一般三棱鏡最小偏向角的實驗條件

俞軼帆，顧菊觀，周天佑，曹炳松

一般三棱鏡最小偏向角的實驗條件

俞軼帆，顧菊觀，周天佑，曹炳松

（湖州師范學院 理學院，浙江 湖州 313000）

基于數(shù)學分析中求極值方法和導數(shù)性質(zhì)，研究推導得到了一般三棱鏡最小偏向角的條件，清楚地說明了偏向角最小時對應的條件與入射角、折射率和棱鏡頂角的關系．應用Matlab得到關系曲線，從曲線得到一次導數(shù)為0對應的入射角、最小偏向角和二次導數(shù)的大小，同時給出了最小入射角對應的偏向角，對應折射率的棱鏡最大頂角．應用Visio精準繪出了給定條件下的光線軌跡，從軌跡圖中得到偏向角與相關條件的關系．研究結果表明，偏向角最小時對應的入射角與棱鏡頂角、折射率有關，為實驗或研究中要得到文獻定義的偏向角和最小偏向角選擇棱鏡頂角、折射率參數(shù)提供理論依據(jù)，解決了教學和學習過程對于最小偏向角條件的理論分析困惑．

一般三棱鏡；偏向角；最小偏向角；最小入射角；最大頂角

1 一般三棱鏡的偏向角

圖1 一般三棱鏡光路示意圖

應用幾何關系和折射定律[10]75得到偏向角與入射角、棱鏡頂角、棱鏡折射率和兩側折射率的關系式為

2 一般三棱鏡的最小入射角和棱鏡最大頂角

式（3）說明最小入射角與折射率、棱鏡頂角有關．式（4）說明最大棱鏡頂角只與折射率有關，與入射角無關．關于最小入射角與折射率、頂角的關系另文研究．

3 一般三棱鏡最小偏向角的條件

3.1 偏向角一次導數(shù)

式（1）對入射角求導得偏向角的一次導數(shù)

