以幾何直觀(guān)視角指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)踐研究

作者簡(jiǎn)介：潘愛(ài)華，浙江省杭州市臨平區(qū)育才實(shí)驗(yàn)小學(xué)一級(jí)教師。

摘要：培養(yǎng)幾何直觀(guān)指的是教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題，化抽象為形象，把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀(guān)，教師可以從以下三個(gè)方面入手：一是設(shè)計(jì)分層點(diǎn)，豐富策略促發(fā)展；二是強(qiáng)化訓(xùn)練點(diǎn)，多元體悟圖意；三是注重巧妙轉(zhuǎn)化，發(fā)展數(shù)學(xué)思想。

關(guān)鍵詞：幾何直觀(guān)；直觀(guān)表征；數(shù)形結(jié)合；解決問(wèn)題

幾何直觀(guān)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱(chēng)“新課標(biāo)”）中提出的一個(gè)核心詞。學(xué)生借助幾何直觀(guān)，有助于建立形與數(shù)的聯(lián)系，分析問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路。幾何直觀(guān)并不局限在幾何領(lǐng)域，而是在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都起到了重要的作用。幾何直觀(guān)的培養(yǎng)是一個(gè)從具體到抽象，由實(shí)物到表象的漫長(zhǎng)過(guò)程，從直觀(guān)角度來(lái)看，可以分為三個(gè)維度：一是實(shí)物直觀(guān)，指的是實(shí)物層面的幾何直觀(guān)，學(xué)生借助數(shù)與物之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行具體、形象的思考，獲得對(duì)數(shù)的進(jìn)一步理解。二是符號(hào)直觀(guān)，指的是在實(shí)物直觀(guān)的基礎(chǔ)上再進(jìn)一步抽象形成的直觀(guān)。三是圖表直觀(guān)，指的是以明確運(yùn)用圖表為載體的幾何直觀(guān)。比如，在遇到比較多的點(diǎn)連成線(xiàn)段時(shí)，學(xué)生往往容易遺漏，教師在教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)他們化繁為簡(jiǎn)，找到規(guī)律來(lái)解決此類(lèi)問(wèn)題?；诖耍P者開(kāi)展了以幾何直觀(guān)視角指導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的實(shí)踐研究。

一、設(shè)計(jì)分層點(diǎn)，豐富策略促發(fā)展

（一）模仿解決，理解歸一，夯實(shí)基礎(chǔ)

【案例1】嘗試用畫(huà)圖的方式整理數(shù)學(xué)信息并解決問(wèn)題。

李紅買(mǎi)3本錯(cuò)題本花了15元，買(mǎi)7本這樣的錯(cuò)題本需要多少錢(qián)？

考慮到學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)歸一問(wèn)題，教師此時(shí)可以先模仿例題設(shè)計(jì)相關(guān)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生借助畫(huà)圖分析問(wèn)題，理解歸一問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，獲得解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

（二）延伸比較，求同存異，凸顯本質(zhì)

【案例2】先解決問(wèn)題，再比較異同。

1.一本書(shū)李華4天看了12頁(yè)，照這樣的速度，他10天可以看多少頁(yè)？

2.一本書(shū)李華4天看了12頁(yè)，照這樣的速度，90頁(yè)他需要看多少天？

這一層次的練習(xí)不僅需要解決問(wèn)題，更重要的是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)異同，認(rèn)識(shí)到：不變的是先求每天看的頁(yè)數(shù)，變的是第1題求10天看的頁(yè)數(shù)，應(yīng)該用乘法解決；第二題求90頁(yè)看了幾天，應(yīng)該用除法解決。這樣，教師可以幫助學(xué)生建立含有歸一數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的模型，從而幫助學(xué)生掌握正確的解決問(wèn)題的方法。

（三）拓展提升，豐富策略，促進(jìn)發(fā)展

【案例3】你能用不同的方法解決下面這些問(wèn)題嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?/p>

如圖1，如果陰影部分表示20，那么長(zhǎng)方形表示多少？

如表1，王叔叔每天生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)相同，那么，他8天生產(chǎn)多少零件？

以數(shù)形結(jié)合的方式呈現(xiàn)含有歸一數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是有挑戰(zhàn)性的，他們先要讀懂圖意，再根據(jù)圖意分析、理解數(shù)量關(guān)系，最后用不同的方法解決問(wèn)題，體現(xiàn)策略的多樣化。這樣分層化的練習(xí)，使不同層次學(xué)生的思維都得到發(fā)展。

二、強(qiáng)化訓(xùn)練點(diǎn)，多元體悟圖意

運(yùn)用畫(huà)圖策略解題時(shí)，需要教師采用多種方式精心組織學(xué)生訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生置身于具體的學(xué)習(xí)素材中，通過(guò)多種形式體悟圖意，逐步養(yǎng)成“心中有圖、見(jiàn)題想圖”的思維習(xí)慣。

