創(chuàng)新試題·強化思維·凸顯素養(yǎng)

王世朋 錢良辰 胡浩

摘? 要：通過對2023年全國新高考Ⅰ卷的維度分析與命題特色透視，闡述新高考數(shù)學(xué)試題之印象，并對新課程標準、新教材、新高考背景下的復(fù)習(xí)教學(xué)提出建議.

關(guān)鍵詞：新高考；數(shù)學(xué)試題；維度分析；特色透視；備考建議

中圖分類號：G633.6????? 文獻標識碼：A ????文章編號：1673-8284（2024）01-0050-07

引用格式：王世朋，錢良辰，胡浩. 創(chuàng)新試題·強化思維·凸顯素養(yǎng)：2023年全國新高考Ⅰ卷試題

分析與備考建議［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（1）：50-56.

基金項目：合肥市“十三五”規(guī)劃課題——高中生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗內(nèi)容與獲得途徑的實踐研究（HJ19042）.

作者簡介：王世朋（1982— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與信息技術(shù)輔助教學(xué)研究；

錢良辰（1991— ），男，中學(xué)一級教師，主要從事試題和信息技術(shù)輔助教學(xué)研究；

胡浩（1968— ），男，正高級教師，安徽省特級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程、教材與教學(xué)研究.

研究和分析高考試題，把握考試動向，能為高三復(fù)習(xí)備考工作指明方向. 文章重點圍繞2023年高考數(shù)學(xué)全國新高考Ⅰ卷試題，對其在試卷維度、命題特色方面呈現(xiàn)的特點進行分析，發(fā)揮高考的育人功能和導(dǎo)向推動作用，并結(jié)合后期的復(fù)習(xí)，給出一些備考建議.

一、試卷維度分析

為了更細致和全面地進行分析，對2023年全國新高考Ⅰ卷的考查項目（重點是必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值、考查要求和考查載體）、考點分布及主干知識所占分值進行統(tǒng)計，如表1和表2所示.

基于上面的統(tǒng)計，不難看出：2023年全國新高考Ⅰ卷強化對主干知識的重點考查，要求學(xué)生深刻理解基本概念、性質(zhì)和原理；突出對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的測試，考查學(xué)生基于真實情境分析問題和解決問題的能力，凸顯對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評.

二、命題特色透視

1. 注重基礎(chǔ)，考查主干知識

高考數(shù)學(xué)全國卷試題堅持以“一核、四層、四翼”為命題出發(fā)點，聚焦學(xué)科核心內(nèi)容，堅持對主干知識和常規(guī)方法的考查，凸顯對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查. 2023年全國新高考Ⅰ卷中的試題很好地貫徹了這一理念，突出主干知識，強化對基礎(chǔ)知識的考查. 例如，第1題考查集合的交集運算，第2題考查復(fù)數(shù)的運算，第3題考查平面向量的坐標運算，第4題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，第9題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，第13題考查計數(shù)問題，這些試題都是對學(xué)生基礎(chǔ)知識掌握情況的測試. 再從主干知識來看，三角函數(shù)與解三角形涉及兩道客觀題、一道解答題，共20分；數(shù)列涉及一道客觀題和一道解答題，共17分；立體幾何涉及兩道客觀題和一道解答題，共22分；解析幾何涉及三道客觀題和一道解答題，共27分；概率統(tǒng)計涉及兩道客觀題和一道解答題，共22分；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)涉及兩道客觀題和一道解答題，共22分. 整份試卷很好地體現(xiàn)了高考重點知識重點考查、促進教學(xué)回歸課堂與教材、夯實學(xué)生成長的基礎(chǔ)功能.

例1 （第3題）已知向量[a=1，1，b=1，-1]，若[a+λb⊥a+μb]，則（??? ）.

（A）[λ+μ=1]???????????????? （B）[λ+μ=-1]

（C）[λμ=1]??????????????????? （D）[λμ=-1]

解法1：因為[a=1，1，b=1，-1]，

所以[a+λb=1+λ，1-λ]，[a+μb=1+μ，1-μ].

由[a+λb⊥a+μb]，得[a+λb ? a+μb=0]，

即[1+λ1+μ+1-λ1-μ=0].

整理，得[λμ=-1]．

故答案選D．

解法2：由[a+λb⊥a+μb]，得[a+λb ? a+μb=0，]

即[a2+λ+μa ? b+λμb2=0].

因為[a=b=2，a ? b=0]，

所以[λμ=-1].

故答案選D.