式（6）（7）對入射角求導化簡得

由式（8）～（10）得

式（11）代入式（5）得

圖2 一次導數(shù)與入射角的關系曲線

3.2 偏向角二次導數(shù)（對應一次導數(shù)不為0）

由式（8）（10）（11）代入式（13），應用折射定律經(jīng)計算和化簡最后得

圖3 二次導數(shù)與入射角的關系曲線

3.3 偏向角二次導數(shù)（對應一次導數(shù)為0）

式（15）中的第3個式子代入式（14），由折射定律式（6）化簡得

3.4 最小偏向角

由折射定律、三角函數(shù)關系和式（15）得最小偏向角時對應的折射角[11]28

式（19）代入式（1）得最小偏向角[11]29

4 影響一般三棱鏡最小偏向角條件的因素

由式（15）一次導數(shù)為0 的條件為

給定棱鏡折射率和棱鏡頂角，式（23）是超越方程，沒有解析解，應用圖解法很容易解出對應最小偏向角時的入射角．將式（23）改為

其中

4.1 棱鏡和兩側折射率給定，棱鏡頂角改變

圖4 折射率給定，棱鏡頂角時與入射角的關系曲線及光線軌跡

圖5 棱鏡頂角、折射率改變時，與入射角的關系曲線

圖6 折射率給定，棱鏡頂角時的光線軌跡

4.2 棱鏡頂角給定，棱鏡折射率和兩側折射率改變

圖7 棱鏡頂角給定（）棱鏡和兩側折射率改變，與入射角的關系曲線

5 結語

從數(shù)學分析中的函數(shù)極值和導數(shù)性質(zhì)出發(fā)，研究推導得到了偏向角對入射角的一次導數(shù)和二次導數(shù)函數(shù)，一次導數(shù)為0 時的二次導數(shù)函數(shù)，一般三棱鏡偏向角最小時入射角滿足的條件．理論上分析得到了一次導數(shù)為0 時入射角大于最小入射角時二次導數(shù)大于0，說明對應的入射角所對應的偏向角是最小偏向角且只有一個值．最小偏向角條件對應的是超越方程，應用Matlab通過圖解法求解超越方程，得到最小偏向角時對應的入射角．應用Matlab得到一次導數(shù)、二次導數(shù)、一次導數(shù)為0的二次導數(shù)與入射角的關系曲線，從三個曲線關系得到一次導數(shù)在入射角大于最小入射角情況下只有一個入射角處的一次導數(shù)為0，且此處的二次導數(shù)的值大于0，此入射角對應的偏向角為最小偏向角，理論與曲線分析相一致．同時，在曲線關系圖中給出了計算得到的最小入射角對應的偏向角，對應折射率的棱鏡最大頂角等值．應用Visio和折射定律精準給出了給定條件下的光線軌跡，從軌跡圖中得到入射角、折射率、棱鏡頂角給定情況下的偏向角、出射光線的情況，其結果與理論分析相一致．研究結果表明，偏向角最小時對應的入射角與棱鏡頂角、折射率有關，為選擇實驗中棱鏡頂角、折射率參數(shù)提供理論依據(jù)，解決了教學和學習過程對于最小偏向角條件理解的困惑，拓展和加深了對三棱鏡的認識和應用條件的理解．

[1] 姚啟鈞．光學教程[M]．6版．北京：高等教育出版社，2019：115-117，145-146．

[2] 王雁冰．不同頂角及折射率對三棱鏡最小偏向角的影響[J]．陰山學刊，2007，21（4）：47-49．

[3] 羅樂何，于江．由拉格朗日中值定理推導三棱鏡的最小偏向角[J]．物理通報，1997（4）：5-6．

[4] 弓斌耀，趙玉懷．最小偏向角條件的幾何證明[J]．榆林高等?？茖W校學報，1999，9（2）：34-35．

[5] 顧菊觀，錢惠國，陸靜珠．三棱鏡最小入射角的理論和實驗研究[J]．應用光學，2003，24（6）：9-10，26．

[6] 顧菊觀．三棱鏡偏向角與棱鏡頂角的關系[J]．物理與工程，2010（4）：22-23．

[7] 王夢影，顧菊觀，徐海斌．一般三棱鏡最大頂角與折射率關系探討[J]．湖州師范學院學報，2022，44（4）：34-39．

[8] 沈鑫惠，錢淑珍，顧菊觀．三棱鏡折射率和入射角測量的拓展[J]．物理通報，2014（6）：85-88．

[9] 錢惠國，陸靜珠，顧菊觀．三棱鏡實驗中入射點問題的討論[J]．應用光學，2005，26（2）：54-56．

[10] 顧菊觀，王夢影，徐海斌，等．探討一般三棱鏡偏向角與棱鏡頂角的關系[J]．廣西物理，2022，43（2）：74-83．

[11] 王夢影，顧菊觀，徐海斌，等．一般三棱鏡偏向角與入射角的關系[J]．湖州師范學院學報，2023，45（8）：26-33．

Experimental conditions of the minimum deflection angle of a general prism

YU Yifan，GU Juguan，ZHOU Tianyou，CAO Bingsong

（School of Science，Huzhou University，Huzhou 313000，China）

Based on the extreme value method and derivative property in mathematical analysis，the conditions for the minimum deflection angle of a general triangular prism are studied and derived，and the relationship between the conditions corresponding to the minimum deflection angle and the incidence angle，refractive index and the top angle of the prism is clearly explained．The relation curve is obtained by using Matlab．The size of the incident angle，the minimum angle of deflection and the second derivative corresponding to the first derivative of 0 are obtained from the curve．At the same time，the angle of deflection corresponding to the minimum incident angle and the maximum vertex angle of the prism corresponding to the refractive index are given．The ray trace under given conditions is accurately drawn by Visio，and the relationship between deflection angle and relevant conditions is obtained from the trace diagram．The research results show that the incident angle corresponding to the minimum deflection angle is related to the top angle and refractive index of the prism，which provides a theoretical basis for selecting the top angle and refractive index parameters of the prism to obtain the deflection angle and the minimum deflection angle defined in the literature in experiments or research，solves the theoretical analysis confusion of the minimum deflection angle condition in the teaching and learning process．

general prism；deflection angle；minimum deflection angle；minimum incidence angle；maximum vertex angle

O435.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.011

1007-9831（2024）01-0056-09

2023-08-14

國家自然科學基金項目（12047568）

俞軼帆（2001-），男，浙江湖州人，在讀本科生．E-mail：1922179972@qq.com

顧菊觀（1963-），男，浙江平湖人，教授，從事激光光學、大學光學研究．E-mail：gjg@zjhu.edu.cn