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    例談選函數(shù)圖像常用的方法

    2024-05-29 03:43:56公衍錄
    關(guān)鍵詞:質(zhì)點斜面表達式

    公衍錄

    選擇符合題意的函數(shù)圖像一直是高考考查的熱點問題之一,下面結(jié)合實例介紹選函數(shù)圖像常用的幾種方法,供同學們參考。

    一、根據(jù)函數(shù)表達式選擇函數(shù)圖像

    先根據(jù)題意和物理規(guī)律,推導出圖像縱、橫坐標軸代表的物理量滿足的關(guān)系式———函數(shù)表達式,再依據(jù)“函數(shù)表達式與函數(shù)圖像相對應(yīng)”選出符合題意的圖像。例如,若函數(shù)表達式形如y=kx+b,則對應(yīng)的函數(shù)圖像為直線;若函數(shù)表達式形如y=ax2+bx+c(a≠0),則對應(yīng)的函數(shù)圖像為拋物線。

    例1 在t=0時刻,將一物體(可視為質(zhì)點)豎直向上拋出,忽略空氣阻力。以拋出點為坐標原點、豎直向上為正方向,如圖1所示的四個選項中能正確反映該物體的動量p隨時間t 變化、動能Ek 隨位移x 變化的圖像是( )。

    解析:設(shè)物體的初速度為v0,則t 時刻物體的速度v=v0-gt,動量p=mv,解得p=mv0-mgt,因此物體的動量p 與時間t 是一次函數(shù)關(guān)系,對應(yīng)的函數(shù)圖像是一條直線,且直線的斜率k=-mg,選項A 正確,B錯誤。根據(jù)速度與位移的關(guān)系式v2-v20=-2gx,動能Ek=1/2mv2,解得Ek=1/2mv20-mgx,因此物體的動能Ek 與位移x 是一次函數(shù)關(guān)系,對應(yīng)的函數(shù)圖像是一條直線,且直線的斜率k=-mg,選項C、D錯誤。

    答案:A

    例2 滑沙是人們喜愛的一項游樂活動。如圖2所示為滑沙場地的一段,人和滑車從斜面頂端A 點由靜止下滑,斜面的傾角為θ,取沿斜面向下為正方向,如圖3所示的四個選項分別是人和滑車沿斜面向下運動過程中的加速度a 與時間t、速度v 與位移x、重力的瞬時功率P重與時間t、動能Ek 與位移x 的關(guān)系圖像,其中正確的是( )。

    解析:選由人和滑車組成的整體為研究對象,在整體沿斜面下滑的過程中,根據(jù)牛頓第二定律得mgsin θ-f =ma,解得a =gsin θ-f/m ,因此a-t 圖像是一條平行于t 軸的直線,選項A 錯誤。根據(jù)速度與位移的關(guān)系式v2=2ax,解得v=根號下2ax ,因此v-x 圖像是一條過原點且開口向右的拋物線的一部分,選項B 錯誤。整體在t 時刻的瞬時速度v=at,重力的瞬時功率P重=mgvsin θ,解得P重=mgasin θ·t,因此P重-t 圖像是一條過原點的傾斜直線,選項C 錯誤。在整體沿斜面下滑位移x 的過程中,根據(jù)動能定理得Ek=(mgsin θ-μmgcos θ)x,因此Ek-x 圖像是一條過原點的傾斜直線,選項D正確。

    答案:D

    例3 如圖4所示,足夠長光滑斜面傾角為θ,在沿斜面向上的恒力F 作用下,物體從斜面底端由靜止開始向上運動,當物體滑動到某一高度處時撤去恒力F。以地面為零勢能面,設(shè)物體的重力勢能為Ep,機械能為E,則在物體沿斜面向上運動的整個過程中,如圖5所示的Ep 和E 隨時間t變化的圖像正確的是( )。

    汽車的加速度逐漸減小至0,汽車做加速度逐漸減小的加速運動,因此v-t圖像的斜率先保持不變,再逐漸減小。當汽車的加速度減小為0時,汽車做勻速運動,速度達到最大值,且最大值等于v1,以后汽車以速度v1 做勻速運動,因此v-t 圖像是一條平行于t 軸的直線。

    答案:C

    例5 如圖7所示,均勻帶正電的金屬圓環(huán)豎直放置,A、B 兩點是其軸線上關(guān)于圓心對稱的兩點。某時刻一個電子僅在靜電力作用下從A 點沿軸線向右運動至B 點,在此運動過程中,電子的v-t 圖像可能是( )。

