數(shù)列求和的常見類型及求解策略

汪金蕾

摘要：數(shù)列求和是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。數(shù)列求和問題具有靈活多變、技巧性較強(qiáng)等特點(diǎn)，為此本文通過精簡的例題和變式，對數(shù)列求和的不同類型進(jìn)行歸類，旨在提供一個(gè)可行的“模板”幫助學(xué)生快速地解決數(shù)列求和問題。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng) 等差數(shù)列 等比數(shù)列 數(shù)列求和

題型一 公式法

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：[Sn=n（a1+an）2=na1+n（n-1）2d]，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：[Sn=na1? ? ? ? ?（q=1）a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q≠1）]

【例1】若[an=2n-1]，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]。

解：[Sn=n（1+2n-1）2=n2]

【變式】若[an=13?2n-1]，求數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和[Sn]。

評注：直接代入等差（等比）數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。

題型二 倒序相加法

這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法. 一個(gè)數(shù)列[an]與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么可將數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn正序與倒序的兩式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和。

【例2】設(shè)[f（x）=（x-12）3]，求[f（12023）+f（22023）+…+f（20212023）+f（20222023）]的值。

解：由題知[f（x）+f（1-x）=0]，設(shè)[a=f（12023）+f（22023）+…+f（20212023）+f（20222023）]①，

則[a=f（20222023）+f（20212023）+…+f（22023）+f（12023）]②；由①[+]②可得[2a=0]，則原式=0。

【變式】設(shè)[f（x）=x21+x2]，求[f（12023）+f（12022）+…+f（1）+…+f（2022）+f（2023）]的值。

評注：倒序相加時(shí)，注意觀察首末兩項(xiàng)自變量的關(guān)系，這往往是解題的關(guān)鍵。

題型三 錯(cuò)位相減法

這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法.這種方法主要用于求數(shù)列[{an?bn}]的前n項(xiàng)和，其中[an]，[bn]分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，可運(yùn)用乘公比錯(cuò)位相減進(jìn)行求和。

【例3】若[an=n?2n-1]，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]。

解：[Sn=1+2?2+3?22+…+n-1?2n-2+n?2n-1]①，

[2Sn=1?2+2?22+…+（n-2）?2n-2+（n-1）?2n-1+n?2n]②，

①-②得[-Sn=1+2+22+…+2n-1-n?2n=1-2n1-2-n?2n]；即[Sn=（n-1）2n+1]

【變式】若[an=（2n-1）13n]，求數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和[Sn]。

評注：該題型計(jì)算量較大，計(jì)算時(shí)應(yīng)注意格式和正負(fù)號，解題時(shí)若含參數(shù)，要注意分類討論；該題型也可用裂項(xiàng)相消法。

題型四 裂項(xiàng)相消法

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和。

【例4】若[an=1n（n+1）]，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]。

解：由[an=1n-1n+1]，則[Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1]

【變式】若[an=1n+n+2]，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]。

評注：裂項(xiàng)法將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差后，需要再通分驗(yàn)證，乘上系數(shù)。

題型五 分組求和法

一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)可求和的數(shù)列組成的，求和時(shí)可分別求和后再將其合并。

【例5】若[an=2n+2n-1]，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]。

解：[Sn=n（2+2n）2+1-2n1-2=n2+n+2n-1]

【變式】若[an=1（2n-1）（2n+1）+3?2n-1]，求數(shù)列[an]的前[n]項(xiàng)和[Sn]。

評注：分組求和的本質(zhì)是將數(shù)列變形為若干個(gè)可求和的數(shù)列。

題型六 分奇偶求和之隔項(xiàng)等差（等比）

隔項(xiàng)等差（或等比）數(shù)列是等差（或等比）數(shù)列的延伸與拓展。若[an+t-an=d]（或[an+tan=q]，[q≠0]），其中t為常數(shù)，[t∈N*]且[t≥2]，則稱數(shù)列[an]是隔項(xiàng)等差（或等比）數(shù)列，隔項(xiàng)等差數(shù)列的公差為[dt]，隔項(xiàng)等比數(shù)列的公比為[qt]，求通項(xiàng)公式時(shí)需要討論n的奇偶性。

【例6】若[an]滿足[a1=1]，[a2=1]且[an+2-an=2]，求數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和[Sn]。

解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，[a1=1]，[an=a1+（n-1）?1=n]；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，[a2=1]，[an=a2+（n-2）?1=n-1]；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，[Sn=a1+a3+…+an-1+a2+a4+…+an=1+3+…+1+3+…=n22]；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，[Sn=Sn-1+an=（n-1）22+n=n2+12]；所以[Sn=n22，n為奇數(shù)n2+12，n為偶數(shù)，n∈N*]

【變式】若[an]滿足[a1=1]，[a2=1]且[an+2an=2]，求數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和。

評注：隔項(xiàng)等差（或等比）數(shù)列求和關(guān)鍵是確定奇數(shù)列偶數(shù)列的公差（或公比）。

題型七 絕對值型

絕對值型實(shí)際是一個(gè)去絕對值的過程，將絕對值內(nèi)的數(shù)列進(jìn)行分類討論，對于n 的不同取值范圍，分別進(jìn)行求和運(yùn)算。

【例7】若[an=10-2n]，求數(shù)列[{|an|}]的前n項(xiàng)和[Tn].

解：設(shè)數(shù)列[an]的前n項(xiàng)和為[Sn]；由[an≥0]得[n≤5]，所以當(dāng)[1≤n≤5]時(shí)，[an≥0]，當(dāng)[n≥6]時(shí)，[an<0]；

當(dāng)[1≤n≤5]時(shí)，[Tn=a1+a2+…+an=a1+a2+…+an=Sn=9n-n2]，

當(dāng)[n≥6]時(shí)，[Tn=a1+a2+…+an=a1+…+a5-a6+…an=S5-Sn-S5=2S5-Sn=n2-9n+40]

所以[Tn=9n-n2，1≤n≤5n2-9n+40，n≥6，n∈N*]

【變式】若[an=2n-9]，求數(shù)列[{|an|}]的前n項(xiàng)和[Tn]。

評注：絕對值的臨界值就是分類討論的點(diǎn)。

題型八 并項(xiàng)求和法

形如[an=（-1）nf（n）]的擺動(dòng)數(shù)列或成周期性變化的數(shù)列，可采用兩項(xiàng)合并求解。而對于前n項(xiàng)求和，涉及奇偶問題，則需要討論n的奇偶性。

【例8】已知[an=（-1）n（2n-1）]，求數(shù)列[an]的前2n項(xiàng)和[S2n]。

解：[S2n=-1+3+-5+7+…+[-4n-3+4n-1]=2?n=2n]

【變式】已知[an=-1nn2]，求數(shù)列[an]的前2n項(xiàng)和[S2n]。

評注：注意觀察數(shù)列的遞推關(guān)系，找出相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系。

數(shù)列求和的方法比較多，學(xué)生應(yīng)掌握這幾種常見的數(shù)列求和類型，同時(shí)在求解過程中需要多觀察多分析數(shù)列的遞推關(guān)系，找到合適的解決方法。