（一）結(jié)構(gòu)化圖式

1.一題結(jié)構(gòu)多圖

教師可以引導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)問(wèn)題用多個(gè)圖來(lái)表征，找出相同點(diǎn)，進(jìn)行深入思考，在此過(guò)程中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)特征。教學(xué)中常用的示意圖有點(diǎn)子圖、積木圖小立方體圖、小棒圖、方格圖、計(jì)數(shù)器圖、算盤(pán)圖、靶子圖、人民幣圖，等等。

【案例4】 “千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段

請(qǐng)你用不同的圖來(lái)表示235。

討論：對(duì)比這幾種方法，說(shuō)一說(shuō)它們之間的聯(lián)系。

以上5種圖，雖然種類(lèi)不一樣，但是表示的數(shù)都是235。教師通過(guò)不同的圖讓學(xué)生體驗(yàn)到235是由2個(gè)百、3個(gè)十和5個(gè)一組成的這一本質(zhì)特征，清晰地了解了計(jì)數(shù)單位一、十、百……的優(yōu)點(diǎn)；幫助學(xué)生將計(jì)數(shù)單位與具體的形狀聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生在頭腦中形成數(shù)的概念，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升，為后續(xù)學(xué)習(xí)大數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)。

2.多題結(jié)構(gòu)一圖

教師可以對(duì)數(shù)量關(guān)系相同的問(wèn)題進(jìn)行結(jié)構(gòu)化，引導(dǎo)學(xué)生把同一類(lèi)問(wèn)題整合到一幅圖中加以思考，理解這類(lèi)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，找到解決方法。

【案例5】“倍”教學(xué)片段

一本筆記本6元，4本筆記本多少元？一個(gè)小組8人，4個(gè)小組多少人？文具盒25元，書(shū)包的價(jià)格是文具盒的4倍。書(shū)包的價(jià)格是多少元？4個(gè)9是多少？請(qǐng)用圖表示以上問(wèn)題。

學(xué)生畫(huà)出各種各樣含有4倍關(guān)系的圖，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，這四個(gè)問(wèn)題可以用同一幅圖來(lái)表示?！安徽摂?shù)據(jù)的大小和線(xiàn)段的長(zhǎng)短，只要兩個(gè)量具有4倍關(guān)系”這一本質(zhì)特征，為學(xué)生構(gòu)建了倍數(shù)關(guān)系的直觀(guān)模型。

（二）分層化圖式

學(xué)生解決問(wèn)題是一個(gè)主動(dòng)的、復(fù)雜的認(rèn)識(shí)過(guò)程，也是從具體到抽象的過(guò)程。為此，在畫(huà)圖過(guò)程中，教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生把信息分層圖示化，厘清數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)問(wèn)題解決，生成高階思維。

【案例6】“乘法的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)片段

用圖表示3 × 5，學(xué)生作品如下。

方法1：○○○ ○○○ ○○○ ○○○

○○○ 5個(gè)3

方法2：○○○○○ ○○○○○

○○○○○ 3個(gè)5

方法3：○○○○○

○○○○○? →? 橫著看表示 3個(gè)5

○○○○○? ↓? ?豎著看表示 5個(gè)3

方法4：? ? <E：＼2023田田＼1-23＼遼寧教育·教研版202401＼LJ24-1-8.psd>[3][3][5][b][a]

這4個(gè)方法都能表示3 × 5，但方法3能把乘法的兩種意義在同一幅圖中表達(dá)出來(lái)；方法4借助長(zhǎng)方形圖表示，將數(shù)與形完美結(jié)合，為后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積做好了鋪墊，思維層次更高。

（三）系統(tǒng)化圖式

在問(wèn)題解決中，針對(duì)例題，教師可以設(shè)計(jì)一些開(kāi)放題，讓學(xué)生通過(guò)歸類(lèi)、整理，用系統(tǒng)化的圖示表征出來(lái)，以便于使知識(shí)變得系統(tǒng)化。

【案例7】“集合”教學(xué)片段

三年級(jí)（1）班如果有4人喜歡跳遠(yuǎn)，6人喜歡跑步，那么喜歡跳遠(yuǎn)和跑步的同學(xué)一共可能有多少人？先畫(huà)圖，再列式計(jì)算。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖整理發(fā)現(xiàn)有5種可能。

[○○○○][○○○○○○]

4 + 6 = 10（人）

[○○○][○○○○○] [○]

4 + 6 - 1 = 9（人）

[○○][○○○○] [○○]

4 + 6 - 2 = 8（人）

[○][○○○] [○○○]

4 + 6 - 3 = 7（人）

[○○] [○○○○]

4 + 6 - 4 = 6（人）

在畫(huà)集合圖的過(guò)程中，學(xué)生進(jìn)一步理解了中間重疊部分是兩部分共有的，其他部分是獨(dú)有的。此題通過(guò)逆向思維，讓學(xué)生根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，推測(cè)出各種可能，在一道題中解決了并集、交集等多種情況，理解了包含、不包含之間的關(guān)系，幫助學(xué)生對(duì)集合的認(rèn)識(shí)提高了一個(gè)層次，提升了學(xué)生的系統(tǒng)化思維。