    解析:均勻帶正電的金屬圓環(huán)圓心處場強為0,軸線上無窮遠處場強也為0,故在圓心與無窮遠之間軸線上某點的場強存在最大值。若A 點在場強最大點左側(cè),根據(jù)eE =ma 可知,電子僅在靜電力作用下由A 點沿軸線運動至B 點的過程中,電子的加速度先增大,后減小到0,再反向增大,然后反向減小。根據(jù)v-t 圖像的斜率表示加速度可知,圖像斜率先正的增大,后正的減小到0,再負的絕對值增大,然后負的絕對值減小,選項A正確。若A 點在場強最大點右側(cè),則電子僅在靜電力作用下由A 點沿軸線運動至B 點的過程中,電子的加速度先減小到0再反向增大,因此v-t 圖像的斜率先正的減小到0,后負的絕對值增大,選項B、C正確,D錯誤。

    答案:ABC

    三、通過分析函數(shù)圖像特殊點的情況選擇函數(shù)圖像

    先分析函數(shù)圖像上的某些特殊點,再根據(jù)這些特殊點的情況可選出符合題意的圖像。例如,選質(zhì)點做簡諧運動時的圖像,如果能夠判斷出做簡諧運動的質(zhì)點在t=0時刻的振動情況,那么就能選出該質(zhì)點的振動圖像。

    例6 如圖9甲所示,一列簡諧橫波以速度v=1 m/s沿繩子由A 點向B 點傳播,質(zhì)點A、B 間的水平距離x=3 m。若t=0時刻,質(zhì)點A 正從平衡位置向上振動,其振動圖像如圖9乙所示,規(guī)定向上為正方向,則t=0時刻質(zhì)點B 的振動圖像是如圖10所示四個選項中的( )。

    解析:根據(jù)圖9乙可知,質(zhì)點A 做簡諧運動的周期T=4 s,則波長λ=vT=4 m,A、B 兩質(zhì)點間的水平距離x=3 m=34λ。t=0時刻,質(zhì)點A 正從平衡位置向上振動,波由A 點向B 點(向右)傳播,因此可畫出如圖11所示t=0 時刻的波形圖。t=0 時刻,x =3 m 處的質(zhì)點B正好位于波峰,與圖10中選項D的圖像相對應(yīng)。

    答案:D

    四、通過定性或半定量分析選擇函數(shù)圖像

    定性或半定量分析法是一種粗略地確定研究對象是否具有某種性質(zhì),或確定某一物理量變化范圍的研究方法。遇到不好找出函數(shù)表達式的選函數(shù)圖像問題,合理應(yīng)用這種方法能避免陷入對細枝末節(jié)的過度分析。

    例7 如圖12所示,ACB 是一段豎直放置的光滑圓弧軌道,A、B兩點等高,相距為0.62 m,距軌道最低點C 的豎直高度為0.01 m。一小滑塊(可視為質(zhì)點)從A 點由靜止釋放并開始計時,其速率v 隨時間t 變化的圖像可能是如圖13所示四個選項中的( )。

    解析:設(shè)圓弧軌道AC 對應(yīng)的圓心角為θ,圓弧軌道半徑為R,根據(jù)幾何關(guān)系得R2-(R -h)2 =(x/2)2,其中h =0.01 m,x =0.62 m,解得R =4.81 m,則sin θ=0.31/4.81=0.064。因此圓弧軌道AC(或CB)對應(yīng)的圓心角很小,小滑塊在圓弧軌道上的往復運動可視為簡諧運動(屬于單擺模型),其周期T=2π根號下(R/g)=4.4 s,小滑塊從A 點由靜止釋放后,在0~2.2 s(前半個周期)內(nèi),小滑塊的速率先增大后減小,在2.2 s~4.4 s(后半個周期)內(nèi),小滑塊的速率仍然是先增大后減小,與圖13中選項A 的圖像相對應(yīng)。

    答案:A

    總之,求解選函數(shù)圖像問題,可以根據(jù)函數(shù)表達式與函數(shù)圖像相對應(yīng)選擇,也可以根據(jù)函數(shù)圖像斜率表示的物理量,結(jié)合圖像斜率的變化選擇,還可以根據(jù)函數(shù)圖像特殊點的情況或利用定性與半定量分析法選擇。

    (責任編輯 張 巧)

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