非絕對型Henstock 積分與Riemann－Stieltjes 積分之關(guān)系

李 偉

( 集美大學 理學院，福建 廈門361021)

繼Riemann 積分［1］(簡稱R－積分)之后，1902 年在測度論［2］的基礎上建立了Lebesgue 積分［3］(簡稱L－積分)，它推廣了R－積分但不是R－積分的全部推廣，比如廣義R－可積不一定是L－可積，從空間完備化觀點看，L－積分不過是C［a，b］(連續(xù)函數(shù)類)中函數(shù)R－積分的一種完備化擴張［4］．可見L－積分具有一定的局限性．因此，人們一直試圖尋找一種新的積分．直到1957－1958 年，J．kurzweil 和R．Henstock 分別獨立建立了一種完全Riemann 型的積分，稱為Kurzweil－Henstock 積分［5］(簡稱KH－積分，也簡稱H－積分)．H－積分的本質(zhì)是“非絕對型”的，因此，有時也稱之為非絕對型積分．它既推廣了L－積分，又包括了Newton 積分［6］和反常R－積分．此外，與有界變差函數(shù)類聯(lián)系起來的有一類Riemann－Stieltjes 積分［3］(簡稱RS－積分)與H－積分又有什么關(guān)系呢?本文就H－積分與RS－積分之間的關(guān)系進行研究．首先給出δ(x)精細分劃［7］的定義，然后引進區(qū)間［a，b］上的H－積分．利用Henstock 引理，給出Henstock 積分與Riemann－Stieltjes 積分之間的關(guān)系定理，并給予簡捷證明．由此得到一推論，即定理3．

1 預備知識

定義1［7］設δ(x)為區(qū)間［a，b］上的正值函數(shù)，對區(qū)間［a，b］任作分劃:

滿足:ξi－δ(ξi)＜xi－1≤ξi≤xi＜ξi+δ(ξi)，i=1，2，…，n;即ξi∈［xi－1，xi］?(ξi－δ(ξi)，ξi+δ(ξi))，i=1，2，…，n．該分劃D稱之為δ(x)精細分劃［6］．

定義2［5］實函數(shù)f(x)稱為在區(qū)間［a，b］上Henstock 可積的，其積分值為A，如果?ε＞0，?實函數(shù)δ(x)＞0，對區(qū)間［a，b］上任作δ(x)精細分劃D:

其中［u，v］為分劃D中典型區(qū)間，滿足:ξ－δ(ξ)＜u≤ξ≤v＜ξ+δ(ξ)，

則稱f(x)在［a，b］上Henstock 可積［4］，記其積分為

定義3［8］設f(x)是［a，b］上的有限函數(shù)，在［a，b］上任取一組分點:

稱之為f(x)對分點組x0，x1，…，xn的變差．

如果存在常數(shù)M，使，則稱f(x)在［a，b］上的有界變差函數(shù)，并記:

區(qū)間［a，b］上的有界變差函數(shù)全體記為V［a，b］，f(x)為［a，b］上有界變差函數(shù)，簡記為f(x)∈V［a，b］．

定義4［9］設f(x)、g(x)為［a，b］上兩有限函數(shù)，在［a，b］任作分劃:

具有有限極限I，即:

則稱f(x)關(guān)于g(x)在［a，b］上是Riemann－Stieltjes 可積的［3］(簡稱RS－可積)，而RS－積分值為I，記為:

特別的，當g(x)≡x時，RS－積分就是R－積分了．

2 定理及其推廣

引理1(Henstock 引理)［10］若f(x)在［a，b］上Henstock 可積，且有原函數(shù)F(x)，即:

則?ε＞0，?δ(x)＞0，使得對［a，b］上的任何δ(x)精細子分劃，即:

且ξi∈［ai，bi］?(ξi－δ(ξi)，ξi+δ(ξi))．(注意:所謂精細子分劃是不要求［a，b］=∪［ai，bi］的精細分劃)有:

證明 由于f(x)在［a，b］上(H)可積，故?ε＞0，在［a，b］上有δ(x)＞0，凡δ(x)精細分劃所對應的積分和，有:

［ai，bi］與ξi已經(jīng)是δ(x)的精細子分劃．再考慮以外的分劃．

這樣，每個Ji上的δi(x)精細分劃，與ai，bi;ξi(i=1，2，…，n)構(gòu)成［a，b］上的δ(x)精細分劃．從而:

定理2 設函數(shù)g(x)在［a，b］上為有界變差函數(shù)，即g(x)∈V［a，b］，而F(x)為［a，b］上Henstock 可積函數(shù)f(x)的原函數(shù)，則:

證明 因為g(x)∈V［a，b］，又可知F在［［a，b］上連續(xù)，故右邊積分存在．由RS積分定義，?ε＞0，?η＞0，當ξ∈［u，v］?(ξ－η，ξ+η)時，有:

又因為f是H可積的，故?δ(ξ)＞0，對所有的δ－精細分劃，有:

由Henstock 引理，從而:

取0＜δ(ξ)≤min{δ(ξ)，η}，則對所有的δ－精細分劃，有:

證畢．

由此可得下述分部積分公式．

定理3 若F(x)是f(x)在［a，b］上的H－原函數(shù)，g(x)是［a，b］上有界變差函數(shù)(即g(x)∈V［a，b］)，則:

［1］ 華東師范大學數(shù)學系．數(shù)學分析［M］．4 版．北京:高等教育出版社，2010:201－203．

［2］ Donald L Cohn． Measure Theory［M］．The world book publishing company，2012:75－78．

［3］ 江澤堅，吳智泉．實變函數(shù)論［M］．3 版．北京:高等教育出版社，2010:59－75．

［4］ 李忠寧．關(guān)于R 可積函數(shù)空間的完備化［J］．河西學院學報，2010，26(5);14－18．

［5］ Henstock R．Lectures on the theory integration［M］．Singapore:World Scientific，1988:15－16．

［6］ 同濟大學數(shù)學系．高等數(shù)學［M］．6 版．北京:高等教育出版社，2012:239－240．

［7］ 丁傳松，李秉彝．廣義黎曼積分［M］．北京:科學出版社，1989:5－8．

［8］ 包淑華．基于有界變差函數(shù)的研究［J］．廊坊師范學院學報:自然科學版，2011，11(2);16－18．

［9］ 王晟．Riemann－Stieltjes 可積的充要條件［M］．北京師范大學學報:自然科學版，2011，47(2):126－128．

［10］ Lee Peng Yee．Lanzhou Lectures on Henstock Integration［M］．Singapore:World Scientific，1989:15－28．