(gòu)框架為先，理解單一知識在后；學(xué)生親歷嘗試為先，教師干預(yù)指導(dǎo)在后；思考問題合情推理為先，演繹論證在后。

（三）使用概括整合策略

誠如懷特海所說：“語言雖不是邏輯思維的本質(zhì)所在，但如果沒有語言，思維的維持、思維的從容恢復(fù)、思維的交織為更為復(fù)雜的東西、思維的交換，都要大大受到限制?！盵10]也即思維的表達(dá)是建立于思維基礎(chǔ)上并忠實于它的。數(shù)學(xué)本身高度的抽象性和概括性決定了數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式應(yīng)以數(shù)學(xué)的方式，即以形式化的數(shù)學(xué)符號語言體系從自然世界（包括不可觸摸的觀念等）抽象概括出對象間的本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)的歷史展示了數(shù)學(xué)理論的形成與發(fā)展是一個不斷概括的過程，這表明概括是研究數(shù)學(xué)的基本思想方法[11]。蔡金法認(rèn)為數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心，尤其從思維特征進(jìn)行了深刻的論述[12]。他認(rèn)為，思維具有概括性和間接性。所謂思維的概括性包含兩層意思：第一，能找出一類事物所持有的共性把它們歸結(jié)在一起，從而認(rèn)識該類事物及其他事物的關(guān)系；第二，能從部分事物相互聯(lián)系的事實中找到普遍的或必然的聯(lián)系，將其推廣到同類的現(xiàn)象中去。思維的間接性就在于思維需要借助知識經(jīng)驗和加工來反映，而間接反映主要來自概括的反映。因而概括能力是思維的最顯著特征。由于數(shù)學(xué)內(nèi)容及關(guān)系、規(guī)律的復(fù)雜性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概括亦包含多個方面：對數(shù)學(xué)符號語言意義的概括；對數(shù)學(xué)關(guān)系的概括；對數(shù)學(xué)表征形式的概括；對數(shù)學(xué)思想方法的概括。因此，教師為學(xué)生所做的思維示范或思維指導(dǎo)應(yīng)當(dāng)分層次展開，并且要教授學(xué)生樂于表達(dá)、善于表達(dá)的策略[13]。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生普遍容易出現(xiàn)思維混沌、思維中斷、思維停滯等障礙，皆是思維連貫性差的表現(xiàn)。思維的連貫性在于知識間的耦合性、轉(zhuǎn)承性。知識學(xué)習(xí)一定是經(jīng)歷零散到整合的過程，最終以知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)，才能體現(xiàn)知識的價值。整合是關(guān)聯(lián)知識的重要手段，如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》在教材編寫、教與學(xué)多個層面都強調(diào)整體設(shè)計、整合處理的重要作用。具體而言，有單元設(shè)計、優(yōu)化單元習(xí)題系統(tǒng)等。數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的整合是以優(yōu)化數(shù)學(xué)思維為目標(biāo)的，而學(xué)科間的整合才是以人的全面思維方式為直接旨趣。持學(xué)科本位的思維方式是難以應(yīng)對快速發(fā)展的社會節(jié)奏的，因而整合學(xué)科，貫通各學(xué)科思維是思維發(fā)展的必經(jīng)之路。如對于結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)上的結(jié)構(gòu)決定了思考的方向，而生物學(xué)中的結(jié)構(gòu)決定了功能，化學(xué)中的結(jié)構(gòu)決定了性質(zhì)；又如唯一變量原則是自然科學(xué)實驗研究的重要控制原則，是研究問題的科學(xué)方法，各個學(xué)科都應(yīng)予以特色的詮釋。有人說，21世紀(jì)應(yīng)是跨界人才的時代，擁有跨界思維的人才能勝任一切工作。所謂跨界思維，就是大世界大眼光、用多角度、多視野地看待問題和解決問題的思維方式。顯然，整合就是培育跨界思維的策略。比如說芬蘭的課程體系的整合策略得到了世界各國的一致認(rèn)可與好評。2016年頒布的新課程要求在不同學(xué)科和領(lǐng)域貫徹七種“廣泛基礎(chǔ)素養(yǎng)”（或“橫貫?zāi)芰Α保核伎寂c學(xué)習(xí)；文化素養(yǎng)、互動與表達(dá)；自我照料與日常生活管理；多元識讀素養(yǎng)；信息通訊素養(yǎng)；工作生活與創(chuàng)業(yè)素養(yǎng)；參與、授權(quán)與責(zé)任。同時設(shè)置整合生物、地理、物理、化學(xué)和健康研究等學(xué)科的環(huán)境研究課程，并通過整合教學(xué)開展學(xué)科融合式課程探索，實現(xiàn)學(xué)生的跨學(xué)科學(xué)習(xí)?！癝TEAM 2”（跨學(xué)科整合、自主與協(xié)作學(xué)習(xí)、教育AI實現(xiàn)）的教育理念的興起，試圖建立人與科技的高度協(xié)同和跨界整合。

總之，我們要綜合思維方式與學(xué)科特點的方方面面，積極、努力培養(yǎng)科學(xué)的思維方式。

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The Connotation Characteristics， Value Implications，

and Cultivation Strategies of Mathematical Thinking Patterns

Liu Shiyu

（Institute of Education Science， Hubei University of Education， Wuhan Hubei 430205）

Abstract：Mathematical thinking is a form of thinking activity that involves thinking and solving problems mathematically. Cultivating students mathematical thinking patterns is the fundamental purpose of mathematics teaching and a necessary requirement for adapting to future social development. The mathematical way of thinking has dual dialectical characteristics such as induction and deduction， progressiveness and flexibility， abstraction and concretization. In the entire process of solving mathematical problems， mathematical thinking methods have three values： transformation and reduction， simplification and optimization， and discovery and creation. To achieve these values， one should adopt metacognitive strategies， use sequencing strategies， and use summarization and integration strategies.

Keywords：mathematical thinking mode; connotation characteristics; value implications; cultivation strategy

（責(zé)任編校：吳云漢）