兩道歐洲女子數(shù)學奧林匹克試題的證法探究

陸華杰

(廣西壯族自治區(qū)欽州市浦北中學,廣西 欽州 535300)

研究平面幾何試題,可培養(yǎng)幾何直觀能力、鍛煉數(shù)學思維能力和邏輯推理能力.筆者對2013年歐洲女子數(shù)學奧林匹克試題的第1題和第5題進行多角度探究,然后分別給出兩道試題的多種證明.

1 第1題

在△ABC中,延長邊BC到點D,使CD=BC,延長CA到點E,使AE=2CA,證明:若AD=BE,則△ABC為直角三角形[1]．

該題簡短精練,一道構思精巧的幾何試題,形式簡潔、優(yōu)美.作為競賽試題的第一題,難度不算大,證明的方法也多,但均需要較好的數(shù)學能力與素養(yǎng).

證法1如圖1,延長AC到點F,使AC=CF,連接DF,BF,易得四邊形ABFD為平行四邊形．則AD=BF,AC=CF．

圖1 構造平行四邊形

又由于AD=BE,AE=2CA,則BF=BE,AE=AF．即AB為等腰△EBF的底邊EF上的中線,所以AB⊥AC,即△ABC為直角三角形．

證法2:如圖2,取AE的中點P,AB的中點Q,連接PQ,CQ,則PQ為△ABE的中位線．又由于CD=BC,則CQ為△ABD的中位線．又因為AD=BE,于是

圖2 作中位線

又因為AP=AC,則AQ為等腰△CQP底邊上的中線,所以QA⊥CP,則△ABC為直角三角形．

圖3 利用三角形的重心性質

又由于AD=BE,則

于是∠EAM=∠AEM,∠MBA=∠MAB,

即△ABC為直角三角形．

證法4:如圖4,取AE的中點P,連接BP．由于AE=2CA,則AC=EP．

圖4 構造等面積的兩個三角形

又由于CD=BC,則由等底等高兩三角形面積相等知,S△ACD=S△ABC=S△BEP.

又由于AD=BE,且AC=EP,且

則sin∠CAD=sin∠BEP,所以∠CAD=∠BEP或∠CAD=180°-∠BEP.

又由于∠BAC>∠BEP,且∠BAC+∠CAD=∠BAD<180°,

所以∠CAD=180°-∠BEP應舍去,只能為∠CAD=∠BEP,

所以△BEP?△DAC,則∠BPE=∠DCA,所以∠BPA=∠ACB,又AP=AC,則BA為等腰△CBP底邊CP上的中線,所以AB⊥PC,即△ABC為直角三角形．

證法5如圖1,設∠ECB=β,AC=x,BC=CD=y,BE=AD=z．

由于AE=2CA,則EC=3x．

在△ACD與△BCE中由余弦定理知,

z2=x2+y2+2xycosβ,z2=9x2+y2-6xycosβ．

消去cosβ得,z2-y2=3x2.

過點B作AC的垂線,垂足記為H,設BH=h,則

y2-h2=CH2,z2-h2=EH2,

所以z2-y2=EH2-CH2.

又因為EA2-CA2=3x2,所以EH2-CH2=3x2=EA2-CA2,

所以點H與點A相互重合,則△ABC為直角三角形．

證法6如圖1,設BC=a,CA=b,AB=c,則AE=2b．

在△ABC,△AEB,△ACD中由余弦定理知,

a2=b2+c2-2bccos∠A,

c2=a2+b2-2abcos∠C,

EB2=4b2+c2+4bccos∠A,

AD2=a2+b2+2abcos∠C．

消去cos∠A,cos∠C得,

EB2=6b2+3c2-2a2,AD2=2a2+2b2-c2．

由于AD=BE,所以a2=b2+c2,知△ABC為直角三角形．

證法7如圖1,設BC=a,CA=b,AB=c,AD=BE=x,則在△BCE中由斯特瓦爾特定理得,b·x2+2b·a2=3b·c2+b·2b·3b,則x2=3c2+6b2-2a2.

同理在△ABD中由斯特瓦爾特定理得,

a·x2+a·c2=2a·b2+a·a·2a,

則x2=2b2+2a2-c2,

于是3c2+6b2-2a2=2b2+2a2-c2,

所以a2=b2+c2,知△ABC為直角三角形．

2 第5題

設Ω為△ABC的外接圓,圓ω與AC,BC相切,且與圓Ω內切于點P,一條平行于AB的直線與圓ω相切于點Q,且經過△ABC的內部,證明:∠ACP=∠QCB．

該題以三角形的外接圓為背景證明兩角相等,考查證明平面幾何試題的常用方法,同時也可從四點共圓、反演變換和同位變換等角度來證明.

圖5 構造全等三角形

圖6 作同位變換

證法4我們來證明P,I,Q,C四點共圓．設α=∠BAC,β=∠CBA,γ=∠ACP.為方便,假設A和P在∠C的平分線CI的同側,則

注意到,∠PBA=∠ACP=γ,

所以∠CAP=180°-β-γ,∠PAB=180°-α-β-γ.

又PO是Ω的半徑,所以∠APO=90°-γ．

設AB交PO于T,

則∠BTO=180°-∠PAB-∠APO=α+β+2γ-90°.

又QI⊥AB,

所以 ∠OIQ=90°-∠BTO=180°-α-β-2γ

?∠QIP=180°-∠OIQ=α+β+2γ

所以∠ICQ=∠PQI,從而P,I,Q,C四點共圓．

又PI=QI,所以CI平分∠PCQ,證畢．

3 結束語

通過對兩道平面幾何試題的多角度探究,我們不僅熟悉了證明平面幾何試題的常用方法,也鞏固了平面幾何的各模塊知識,同時還培養(yǎng)了幾何直觀能力、鍛煉了數(shù)學思維能力和邏輯推理能力,也提升直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).