三、注重巧妙轉(zhuǎn)化，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

幾何直觀(guān)有助于將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象直觀(guān)化、可視化，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀(guān)領(lǐng)悟能力。在教學(xué)中，教師需要注重?cái)?shù)與形的巧妙轉(zhuǎn)化，尋找構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀(guān)模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。

（一）圖象與概念對(duì)應(yīng)，發(fā)展推理思想

推理是數(shù)學(xué)的一種基本思想，也是數(shù)學(xué)直觀(guān)的精髓。幾何直觀(guān)的教學(xué)，不僅只是用圖表直觀(guān)表征數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是尋找圖象與概念之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)嘗試分析、想象、推理、驗(yàn)證，進(jìn)而洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征，獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。

【案例8】“商不變的性質(zhì)”教學(xué)片段

1.以情境激發(fā)興趣

創(chuàng)設(shè)情境：老師把4個(gè)草莓平均分給2個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分幾個(gè)？老師把40個(gè)草莓平均分給20個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分幾個(gè)？老師把400個(gè)草莓平均分給200個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分幾個(gè)？

教師先請(qǐng)學(xué)生列式計(jì)算，再觀(guān)察發(fā)現(xiàn)了什么。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。

2.在坐標(biāo)圖上找算式

文具店有一種彩帶的銷(xiāo)售情況如下頁(yè)圖2所示。

圖上的每個(gè)點(diǎn)表示什么意思？請(qǐng)你找到商不變的算式寫(xiě)下來(lái)，至少寫(xiě)三個(gè)。比較三組算式，發(fā)現(xiàn)商不變的規(guī)律。連接圖中的點(diǎn)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

在教學(xué)中，教師在分草莓之后，先引導(dǎo)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)商不變的性質(zhì)。接著，教師借助直觀(guān)圖，引導(dǎo) 學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)商不變的性質(zhì)。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察坐標(biāo)圖中的點(diǎn)，尋找商不變的算式，從而構(gòu)建了商與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后，學(xué)生將表示商的點(diǎn)連接起來(lái)，發(fā)現(xiàn)了商不變性質(zhì)的圖象。學(xué)生在建立圖象與概念的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，經(jīng)歷了觀(guān)察、比較與推理，發(fā)展了推理的基本數(shù)學(xué)思想。

（二）巧妙運(yùn)用，深化模型思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生遇到學(xué)習(xí)困難時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生往前探一探，轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的知識(shí)，讓他們由淺入深，在自主探究、合作交流中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，初步形成模型觀(guān)念，提高解決問(wèn)題的能力。

【案例9】 “乘法分配律”教學(xué)片段

“乘法分配律”一直是教學(xué)中的難點(diǎn)，筆者在執(zhí)教時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生往前探一探，回憶以前學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法，引導(dǎo)學(xué)生用小棒擺一擺，說(shuō)一說(shuō)。學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法，小棒的擺放情況如圖3。

學(xué)生感悟到擺小棒的方法，即“分配”的過(guò)程。

1.找一找，之前遇到的乘法分配律

教師引導(dǎo)學(xué)生先回顧一年級(jí)學(xué)習(xí)的減法口算，二年級(jí)學(xué)習(xí)的乘法口訣，三年級(jí)學(xué)習(xí)的乘法口算，四年級(jí)學(xué)習(xí)的行程問(wèn)題，觀(guān)察并發(fā)現(xiàn)乘法分配律。

2.算一算，你發(fā)現(xiàn)了什么

C級(jí)題：學(xué)?；▔淖筮厰[了3行月季花，每行有6盆，右邊擺了3行菊花，每行有4盆，一共擺放了多少盆花？

先畫(huà)圖再計(jì)算。

○○○○○○ ○○○○

○○○○○○ ○○○○

○○○○○○ ○○○○

B級(jí)題：一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)25米，寬8米，現(xiàn)在新開(kāi)墾后菜地的寬延長(zhǎng)2米，長(zhǎng)不變，開(kāi)墾后的新菜地面積有多大？

[8 m][2 m][25 m]

A級(jí)題：李大爺家有一塊菜地，這塊菜地的面積有多少平方米？

[9 m][19 m][21 m][9 m]

在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助小棒圖、點(diǎn)子圖、珠子圖、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與面積圖，發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果相等，幫助學(xué)生直觀(guān)地建立起乘法分配的數(shù)學(xué)模型（a + b） × c = a × c + b × c。當(dāng)學(xué)生以后遇到?jīng)]學(xué)過(guò)的題目時(shí)，就會(huì)想到用乘法分配律去思考。

總之，用幾何直觀(guān)的理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅能讓學(xué)生獲得畫(huà)圖解題的方法，更重要的是幫助學(xué)生提高用幾何圖形形象地描述和分析問(wèn)題的能力。教師要讓學(xué)生在畫(huà)圖的過(guò)程中有效經(jīng)歷自主解決問(wèn)題的過(guò)程，同時(shí)直觀(guān)理解數(shù)學(xué)，發(fā)展思維能力。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）