一類k-體分劃下基于量子熵的量子關(guān)聯(lián)測度

李俊青,黃 麗,王銀珠,馬瑞芬

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院 太原 030024)

量子關(guān)聯(lián)作為量子力學(xué)的奇特資源已被廣泛應(yīng)用在很多方面,通過對(duì)量子關(guān)聯(lián)的研究,能更清楚的刻畫蘊(yùn)含在量子態(tài)之間的非經(jīng)典關(guān)聯(lián)特性以及刻畫復(fù)合量子系統(tǒng)各子系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)程度,糾纏作為最早被發(fā)現(xiàn)的一種關(guān)聯(lián),已被廣泛的應(yīng)用到量子信息與量子計(jì)算的各個(gè)方面,目前,關(guān)于量子糾纏測度的研究,已經(jīng)有了很多重要的結(jié)果,例如Concurrence糾纏測度[1],形成糾纏測度[2],Schmidt數(shù)糾纏測度[3],相對(duì)熵糾纏測度[4]等。但量子關(guān)聯(lián)遠(yuǎn)不止糾纏,研究表明可分態(tài)中也存在某種量子關(guān)聯(lián)性,目前已有許多有價(jià)值的量子關(guān)聯(lián)測度[5-11],比如累積關(guān)聯(lián)測度[12]、量子失協(xié)關(guān)聯(lián)測度[13]、測量導(dǎo)出的非局域性[14]等。

本文給出了一類k-體分劃下基于量子一致(q,s)熵的量子關(guān)聯(lián)測度,證明了其滿足量子關(guān)聯(lián)測度的一些性質(zhì)。Tsallis熵作為量子一致(q,s)熵的一個(gè)特例,最后給出了k-體分劃下基于Tsallis熵的量子關(guān)聯(lián)測度。

1 基本定義及主要結(jié)果

設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimH<+∞,其中Hi是第i個(gè)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Hilbert空間,S(H)表示H中所有量子態(tài)組成的集合。

ΠA(ρ)=

如果ΠA(ρ)=ρ,則稱ρ為k經(jīng)典態(tài),進(jìn)而ρ可以被表示為:

其中{pi1,i2,…,ik}是概率分布。

在文獻(xiàn)[19]中,作者基于量子一致(q,s)熵,提出了局部秩一投影測量誘導(dǎo)的量子關(guān)聯(lián)測度,其中量子一致(q,s)熵定義如下:

S(q,s)(ρ)=

考慮兩體復(fù)合量子系統(tǒng)H=HA?HB,dimH<+∞,ΠK表示兩體復(fù)合量子系統(tǒng)H=HA?HB上的秩一正交投影組成的完備的投影測量,ρ基于一致(q,s)熵測量誘導(dǎo)的量子關(guān)聯(lián)測度定義為:

K={A,B,AB}.

基于兩體的情況,作者給出了多體情況下ρ基于一致(q,s)熵測量誘導(dǎo)的量子關(guān)聯(lián)測度定義,Ω為{1,2,3,…,m}所有非空子集。ΠΩ表示對(duì)應(yīng)Ω系統(tǒng)上的秩一正交投影組成的完備的投影測量,多體情況下ρ基于一致(q,s)熵測量誘導(dǎo)的量子關(guān)聯(lián)測度定義為:

在了解了兩體和多體的基于一致(q,s)-熵測量誘導(dǎo)的量子關(guān)聯(lián)測度,接下來給出k-體分劃下基于量子一致(q,s)熵的量子關(guān)聯(lián)測度。

定義3設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,設(shè)ρ∈S(H),則ρ在k-體分劃下基于量子一致(q,s)熵的量子關(guān)聯(lián)測度定義為:

接下來證明上述定義的量子關(guān)聯(lián)測度滿足非負(fù)性,酉不變性,系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時(shí)測度保持不變。

證明定理1之前首先引用以下引理。

當(dāng)且僅當(dāng)ρ=ρ′時(shí)取等號(hào)。

定理1證明:已知測度為:

所以ρ是k-經(jīng)典態(tài)。

定理2(酉不變性) 設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,i=1,2,…,m,ρ∈S(H),U=U1?U2?…?Um,Ui為Hi上的酉算子,則:

證明：

定理3(系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時(shí)測度保持不變) 設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,i=1,2,…,m,ρ∈S(H),設(shè)H′為局部非相干輔助子系統(tǒng),S(H′)表示H′中所有量子態(tài)組成的集合,ρE∈S(H′),有:

在文獻(xiàn)[19]中作者提出,當(dāng)量子一致(q,s)熵中的s=1時(shí),即變?yōu)門sallis熵,記為:

另外,文獻(xiàn)[20-21]中給出了Tsallis熵的性質(zhì):

(1)Tsallis熵是非負(fù)的,Sq(ρ)≥0;

(3)Tsallis熵對(duì)任意的酉算子U,有Sq(UρU?)=Sq(ρ).

多體量子態(tài)基于Tsallis熵的量子關(guān)聯(lián)測度的定義如下。

定義4對(duì)任意多體量子復(fù)合系統(tǒng)H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,i=1,2…m,ρ∈S(H),記

Ω為{1,2,3,…,m}所有非空子集,稱Qq(ρ)為量子態(tài)ρ的基于Tsallis熵的量子關(guān)聯(lián)測度。

多體量子復(fù)合系統(tǒng)中基于Tsallis熵的量子關(guān)聯(lián)測度滿足非負(fù)性,酉不變性,系統(tǒng)添加局部非相干輔助子系統(tǒng)時(shí)測度保持不變。接下來給出k-體分劃相對(duì)于Tsallis熵的的量子關(guān)聯(lián)度。

定義5設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,ρ∈S(H),則ρ在k-體分劃下相對(duì)于Tsallis熵的量子關(guān)聯(lián)度定義為:

2 結(jié)論