解決問題中線段圖表征的斷層剖析與改進(jìn)路徑

方蘇云

【摘? ?要】“解決問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要組成部分?！敖鉀Q問題”中的線段圖既具有直觀性，又兼?zhèn)涓爬ㄐ?，是幾何直觀的體現(xiàn)形式之一。以人教版教材為例，通過梳理12冊(cè)教材的教學(xué)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)教材編排存在線段圖表征斷層的問題，導(dǎo)致線段圖教學(xué)出現(xiàn)斷裂。教師通過“從‘一到‘二，充實(shí)線段圖表征”“從‘無到‘有，補(bǔ)充線段圖表征”“從‘偏到‘全，豐富線段圖表征”等方式改進(jìn)學(xué)習(xí)路徑，為探究解決問題的有效策略提供有力幫助。

【關(guān)鍵詞】線段圖；解決問題；改進(jìn)路徑

在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，“解決問題”是學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要組成部分。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）的要求，“幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”，學(xué)生應(yīng)能“利用圖表分析實(shí)際情境和數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路”，發(fā)展幾何直觀。線段圖既具有直觀性，又兼?zhèn)涓爬ㄐ?，是幾何直觀的體現(xiàn)形式之一。它能夠化“難”為“易”，幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，由形象思維走向抽象思維。在“解決問題”中，用線段圖代替實(shí)物示意圖或半具體半抽象的示意圖，對(duì)解決問題和發(fā)展學(xué)生思維有不可替代的作用。

然而，各版本教材中線段圖出現(xiàn)的次數(shù)并不多，且呈現(xiàn)的都是“成品”，對(duì)線段圖的具體使用也未作出明確要求。教師對(duì)此深感迷惑：是要求學(xué)生畫線段圖，還是只要求學(xué)生讀懂線段圖？如何在教學(xué)中把握線段圖的使用程度？為此，筆者以人教版教材為例，對(duì)教材的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了剖析，發(fā)現(xiàn)教材編排存在線段圖表征斷層的問題，導(dǎo)致線段圖教學(xué)出現(xiàn)斷裂，教師“不善用”線段圖，學(xué)生也“不待見”線段圖。

一、對(duì)解決問題中線段圖表征斷層的剖析

筆者對(duì)人教版12冊(cè)教材中用線段圖表征解決問題的情況進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)教材編排呈現(xiàn)比較清晰的結(jié)構(gòu)（如圖1）。

（一）線段圖表征的雛形

線段圖的雛形出現(xiàn)在一、二年級(jí)加減法的解決問題中。教材從一年級(jí)下冊(cè)退位減法中的“擺擺看”到二年級(jí)上冊(cè)加減法中的“畫一畫”，都采用具體示意圖來表征；到二年級(jí)下冊(cè)混合運(yùn)算中的“用上面的圖示分析”，開始用橫條形來表征，線段圖的“影子”清晰可見（如圖2）。

（二）線段圖表征的起始

線段圖表征在三年級(jí)上冊(cè)乘除法的解決問題中才正式出現(xiàn)。教材從例2“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”中的用示意圖表征，過渡到例3“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”中的用線段圖表征；從歸一問題中的示意圖分析，過渡到歸總問題中的線段圖分析（如圖3）。通過多次過渡，正式引入線段圖。

（三）線段圖表征的后續(xù)應(yīng)用

線段圖表征的應(yīng)用在六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的解決問題中體現(xiàn)得最為明顯。如圖4所示，線段圖表征主要集中在分?jǐn)?shù)除法的解決問題中，以幫助學(xué)生分析從“正向”到“逆向”的解題思路；分?jǐn)?shù)乘法、百分?jǐn)?shù)除法中分別出現(xiàn)了借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系，百分?jǐn)?shù)乘法中則沒有出現(xiàn)?？梢?，線段圖表征的后續(xù)應(yīng)用雖然較多但配置不均衡。

