多體非完全經(jīng)典態(tài)的基于Affinity的關(guān)聯(lián)測度

閆棟華,王銀珠

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,太原 030024)

在量子資源理論中,量子關(guān)聯(lián)作為一種必要的物理資源已被廣泛應(yīng)用于量子計算的各個方面[1-8]。研究發(fā)現(xiàn)糾纏并不是唯一的量子關(guān)聯(lián),在復(fù)合量子系統(tǒng)中存在諸多形式的量子關(guān)聯(lián),包括量子失諧[9-11]、測量誘導(dǎo)的非局域性[12-14]、貝爾非局域性[15]、量子導(dǎo)引[16]等。深入刻畫蘊含在量子態(tài)中的關(guān)聯(lián)程度無疑具有一定的理論與實際意義。

(1)

Affinity具有如下性質(zhì)[17-18]:

(1)(非負(fù)性) 0≤A(ρ,σ)≤1,且A(ρ,σ)=1當(dāng)且僅當(dāng)ρ=σ.

(2)(酉不變性) 對任意酉算子U,有A(UρU+,UσU+)=A(ρ,σ).

(3)(單調(diào)性) 設(shè)Λ為完全正的保跡線性映射,則A(Λ(ρ),Λ(σ))≥A(ρ,σ).

最近,Muthuganesan.R和Chandrasekar.V K基于Affinity提出了兩體量子態(tài)的測量誘導(dǎo)的非定域性[19],其定義為:

(2)

受此啟發(fā),本文主要考慮多體復(fù)合量子系統(tǒng),給出了多體量子態(tài)基于Affinity的量子關(guān)聯(lián)測度,其可以識別多體非完全經(jīng)典態(tài),并證明了該關(guān)聯(lián)測度滿足量子關(guān)聯(lián)度的必要性質(zhì)。

1 基本定義與主要結(jié)果

本文主要討論多體復(fù)合量子系統(tǒng),設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimH=d<+∞,H中所有完全經(jīng)典態(tài)組成的集合記為SF-C(H).下面首先給出如下定義。

定義1設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi=di<+∞,ρ∈S(H),令

(3)

接下來證明基于Affinity的量子關(guān)聯(lián)度是定義良好的,即其滿足關(guān)聯(lián)測度必要的一些物理性質(zhì)。

定理1設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi=di<+∞,ρ∈S(H),則CA(ρ)≥0且CA(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ∈SF-C(H).

證明由CA(ρ)的定義,其非負(fù)性顯然。

另外,若CA(ρ)=0,則存在,使得根據(jù)文獻(xiàn)=1?ρ=σ,可得ρ=(ρ),即故ρ∈SF-C(H).反之,如果ρ∈SF-C(H),顯然有CA(ρ)=0.

定理2設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi=di<+∞,ρ∈S(H),令U=U1?U2?…?Um,Ui∈Hi為Hi上的酉算子,則CA(UρU+)=CA(ρ).

證明根據(jù)文獻(xiàn)[17],酉變換不改變量子態(tài)間的Affinity,即

A(UρU+,UσU+)=A(ρ,σ),

故

CA(UρU+)=CA(ρ).

定理3設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi=di<+∞,ρ∈S(H),Λ表示一個完全正保跡線性映射(CPTP),則CA(Λ(ρ))≤CA(ρ).

證明根據(jù)文獻(xiàn)[18],在CPTP映射Λ下,A(ρ,σ)是單調(diào)的,即A(Λ(ρ),Λ(σ))≥A(ρ,σ).

從而

A(Λ(ρ),[Λ(ρ)])≥A(ρ,(ρ)),

故

由CA(ρ)的定義,顯然有

CA(Λ(ρ))≤CA(ρ).

定理4設(shè)H=H1?H2?…?Hm,dimHi=di<+∞,ρ∈S(H),則CA(ρ)相對于輸入態(tài)是凸的,即

這里顯然有

A(∑ipiρi,(∑ipiσi)≥∑ipiA(ρi,(ρi)),

而

證明由定義得出:

2 結(jié)論

本文定義了一個新的關(guān)聯(lián)測度——多體量子態(tài)基于Affinity的關(guān)聯(lián)測度,并證明了其具有非負(fù)性、酉不變性、凸性、單調(diào)性以及連續(xù)性。該關(guān)聯(lián)測度可以用來探測給定量子態(tài)是否為完全經(jīng)典態(tài),對進一步識別量子態(tài)具有一定的理論意義。