例談含輕彈簧類(lèi)問(wèn)題的求解策略

譚天爵

輕彈簧是指不計(jì)質(zhì)量的彈簧模型，遇到含輕彈簧類(lèi)問(wèn)題時(shí)，需要在正確進(jìn)行受力分析的前提下，靈活選用胡克定律、平衡條件、牛頓第二定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律，以及功能關(guān)系等物理規(guī)律列式求解。下面通過(guò)不同類(lèi)型含輕彈簧問(wèn)題的分析，展示此類(lèi)問(wèn)題的求解策略，供同學(xué)們參考。

D.如果小球1和2間的輕彈簧從小球1連接處脫落，那么脫落瞬間小球1的加速度為0，小球2的加速度為2a，其余小球的加度依然為a

解析：選小球1為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得F1=ma;選由小球1和2組成的整體為研究對(duì)象，同理得F2 =2ma;選由小球1、2、3組成的整體為研究對(duì)象，同理得F3=3ma;……;選由小球1、2、3、…、2 023組成的整體為研究對(duì)象，同理得F2 023=2 023ma。因此F1∶F2∶F3∶…∶F2 023=1∶2∶3∶…∶2 023，選項(xiàng)A正確。根據(jù)胡克定律可知，彈簧形變量與彈簧彈力成正比，即從左到右每根輕彈簧的形變量之比Δx1 ∶Δx2 ∶Δx3∶…∶Δx2 023=F1 ∶F2 ∶F3 ∶ … ∶F2 023 =1∶2∶3∶…∶2 023，選項(xiàng)B 正確。突然撤去拉力F 的瞬間，小球間輕彈簧的彈力保持不變，即F2 023=2 023ma，設(shè)小球2 024 的加速度為a'，則F2 023 =ma'，又有F =2 024ma，解得a'=2 023F/2 024m ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。小球1和2間的輕彈簧從小球1連接處脫落瞬間，小球1和2間的輕彈簧的彈力突變?yōu)榱悖∏?所受合力為零，其加速度為零，小球2僅受小球2和3間輕彈簧的彈力，且小球2和3間的輕彈簧的彈力不發(fā)生突變，根據(jù)牛頓第二定律得F2=ma2，又有F2=2ma，解得小球2的加速度a2=2a，其余小球的受力情況不變，加速度依然為a，選項(xiàng)D正確。

答案：C

3.由輕彈簧連接的兩個(gè)物體做速度不同的運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)由輕彈簧連接的兩個(gè)物體做速度不同的運(yùn)動(dòng)時(shí)，合理選用整體法和隔離法進(jìn)行受力分析，根據(jù)物體的受力情況判斷物體的運(yùn)動(dòng)情況，利用牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律或動(dòng)量守恒定律列式可以求解相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

例3 如圖3所示，由輕彈簧連接的物塊A 和B放置在光滑水平地面上，輕彈簧的原長(zhǎng)為l，物塊A 的質(zhì)量為3m ，物塊B 的質(zhì)量為m ，輕彈簧始終處于彈性限度內(nèi)。現(xiàn)使物塊A 瞬間獲得向右的初速度v0，在輕彈簧再次恢復(fù)至原長(zhǎng)的過(guò)程中，以下判斷正確的是（ ）。

A.物塊A 的速度先減小后增大

B.物塊B 的加速度先增大后減小

C.任意時(shí)刻，物塊A 和B 的速度大小之比均為1∶3

D.任意時(shí)刻，物塊A 和B 的加速度大小之比均為1∶3

解析：物塊A 瞬間獲得向右的初速度v0，輕彈簧被壓縮，在輕彈簧再次恢復(fù)至原長(zhǎng)的過(guò)程中，物塊A 始終受到向左的彈力，做初速度為v0 的減速運(yùn)動(dòng)，物塊B 始終受到向右的彈力，做初速度為零的加速運(yùn)動(dòng)，輕彈簧的彈力先增大后減小，物塊B 的加速度先增大后減小，選項(xiàng)A 錯(cuò)誤，B正確。水平地面光滑，由物塊A 和B、輕彈簧組成的系統(tǒng)在水平方向上的動(dòng)量守恒，任意時(shí)刻均有3mv0 =3mv1+mv2，則v1 ∶v2 =v1 ∶3（v0 -v1）≠1∶3，選項(xiàng)C錯(cuò)誤。任意時(shí)刻，輕彈簧對(duì)物塊A、B 的彈力大小相等，方向相反，根據(jù)牛頓第二定律F=ma 可知，物塊A 和B 的加速度大小之比為a1∶a2=1∶3，選項(xiàng)D正確。