（四）線段圖表征存在的斷層

通過對(duì)教材的梳理發(fā)現(xiàn)，用于分析數(shù)量關(guān)系的線段圖，在四年級(jí)上冊(cè)“常見數(shù)量關(guān)系”的解決問題中出現(xiàn)了斷層。眾所周知，“常見數(shù)量關(guān)系”在小學(xué)階段起著承前啟后的重要作用，其本質(zhì)是乘法模型（與個(gè)數(shù)有關(guān)和與物理量有關(guān)兩種形式）“幾個(gè)幾”，即每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。線段圖通過具體形象表征“幾個(gè)幾”，加深學(xué)生對(duì)其意義的理解。然而，從圖5中可以清楚地看到，除用語言表征外，“常見數(shù)量關(guān)系”的解決問題中沒有使用其他的表征方式。

基于以上分析，教師需要進(jìn)一步思考：人教版教材在線段圖的雛形階段編排的實(shí)物示意圖和半具體半抽象示意圖比較充足，這為線段圖的引入打下了基礎(chǔ)。那么，在線段圖起始階段，教師在教學(xué)生讀懂線段圖的同時(shí)，要不要教學(xué)生怎樣畫線段圖？解決問題中線段圖表征的斷層應(yīng)該如何彌補(bǔ)？在線段圖表征的后續(xù)應(yīng)用階段，如何培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)使用線段圖的意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到線段圖在解決稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘除法問題中的作用？為解決這些問題，筆者嘗試在教學(xué)實(shí)踐中，依托教材改進(jìn)線段圖表征的學(xué)習(xí)路徑。

二、解決問題中線段圖表征的改進(jìn)路徑

2022年版課標(biāo)在“課程目標(biāo)”中就有“學(xué)生能夠直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景”的闡述。據(jù)此，教師可基于學(xué)生思維發(fā)展的需求創(chuàng)造性地使用教材，通過構(gòu)造線段圖、分析線段圖，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)；在不斷應(yīng)用線段圖解決問題的過程中，發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。限于篇幅，筆者選取三、四、六年級(jí)的案例來闡述用線段圖表征的改進(jìn)路徑。

（一）從“一”到“二”，充實(shí)線段圖表征

基于一、二年級(jí)學(xué)習(xí)的示意圖，教師可在三年級(jí)上冊(cè)學(xué)生初學(xué)線段圖時(shí)，打破教材原有的“間隔性”編排線段圖的方式，即從“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”中的用實(shí)物示意圖表征過渡到“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”中的用線段圖表征，從歸一問題中的實(shí)物示意圖過渡到歸總問題中的線段圖，嘗試在歸一問題的教學(xué)中同時(shí)使用示意圖和線段圖進(jìn)行表征，并比較兩者的異同，從“一”到“二”，充實(shí)線段圖的表征。具體改進(jìn)路徑如圖6所示。

根據(jù)改進(jìn)后的學(xué)習(xí)路徑，在“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的教學(xué)中，要讓學(xué)生初步體會(huì)用線段圖表征時(shí)需清楚“畫什么”“怎么畫”及線段圖中的一份可以表示5、10、30……在歸一問題的教學(xué)中，要將原來的單一示意圖變?yōu)槭疽鈭D、線段圖兩種表征方式同時(shí)呈現(xiàn)，讓學(xué)生在示意圖和線段圖的對(duì)比中，進(jìn)一步體會(huì)“畫什么”“怎么畫”及用線段圖表征的優(yōu)勢，并在教材編排的基礎(chǔ)上，借助畫示意圖和線段圖的方法呈現(xiàn)實(shí)際問題中包含的數(shù)學(xué)信息，體現(xiàn)以數(shù)形結(jié)合分析數(shù)量關(guān)系。據(jù)此，筆者對(duì)歸一問題中用線段圖表征的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行具體設(shè)計(jì)與實(shí)施，如圖7所示。

在歸一問題中充實(shí)線段圖表征，并非忽略教材半具體半抽象示意圖的表征，而是將兩者進(jìn)行有機(jī)融合，讓學(xué)生在三次對(duì)比中理解線段圖表征。按照教材的編排方式，原先只在歸總問題中有線段圖表征，改進(jìn)編排方式后，變成在歸一問題、歸總問題中都要學(xué)習(xí)用線段圖表征，雙管齊下，從而將教材原有的“間隔性”編排方式變?yōu)椤斑B續(xù)性”編排方式，呈現(xiàn)兩次從“一”到“二”的迭代過程。