【評析】以向量的坐標計算為背景，考查向量的模及向量垂直問題. 解法1根據(jù)向量[a，b]的坐標，分別表示出向量[a+λb，] [a+μb]的坐標，把條件直譯為方程進行求解，體現(xiàn)通性通法；解法2根據(jù)已知條件得到關(guān)于[a， b，a ? b]的關(guān)系式，再利用向量[a，b]的坐標進行求解，該方法計算量稍小.

2. 真實情境，考查關(guān)鍵能力

試題中充分體現(xiàn)了創(chuàng)新問題的設(shè)計. 例如，第10題以噪聲污染問題為背景定義聲壓級，結(jié)合對數(shù)運算和不等式，旨在考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)學(xué)建模能力. 又如，第12題以正方體的內(nèi)接幾何體為背景，重點對學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力進行考查，尤其是選項C和選項D，可以聯(lián)想將簽字筆或月餅等實物放入正方體盒子中的生活情境，有利于考查學(xué)生的直觀想象能力. 再如，第21題以真實情境為背景考查概率統(tǒng)計和數(shù)列的相關(guān)知識，實現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力和運算求解能力的考查.

例2 （第12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：[m]）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（??? ）.

（A）直徑為[0.99 m]的球體

（B）所有棱長均為[1.4 m]的四面體

（C）底面直徑為[0.01 m]，高為[1.8 m]的圓柱體

（D）底面直徑為[1.2 m]，高為[0.01 m]的圓柱體

解：對于選項A，因為[0.99 m<1 m]，即球體的直徑小于正方體的棱長，所以球體能夠被整體放入正方體內(nèi)，故選項A正確.

對于選項B，因為正方體的面對角線長為[2 m]，且[2 m>1.4 m]，所以該四面體能夠被整體放入正方體內(nèi)，故選項B正確.

對于選項C，因為正方體的體對角線長為[3 m]，且[3 m<1.8 m]，所以該圓柱體不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故選項C錯誤.

對于選項D，因為[1.2 m>1 m]，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓. 如圖1，若底面直徑為[1.2 m]的圓柱與正方體的上、下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心為[O1]，與正方體的下底面的切點為[M]，可知[AC1⊥][O1M，O1M=0.6 m]，則[tan∠CAC1=CC1AC=O1MAO1]，即[12=][0.6AO1]，解得[AO1=0.62 m]. 則圓柱的高為[3-2×0.62≈]

[0.035 2>0.01]. 所以該圓柱能夠被整體放入正方體內(nèi).故選項D正確.

綜上所述，答案選ABD.

【評析】以正方體的內(nèi)接幾何體為背景，考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力. 選項A和選項B很容易確定. 對于選項C，柱體沿著正方體體對角線所在直線放置，容易確定選項C錯誤. 對于選項D，可以先看到圓柱體底面不能放在正方體底面正方形內(nèi)，沿用選項C的想法，可以判斷選項D正確. 對選項C和選項D的判斷可以聯(lián)想將簽字筆或月餅等實物放入正方體盒子中的生活情境，對學(xué)生的直觀想象能力進行了充分考查.

3. 突出理性，考查學(xué)科素養(yǎng)

理性思維在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中起著最本質(zhì)、最核心的作用. 試題突出地將關(guān)鍵能力與數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索、數(shù)學(xué)文化統(tǒng)一到理性思維的主線上，實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重點考查. 對邏輯推理素養(yǎng)的考查在大多數(shù)試題中都有體現(xiàn). 例如，第4題、第6題、第7題、第11題、第12題、第15題、第16題、第18題、第19題和第22題. 特別是第11題，以抽象函數(shù)為背景，重點考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，是學(xué)生綜合素養(yǎng)的體現(xiàn).

例3 （第11題）已知函數(shù)[fx]的定義域為R，[fxy=y2fx+x2fy]，則（??? ）．

（A）[f0=0]

（B）[f1=0]

（C）[fx]是偶函數(shù)

（D）[x=0]為[fx]的極小值點

解：由題意，知[fxy=y2fx+x2fy].

對于選項A，令[x=y=0]，得[f0=0f0+0f0=0，]故選項A正確.

對于選項B，令[x=y=1]，得[f1=1f1+1f1]，則[f1=0]，故選項B正確.

對于選項C，令[x=y=-1]，[f1=f-1+f-1=][2f-1]，則[f-1=0]. 令[y=-1]，得[f-x=fx+x2 ·]

[f-1=fx]. 因為函數(shù)[fx]的定義域為R，所以函數(shù)[fx]為偶函數(shù)，故選項C正確.

