解數(shù)學(xué)題對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

文｜張進(jìn)華

筆者在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到這樣幾道非常典型的數(shù)學(xué)題目：

題目一：如圖1，一個(gè)牧民趕著一匹馬從B處欲回到他的帳篷A，他又想在回程中先到以L1為界的草地吃草，繼而到河的岸邊L2去飲水，他應(yīng)該走怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間？

圖1

分析：在解題過(guò)程中，若我們想到現(xiàn)行義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)228 頁(yè)問(wèn)題解決第二題：在某街道L同側(cè)有居民區(qū)A、B，要在街道旁修建一個(gè)奶站向居民區(qū)A、B供應(yīng)牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的路程和最短？

該題目不難解決，如圖2 所示，設(shè)想居民區(qū)B在以L為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱B1處，那么由A到B1的最短路程，顯然以線段AB1為最短，這實(shí)際上給出了最短路線的求法，P就是奶站的位置。同樣在極小點(diǎn)P處，射線PA、PB與軸L成等角，這是最短路程的物理意義：反射路線所走的路線，乃是最短路程，或者說(shuō)所用的時(shí)間最省。利用軸對(duì)稱，還可以解決較復(fù)雜的最短路線問(wèn)題，為此我們不難找出題目一的解決方法：如圖1 所示，先作出A關(guān)于L2的對(duì)稱點(diǎn)A1，再作出A1關(guān)于L1的對(duì)稱點(diǎn)A2，連接A2B交L1為P1，連接P1A1交L2為P2，則可得P1為馬的吃草點(diǎn)，P2為馬的飲水點(diǎn)。另外，在實(shí)際生活中，臺(tái)球所經(jīng)的路線亦受此規(guī)律的約束，這樣我們可以順利解決幾何題目：如下圖3，設(shè)在一個(gè)矩形球臺(tái)P0P1P2P3上有二球A、B，沿怎樣的方向擊球A，可使它接連碰撞桌邊P0P1，P1P2和P2P3后恰好擊中球B？

圖2

圖3

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，特別是初中幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，最害怕陷入單純、枯燥的邏輯推理之中。如果能把某些推理過(guò)程或推理出的結(jié)論同我們的生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生就會(huì)感到親切而且有無(wú)窮的趣味，從而消除單純推理的枯燥感，進(jìn)而主動(dòng)、積極地學(xué)好數(shù)學(xué)。但值得說(shuō)明的是，雖然有一些數(shù)學(xué)題目是“編造”的，但也要合乎實(shí)際，以假亂真，才能收到預(yù)期的效果；如果一個(gè)非常有趣的題目，學(xué)生初看時(shí)“難于上青天”，一旦通過(guò)自己分析，找出課本上的原型，揭示題目的聯(lián)系，而解題方法巧妙又簡(jiǎn)單出奇，不禁令人拍案叫絕，這樣就會(huì)激發(fā)出學(xué)生極大的興趣，同時(shí)還展示出數(shù)學(xué)美感。其實(shí)在幾何的學(xué)習(xí)園地里到處都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，曲徑通幽，只要我們同學(xué)生深入進(jìn)去，就會(huì)在教學(xué)過(guò)程中感到美不勝收。精巧的幾何圖形本身就能引起學(xué)生極大的興趣，給人以美的享受，如果能與學(xué)生生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，會(huì)使學(xué)生體會(huì)到學(xué)以致用，就更會(huì)興致盎然。

題目二：已知sina+cosa=，a∈（0，π），求cota的值.

分析：這是一道高考題，不少考生出現(xiàn)下列解法：

將已知式兩邊平方，得1+sin2a=，

又因?yàn)閍∈（0，π），所以，得或

其實(shí)這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，事實(shí)上由sin2a＜0 知a∈（π/2，π），又sina+cosa=＞0

所以，a∈（π/2，3π/4）

上面的解法煩瑣難懂，運(yùn)用的現(xiàn)成結(jié)論太多，且太多的篇幅用推理的方法確定角的象限，看似必要實(shí)際卻不必要。我們?yōu)楹尾粓?zhí)果尋因、探本求源，運(yùn)用三角函數(shù)的定義去解決該問(wèn)題呢？

分析如下：在平面直角坐標(biāo)系中，欲求cota，只需求出

聯(lián)立方程求解，得x=-3，y=4

所以，cota=-.

其實(shí)，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們探索捷徑時(shí)難免走彎路，此時(shí)若反過(guò)來(lái)追尋定義，對(duì)鉆研數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題都是很有必要的，因而對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)也是很有價(jià)值的。再如利用三角函數(shù)及其他數(shù)學(xué)知識(shí)的定義可以解決如下很多的問(wèn)題：

題1 若tanθ＞0 且sinθ+cosθ＞0，試確定θ是第幾象限角.

分析：令tanθ=＞0，得x，y同號(hào)

所以x，y均為正，可知是θ第一象限角。

得原式＝－1.

題3 若θ∈（0，π/2），比較sinθ與tanθ大小.

分析：令sinθ=，tanθ=，且x，y，r均為正，x＜r，得sinθ＜tanθ.

題4 若θ為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P（m，），且m（m不等于0），求sinθ的值.