（二）從“無”到“有”，補(bǔ)充線段圖表征

在三年級(jí)連續(xù)學(xué)習(xí)線段圖表征的基礎(chǔ)上，教師要在四年級(jí)“常見數(shù)量關(guān)系”這一乘法模型中補(bǔ)充線段圖表征，為后續(xù)五年級(jí)理解用方程解決問題中的“等量關(guān)系”打下基礎(chǔ)。具體改進(jìn)路徑如圖8所示。

在整體認(rèn)識(shí)“常見數(shù)量關(guān)系”的視角下，要讓學(xué)生體會(huì)線段圖中的“一段”既可表示“單價(jià)”也可表示“速度”，“幾段”既可表示“數(shù)量”也可表示“時(shí)間”，總長度既可表示“總價(jià)”也可表示“路程”，意在引導(dǎo)學(xué)生將對(duì)這兩種常見數(shù)量關(guān)系的理解主動(dòng)納入“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，以跨越線段圖在該內(nèi)容中的斷層。具體學(xué)習(xí)路徑如圖9所示。

改進(jìn)后的學(xué)習(xí)路徑整合“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”和“速度×?xí)r間=路程”兩種常見的數(shù)量關(guān)系，將二者進(jìn)行“平行式”教學(xué)。圍繞算式60×4，讓學(xué)生利用線段圖對(duì)比剖析“每一段表示60，這樣的4段”與“每一段表示4，這樣的60段”，理解“每一段”可以表示“單價(jià)”“速度”，即“每份數(shù)”，“這樣的幾段”可以表示“數(shù)量”“時(shí)間”，即“份數(shù)”；通過繪制線段圖，體悟常見數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)就是“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”，即求“幾個(gè)幾”。在這樣從“無”到“有”的線段圖表征過程中，更好地培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括思維。

（三）從“偏”到“全”，豐富線段圖表征

在六年級(jí)的分?jǐn)?shù)乘法、百分?jǐn)?shù)乘除法解決問題中用線段圖表征（如圖10），首先要豐富類型，從無線段圖或只有一題用線段圖表征變?yōu)槎囝}用線段圖表征，然后利用這些線段圖分析數(shù)量關(guān)系，從而解決問題。其次要辨析結(jié)構(gòu)，分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘除法解決問題中的每個(gè)例題，都要通過線段圖分析數(shù)量關(guān)系，厘清乘法與除法間的區(qū)別與聯(lián)系，如辨析“求‘單位1的幾分之幾是多少”和“已知‘單位1的幾分之幾是多少，求‘單位1”。最后要以形建模，利用線段圖構(gòu)建分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘除法解決問題的聯(lián)系及運(yùn)用策略，根據(jù)“量率”，建立對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘除法解決問題的數(shù)學(xué)模型。由此，幫助學(xué)生積累用線段圖表征的經(jīng)驗(yàn)，助推后續(xù)學(xué)習(xí)。

教材偏向于將線段圖表征用在分?jǐn)?shù)除法的解決問題中，改進(jìn)后的學(xué)習(xí)路徑則將線段圖表征全面涵蓋每一類問題。在練習(xí)、復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師在將分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘除法解決問題用線段圖表征后，組織學(xué)生觀察異同，讓學(xué)生在對(duì)比分析中把握這四類問題用線段圖表征的“共通點(diǎn)”，深入理解這四類問題的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生類比掌握解題策略，并讓“豐厚”的線段圖變得簡潔而概括。由此，學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“薄—厚—薄”的思辨過程，其高階思維得以發(fā)展。

數(shù)學(xué)教學(xué)要立足學(xué)生發(fā)展視角。為解決人教版教材“解決問題”中線段圖表征斷層的問題，教師要把握教材整體結(jié)構(gòu)，用好教材，根據(jù)知識(shí)的學(xué)習(xí)邏輯和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律對(duì)教材作出調(diào)整，改進(jìn)線段圖表征的學(xué)習(xí)路徑，為探究解決問題的有效策略提供有力幫助。

參考文獻(xiàn)：

［1］陳欽.淺談線段圖在小學(xué)數(shù)學(xué)“問題解決”中的教學(xué)策略［J］.教育界：綜合教育，2019（6）：40-41.

［2］徐正林.線段圖在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的應(yīng)用研究［J］.新課程，2022（40）：90-91.

（浙江省杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心）