對于選項D，當[x2y2≠0]時，對[fxy=y2fx+][x2fy]兩邊同時除以[x2y2]，得到[fxyx2y2=fxx2+fyy2]. 故可以設(shè)[fxx2=lnx x≠0]，則[fx=x2lnx，x≠ 0，0，x=0.]

當[x>0]時，[fx=x2lnx]，則[fx=2xlnx+x2 ?][1x=x2lnx+1]. 令[fx<0]，得[00]，得[x>1e]；故[fx]在[0， 1e]上單調(diào)遞減，在[1e，+∞]上單調(diào)遞增. 因為[fx]為偶函數(shù)，所以[fx]在[-1e，0]上單調(diào)遞增，在[-∞，-1e]上單調(diào)遞減. 顯然，此時[x=0]是[fx]的極大值點，故選項D錯誤. 也可以令[fx=0]，顯然符合題設(shè)條件，此時[fx]無極值，故選項D錯誤.

綜上所述，答案選ABC.

【評析】利用賦值法能較容易確定選項A、選項B和選項C的正誤. 對于選項D，要注意到條件可以處理為[fxyx2y2=fxx2+fyy2，xy≠0]，其形式為[gxy=][gx+][gy]，該函數(shù)的基本原型為對數(shù)函數(shù). 由此可以構(gòu)造函數(shù)[fx=x2lnx，x≠ 0，0，x=0.] 而該題并沒有要求函數(shù)為非常函數(shù)，故直接令[fx=0]即可確定結(jié)果. 該題以學(xué)生熟悉的抽象函數(shù)為出發(fā)點命制，知識起點低，但對學(xué)生思維能力的要求逐漸提高.

4. 破除套路，強化靈活應(yīng)用

2023年全國新高考Ⅰ卷中部分試題對主干知識的考查改變了以往的命題形式或調(diào)整了考查順序，旨在引導(dǎo)師生改變原有認識，真正體現(xiàn)對學(xué)生“四基”的考查，突出“四能”. 例如，第8題的三角恒等變換、第19題的導(dǎo)數(shù)、第20題的數(shù)列均改變了考查順序. 另外，第20題對數(shù)列的考查以求和或與不等式結(jié)合的命題形式，圍繞等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，注重對式子的分析與處理，在考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的同時，考查學(xué)生的臨場應(yīng)變能力. 解答題第22題同樣打破了解析幾何試題求解的基本套路，需要通過放縮把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，再構(gòu)造函數(shù)求解，充分考查了學(xué)生對不同知識的靈活運用能力.

例4 （第20題）設(shè)等差數(shù)列[an]的公差為[d]，且[d>1]．令[bn=n2+nan]，記[Sn，Tn]分別為數(shù)列[an， bn]的前[n]項和．

（1）若[3a2=3a1+a3，S3+T3=21]，求[an]的通項公式；

（2）若[bn]為等差數(shù)列，且[S99-T99=99]，求[d]．

解：（1）因為[an]為等差數(shù)列， [3a2=3a1+a3]，

所以[3d=a1+2d]，解得[a1=d].

所以[S3=3a2=3a1+d=6d].

因為[T3=b1+b2+b3=2d+62d+123d=9d]，

所以[S3+T3=6d+9d=21]，即[2d2-7d+3=0].

解得[d=3]或[d=12]（舍去）.

所以[an=a1+n-1d=3n].

（2）因為[bn]為等差數(shù)列，

所以[2b2=b1+b3]，即[12a2=2a1+12a3].

所以[61a2-1a3=6da2a3=1a1]，

即[a21-3a1d+2d2=0].

解得[a1=d]或[a1=2d].

由[d>1]，得[an>0].

因為[S99-T99=99]，

所以由等差數(shù)列性質(zhì)知[99a50-99b50=99]，

即[a50-b50=1].

所以[a50-2 550a50=1]，即[a250-a50-2 550=0].

解得[a50=51]或[a50=-50]（舍去）.

當[a1=2d]時，[a50=a1+49d=51d=51]，

解得[d=1]，與[d>1]矛盾，無解；

當[a1=d]時，[a50=a1+49d=50d=51]，

解得[d=5150].

綜上所述，[d=5150].

【評析】第（1）小題，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可. 第（2）小題，由[bn]為等差數(shù)列，得[a1=d]或[a1=2d]. 再由等差數(shù)列的性質(zhì)，得[a50-b50=1]. 分類討論即可得解. 關(guān)鍵是對條件“[bn]為等差數(shù)列”進行轉(zhuǎn)化，最優(yōu)選擇是考慮前三項，再討論檢驗.