分析：令cosθ==可求出

題5 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線，交橢圓于點(diǎn)P，若三角形F1PF2為等腰三角形，則橢圓的離心律為（）

分析：該題是全國(guó)高考題，若熟悉橢圓的幾何定義，可有如下的解法：

事實(shí)勝于雄辯，在數(shù)學(xué)教學(xué)和中高考復(fù)習(xí)中要用好課本，以課本為主。多年來(lái)，我看到許多數(shù)學(xué)考試卷中有很多的題目是對(duì)課本上最基本的知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)概念的考查，所以，我們要重視基礎(chǔ)概念的教學(xué)和復(fù)習(xí)，切實(shí)抓好基礎(chǔ)知識(shí)和基本訓(xùn)練，深化知識(shí)，從本質(zhì)上發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，從而提高學(xué)生的解題能力。如上面解決問(wèn)題的方法，實(shí)際上體現(xiàn)了“化歸”的數(shù)學(xué)思想和“變換”的數(shù)學(xué)方法。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及解題中“化歸”是廣為運(yùn)用的法寶。中高考復(fù)習(xí)教學(xué)中教師要十分重視對(duì)學(xué)生“化歸”等數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，要求每一個(gè)考生掌握數(shù)學(xué)“變換”的規(guī)律，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)方法靈活地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。運(yùn)用“化歸”的方法能將復(fù)雜的問(wèn)題“化歸”為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題“化歸”為已解決的問(wèn)題，這樣難關(guān)就會(huì)變成易行的大道，甚至恰當(dāng)?shù)摹盎瘹w”會(huì)使人進(jìn)入“留戀忘返，拍案叫絕”的境地。

題目三 過(guò)拋物線y2=2px焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1，y2.求證：y1y2=－p2.

分析：該題是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課本第二冊(cè)（上）第119 頁(yè)習(xí)題8.5 第7 題，屬于中檔題，大多數(shù)學(xué)生通過(guò)分析都可得到證明方法。但值得注意的是，該題的證明方法和結(jié)論在圓錐曲線的交線問(wèn)題中具有重要的意義?，F(xiàn)簡(jiǎn)證如下：

（1）當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，顯然有y1y2=－p2.

（2）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，令直線的方程為y=k（x-p/2）（k≠0），又y2=2px，消去未知數(shù)x，整理得ky2-2py-kp2=0.

由韋達(dá)定理，得y1y2=－p2.

課本這道題可以當(dāng)作一個(gè)圓錐曲線的數(shù)學(xué)模型，對(duì)學(xué)生形成模型觀念具有普遍性的意義，有利于感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要性，其實(shí)，運(yùn)用題目三的結(jié)論還可以解決如下很多的模型問(wèn)題：

題6 過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F作弦AB，O是原點(diǎn)，則△OAB面積的最小值是（）

分析：該題是高考數(shù)學(xué)題的一道填空題。

由題目三結(jié)論知y1y2=－p2，所以y1y2＝-4

所以△AOB面積的最小值為2.

題7 設(shè)拋物線y2=2px（p＞0），F(xiàn)為該拋物線的一焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC//x軸，證明：直線AC過(guò)原點(diǎn)O.

分析：該題是全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題，在試卷中屬于中檔題。

本題的解題方法有多種，最常用的方法是采用坐標(biāo)進(jìn)行代數(shù)推理，可以證明AO+OC=AC，還可以證明OC與BF的交點(diǎn)A在拋物線上等。若考生能正確運(yùn)用課本中的知識(shí)，則有如下的證明方法：

所以A、C、O三點(diǎn)共線，即直線AC過(guò)原點(diǎn)O.

題8 給定拋物線C∶y2=4x，該拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)是F，拋物線與過(guò)點(diǎn)F的直線L相交于A，B兩點(diǎn).

（1）設(shè)直線AB的斜率為1，求向量與向量的夾角.

分析：該題是全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題，考查了解析幾何的基本方法，屬于一道綜合性很強(qiáng)的難題，考查了考生的創(chuàng)新思維和運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本素質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的超工具性。第一問(wèn)學(xué)生通過(guò)代數(shù)運(yùn)算不難得出正確的結(jié)果，但對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，第二問(wèn)不容易求解。在第二問(wèn)中，若能聯(lián)想到課本中的這一數(shù)學(xué)原型，即題目三的解題方法和證明的結(jié)論，可得如下的解題方法：

由題目三，得y1y2=-4

由已知條件，得y2=-λy1

又直線L的斜率為

所以直線L的方程為

再由λ∈［4，9］

得直線L截距的變化范圍為

以上可以再次充分看出：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)中要用好課本，以課本為主，充分利用知識(shí)的形成過(guò)程和例題的典型方法。

總之，數(shù)學(xué)試卷中的很多試題是課本上例題的直接運(yùn)用或整合。在平時(shí)的教學(xué)中，如果教師都能注重課本，加強(qiáng)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，那么學(xué)生在遇到具體問(wèn)題時(shí)就能運(yùn)用平時(shí)所學(xué)到的知識(shí)加以解決。尤其是近些年許多考試題中的一個(gè)特點(diǎn)“少計(jì)算，多思考”，就要求學(xué)生平時(shí)加強(qiáng)基礎(chǔ)練習(xí)，提升思考能力。因此，作為教師，要重視基礎(chǔ)，切實(shí)抓好基礎(chǔ)知識(shí)和基本訓(xùn)練，從源頭上發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，從而提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。