答案：BD

二、豎直面內(nèi)含輕彈簧問(wèn)題的求解

1.由輕彈簧連接的物體靜止。

當(dāng)由輕彈簧連接的物體在豎直面內(nèi)靜止時(shí)，物體處于平衡狀態(tài)，合理選擇研究對(duì)象，正確進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡條件列方程式依然是求解相關(guān)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的必要過(guò)程。若物體由輕繩和輕彈簧共同連接，突然剪斷輕繩或輕彈簧瞬間，則需要根據(jù)輕繩和輕彈簧的力學(xué)特性，確定物體的受力情況，推斷物體的運(yùn)動(dòng)情況。

例4 如圖4 所示，一物塊P 靜置在粗糙水平桌面上，一根水平輕繩將其連接在豎直放置的輕彈簧上端，連接點(diǎn)為O。另外一根輕繩的一端也與O 點(diǎn)相連，另一端固定在豎直墻壁上的Q 點(diǎn)。輕繩OQ 與豎直墻壁間的夾角α=53°，物塊P 處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧的勁度系數(shù)k=200 N/m，形變量x=3 cm，已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A.彈簧的彈力為6 N

B.桌面對(duì)物塊P 的摩擦力為10 N

C.水平輕繩的拉力為10 N

D.傾斜輕繩的拉力為8 N

解析：根據(jù)胡克定律得F=kx=6 N，即彈簧的彈力為6 N，選項(xiàng)A 正確。選結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，如圖5甲所示，根據(jù)平衡條件得T2sin α=T1，T2cos α=F，解得水平輕繩的拉力T1=8 N，傾斜輕繩的拉力T2=10 N，選項(xiàng)C、D 錯(cuò)誤。選物塊P為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，如圖5乙所示，根據(jù)平衡條件得T1=f，解得桌面對(duì)物塊P的摩擦力f=8 N，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。

答案：A

2.由輕彈簧連接的物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

當(dāng)由輕彈簧連接的物體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)情況，確定物體的受力情況，利用圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求解相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。若物體由輕桿和輕彈簧共同連接，則需要注意輕桿和輕彈簧的力學(xué)特性，確定物體的受力情況，推斷物體的運(yùn)動(dòng)情況。

例5 如圖6 所示，一根光滑豎直桿固定在一足夠大水平光滑圓臺(tái)的中央，一根輕彈簧套在豎直桿上，A、B、C 三個(gè)小球用兩根輕桿通過(guò)光滑鉸鏈連接，小球A 套在豎直桿上，并與輕彈簧的上端拴接。已知輕彈簧的原長(zhǎng)與兩根輕桿的長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，三個(gè)小球的質(zhì)量均為m 。當(dāng)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，兩根輕桿與豎直方向間的夾角θ=37°。當(dāng)小球B、C 以相同的角速度ω0 繞豎直桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球B、C 恰好要脫離圓臺(tái)，此時(shí)兩根輕桿與豎直方向間的夾角為θ0。彈簧始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，sin 37°=3/5，cos 37°=4/5。下列判斷正確的是（ ）。

答案：CD

總結(jié)：求解含輕彈簧的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，需要先確定輕彈簧是處于拉伸、壓縮還是原長(zhǎng)狀態(tài)，明確彈簧彈力的方向;再對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分析受力，研究對(duì)象可以是單個(gè)物體，也可以是由多個(gè)物體組成的系統(tǒng)，需要具體情況具體分析;然后根據(jù)物體的受力情況或運(yùn)動(dòng)情況，選用合適的物理規(guī)律列式求解，若物體處于共點(diǎn)力平衡狀態(tài)，則可以利用平衡條件列式求解，若物體處于變速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則可以利用牛頓第二定律分析與討論。

（責(zé)任編輯 張 巧）