5. 服務(wù)選才，指向教考銜接

高考的核心功能是立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué). 加強教考銜接是高考命題改革的既定方針. 例如，第21題和第22題特別強調(diào)對學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)新能力的考查，與《教育部關(guān)于做好2023年普通高校招生工作的通知》中提到的“服務(wù)人才培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)代化建設(shè)人才選拔”的選拔要求高度契合. 試題堅持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重，對發(fā)揮科學(xué)選拔與育人導(dǎo)向功能有著積極的示范和引領(lǐng)作用，以考促學(xué)，為后期數(shù)學(xué)教學(xué)明確了努力的方向.

例5 （第22題）在直角坐標系[xOy]中，點[P]到[x]軸的距離等于點[P]到點[0， 12]的距離，記動點[P]的軌跡為[W]．

（1）求[W]的方程；

（2）已知矩形[ABCD]有三個頂點在[W]上，證明：矩形[ABCD]的周長大于[33]．

解：（1）設(shè)[Px，y]，則[y=x2+y-122].

兩邊平方并化簡，得[y=x2+14].

故[W]的方程為[y=x2+14].

（2）（方法1）設(shè)矩形的三個頂點[Aa，a2+14，][Bb，b2+14，Cc，c2+14]在[W]上，且[a

則[kABkBC=-1，a+b

令[kAB=b2+14-a2+14b-a=a+b=m<0].

同理，令[kBC=b+c=n>0]，且[mn=-1]，

則[m=-1n].

設(shè)矩形周長為[C]，由對稱性知[m≥n].

不妨設(shè)[0

則[12C=AB+BC=b-a1+m2+c-b1+n2≥][c-a1+n2=n+1n1+n2].

由[n>0]，易知[n+1n1+n2>0].

令[fx=x+1x21+x2，x∈0，1]，

得[fx=2x+1x22x-1x].

令[fx=0]，解得[x=22].

當[x∈0， 22]時，[fx<0]，此時[fx]單調(diào)遞減；

當[x∈22，1]時，[fx>0]，此時[fx]單調(diào)遞增.

則[fxmin=f22=274].

故[12C≥274=332]，即[C≥33].

由上可知，兩個等號成立的條件分別為[n=1]，[n=22]，顯然不成立.

故[C>33]，得證.

（方法2）不妨設(shè)點[A，B，D]在[W]上，且[BA⊥DA].

依題意，設(shè)[Aa，a2+14].

易知直線[BA]，[DA]的斜率均存在且不為0，

則設(shè)[BA]，[DA]的斜率分別為[k]和[-1k].

由對稱性，不妨設(shè)[k≤1].

直線[AB]的方程為[y=kx-a+a2+14]，

聯(lián)立方程，得[y=x2+14，y=kx-a+a2+14.]

整理，得[x2-kx+ka-a2=0].

因為判別式[Δ=k2-4ka-a2=k-2a2>0]，

所以[k≠2a].

所以[AB=1+k2k-2a].

同理，可得[AD=1+1k21k+2a].

故[AB+AD=1+k2k-2a+1+1k21k+2a]

[≥1+k2k-2a+1k+2a]

[≥1+k2k+1k]

[=1+k2k+1k].

令[x=k>0]，得[fx=x+1x21+x2，x>0].

下同方法1.

【評析】該題考查了拋物線和不等式的綜合應(yīng)用. 第（1）小題直譯條件，列出方程化簡即可，然而結(jié)果并非拋物線的標準方程. 第（2）小題求解的前半部分是對圓錐曲線的一般處理方式，方法1設(shè)點和方法2設(shè)直線的目的均是要把矩形的半周長表達出來. 再通過放縮，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題. 最后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值. 求解該小題最大的難點不在于對圓錐曲線的處理，而在于對放縮法的運用. 該題整體難度較大，鮮明地體現(xiàn)出高考的選拔性.

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 回歸教材，挖掘教材資源

教材永遠是最好的備考素材. 在當前的復(fù)習(xí)備考中，回歸教材很多時候僅停留在口頭上，行動上基本沒有實際舉措. 即使有回顧，大多數(shù)也是基于復(fù)習(xí)資料一帶而過. 學(xué)生長期困于復(fù)習(xí)資料和海量的題目中，甚至在高考復(fù)習(xí)期間也從未翻看過教材. 這些都是極其可怕的現(xiàn)象. 2023年全國新高考Ⅰ卷中有很多試題可以在教材中找到相關(guān)素材. 例如，第7題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，與人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）選擇性必修第二冊第25頁習(xí)題的第7題幾乎一致；第8題考查三角恒等變換，與人教A版教材必修第一冊第229頁習(xí)題第9題的題干條件相似，均是兩角差正弦公式的直接展開，結(jié)合方程思想來處理；第21題的第（2）小題考查了概率和數(shù)列的交會問題（馬爾科夫模型），而在人教A版教材選擇性必修第二冊第39頁的例12中有過類似的研究，這是典型的對學(xué)生知識遷移能力的考查. 總之，高考復(fù)習(xí)備考中，師生不能忽視教材，更不能拋棄教材，需要認真研究教材中基于情境設(shè)置的例題和課后習(xí)題，當然也要特別重視對教材中“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”材料的運用，甚至可以組織備課組教師對教材上的相應(yīng)資源進行有效整合、合理改編，生成課堂復(fù)習(xí)素材和課后訓(xùn)練主材，以提升復(fù)習(xí)備考效率.

2. 有效引導(dǎo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

在高考復(fù)習(xí)備考過程中，師生要把思想與方法訓(xùn)練放在首位，把核心素養(yǎng)的落實謹記于心. 對于高考試題，師生要加強研究，明確問題導(dǎo)向，避免盲目刷題、機械應(yīng)試，以增強復(fù)習(xí)備考的效率. 死記公式和機械訓(xùn)練只能實現(xiàn)簡單模仿，不能做到舉一反三. 缺乏理解和運用能力的非創(chuàng)新性人才培養(yǎng)并不是教育的最終目的. 要想真正提高學(xué)生解決問題的水平，教與學(xué)必須做出積極調(diào)整，即加強對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練. 要想擁有創(chuàng)新性思維方式，學(xué)生不僅要真正掌握基礎(chǔ)知識，還要有靈活運用知識解決問題的能力. 事實上，學(xué)生通過自身較難進行行為調(diào)整，此時教師的引導(dǎo)作用就顯得意義重大. 對于復(fù)習(xí)教學(xué)工作，首先，教師要能轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，認識到思維的培養(yǎng)需要學(xué)生的親身體驗，需要教師強化教學(xué)活動的設(shè)計和引領(lǐng). 其次，在課堂中，教師要積極調(diào)整傳統(tǒng)的教學(xué)行為，從原有的填鴨式教育，滿堂灌、一言堂的授課方式，轉(zhuǎn)變?yōu)楹献魇健⑻骄渴胶腕w驗式的課堂教學(xué). 最后，還需要教師充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，把課堂還給學(xué)生，讓真實、有效的生生對話、師生對話時常發(fā)生在課堂中，讓學(xué)習(xí)在課堂中真正發(fā)生，切實提升學(xué)生思維的深度和廣度. 雖然學(xué)生的數(shù)學(xué)思維存在差異，但是教師的有效引導(dǎo)對改善和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)必然可以發(fā)揮積極的作用，需要教師長期堅持.

3. 強化發(fā)展，提升創(chuàng)新能力

2023年全國新高考Ⅰ卷特別融入創(chuàng)新試題的考查，對學(xué)生分析問題、解決問題的能力要求很高. 例如，第20題區(qū)別于以往的數(shù)列試題，是僅基于等差數(shù)列基本概念命制的創(chuàng)新題. 所謂創(chuàng)新試題，雖然在試題呈現(xiàn)方式或設(shè)問角度方面比較新穎，但是其考查的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想不變，即“萬變不離其宗”，只要抓住問題的本質(zhì)，面對創(chuàng)新試題也能做到游刃有余. 在教學(xué)過程中，教師不僅要強化對學(xué)生“四基”的培養(yǎng)，還要提升學(xué)生的遷移類比能力. 同時，教師要不斷強化對學(xué)生的學(xué)法指導(dǎo)，從學(xué)生學(xué)情出發(fā)，增強指導(dǎo)的具體性、可操作性和有效性，幫助學(xué)生調(diào)適好心態(tài)，以積極的態(tài)度、務(wù)實的舉措、科學(xué)的方法學(xué)好每節(jié)課，完成每次訓(xùn)練.

參考文獻：

［1］教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］教育部考試中心. 創(chuàng)設(shè)情境發(fā)揮育人作用? 深化基礎(chǔ)考查核心素養(yǎng)：2022年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析［J］. 中國考試，2022（7）：14-19.