初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用策略探究

【摘要】初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用逆向思維，能使學(xué)生在解決復(fù)雜問題時(shí)快速找到突破口.文章從初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用優(yōu)勢切入，分析初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用類型，提出如何指導(dǎo)學(xué)生在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用逆向思維，以供借鑒.教師應(yīng)正確認(rèn)識(shí)逆向思維對(duì)初中數(shù)學(xué)解題的重要價(jià)值，指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維提高解題效率，并使學(xué)生在逆向思維的實(shí)際應(yīng)用中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，夯實(shí)理論基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；解題；逆向思維

逆向思維也稱求異思維，指的是在思考問題時(shí)敢于打破常規(guī)，反其道而行.應(yīng)用逆向思維，從問題的相反面分析事物，能夠從更多角度把握解決問題的基本方法，并在一定程度上發(fā)展創(chuàng)新能力.初中數(shù)學(xué)解題中，逆向思維發(fā)揮著不可替代的應(yīng)用優(yōu)勢.逆向思維可以應(yīng)用于哪些問題，如何將逆向思維應(yīng)用于具體的解題過程，都是教師和學(xué)生應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容.文章以此為線索，探討初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用，具有一定參考價(jià)值.

一、初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用優(yōu)勢

逆向思維作為一種特殊的思維方式，既是初中數(shù)學(xué)解題的重要工具，也是日常強(qiáng)化對(duì)學(xué)生培養(yǎng)的手段.初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用，不僅有助于解決問題，而且有益于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使其穩(wěn)固數(shù)學(xué)地基.

（一）應(yīng)用逆向思維，提高解題效率

逆向思維對(duì)于初中數(shù)學(xué)解題起著提高效率的直接作用.許多初中數(shù)學(xué)問題由于題目信息的復(fù)雜性，學(xué)生不能通過正向分析快速形成解題思路，更有一些時(shí)候，學(xué)生會(huì)因?yàn)橐晃兜卣蚍治鰪?fù)雜題目而掉入“陷阱”，陷入運(yùn)算瓶頸.應(yīng)用逆向思維重構(gòu)問題分析路徑，能夠有效避免這些情況，進(jìn)而提高學(xué)生的解題效率.

（二）應(yīng)用逆向思維，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

將逆向思維應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題，還能起到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的間接作用.初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本不僅是使學(xué)生理解數(shù)學(xué)是什么、怎么用，而且是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.將逆向思維應(yīng)用于解題，表面上對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提出了更高要求，實(shí)際上對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維起著鍛煉和培養(yǎng)作用.隨著初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用，學(xué)生能不斷發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)科思維水平，這也對(duì)學(xué)生未來發(fā)展意義深遠(yuǎn).

（三）應(yīng)用逆向思維，夯實(shí)理論基礎(chǔ)

夯實(shí)理論基礎(chǔ)，同樣屬于初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用優(yōu)勢.初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是從理論到實(shí)踐逐步過渡的過程，學(xué)生要基于堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)展開實(shí)踐，也要在實(shí)踐中鞏固理論基礎(chǔ).應(yīng)用逆向思維解題時(shí)，學(xué)生多角度分析解決問題的理論條件，如“想要證明兩個(gè)三角形全等，至少應(yīng)該使兩個(gè)三角形滿足哪些條件？”“如果證明兩條直線不平行，這兩條直線至少應(yīng)具有怎樣的特點(diǎn)？”等，便是對(duì)數(shù)學(xué)理論的多角度鞏固.久而久之，學(xué)生自然可進(jìn)一步夯實(shí)理論基礎(chǔ).

二、初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用類型

初中數(shù)學(xué)問題類型豐富，使得逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中實(shí)現(xiàn)多元應(yīng)用.比如：學(xué)生可應(yīng)用逆向思維妙巧解決計(jì)算問題，簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算；可應(yīng)用逆向思維巧妙推理幾何關(guān)系，優(yōu)化證明過程；還可以應(yīng)用逆向思維巧妙解決圖像問題，梳理函數(shù)關(guān)系.教師可結(jié)合典型例題，指導(dǎo)學(xué)生在具體題型中如何應(yīng)用，明確初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用類型.

（一）逆向思維巧解計(jì)算題

初中數(shù)學(xué)計(jì)算題通常呈現(xiàn)“條件簡明”的特征，包括有理數(shù)運(yùn)算、整式運(yùn)算、方程運(yùn)算、不等式運(yùn)算、函數(shù)運(yùn)算等.但在一些情況下，越是簡明的條件信息，越易增加解題難度，使學(xué)生毫無頭緒，應(yīng)用逆向思維尤為必要，如例1.

例1 已知a≤2，b≥-3，c≤5，且a-b+c=10，那么a+b+c的值是（ ）.

分析 題目并不復(fù)雜，形式上由不等式和等式組合而成，內(nèi)容上通過三個(gè)不等式給出未知數(shù)的取值范圍，要求學(xué)生圍繞三個(gè)未知數(shù)計(jì)算等式的結(jié)果.但是，如果直接按照給定等式進(jìn)行計(jì)算，由于無法判斷未知數(shù)的具體數(shù)值，很難得出正確結(jié)果.由此應(yīng)用逆向思維，可先思考“如果使a-b+c=10成立，則a，b，c應(yīng)該取多少”，將b≥-3轉(zhuǎn)化為-b≤3，則在a≤2，-b≤3，c≤5的前提下，想使a-b+c=10成立，a取值應(yīng)當(dāng)為2，b取值應(yīng)當(dāng)為-3，c取值應(yīng)當(dāng)為5.逆向思考后，未知數(shù)取值已知，a+b+c結(jié)果可算，即2-3+5=4.可見，在看似簡單但對(duì)解題技巧要求較高的計(jì)算題中，可通過逆向思維的合理應(yīng)用找準(zhǔn)計(jì)算要點(diǎn).

（二）逆向思維巧解證明題

證明題多以圖形與幾何為背景，要求學(xué)生證明點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，以及長度、角度等數(shù)量關(guān)系.一些情況下，題目給出大量點(diǎn)、線、面、角度關(guān)系，使學(xué)生難以確定證明起點(diǎn).及時(shí)應(yīng)用逆向思維，可由待證問題逆向推理已知條件，通過“想要證明……，應(yīng)該證明……”或“如果不……，則……”的逆向思考路徑，讓問題迎刃而解，如例2.

例2 如圖1所示，D，E是△ABC中AC邊上的兩點(diǎn)，且在△ABC中，存在AB=AD，BD是∠CBE的角平分線，請證明AD2=AE·AC.

件中精準(zhǔn)證明待證問題，可在建立證明思路時(shí)多次應(yīng)用逆向思維.

（三）逆向思維巧解圖像題

圖像題通常伴隨函數(shù)問題出現(xiàn)，如函數(shù)圖像的平移問題、旋轉(zhuǎn)問題、相交問題等.有時(shí)，題目同時(shí)給出圖像與對(duì)問題的文字描述，促進(jìn)學(xué)生思考和解題.有時(shí)，題目僅對(duì)圖像關(guān)系進(jìn)行抽象描述，學(xué)生不易建立解題思路.對(duì)此應(yīng)用逆向思維，可在圖像的“變”與“不變”中落實(shí)逆向思考，如例3.

學(xué)生可在教師指導(dǎo)下，有序探究逆向思維在初中數(shù)學(xué)計(jì)算題、證明題、圖像題中的實(shí)際應(yīng)用，建立逆向思維解題意識(shí).緊接著，學(xué)生可自主應(yīng)用逆向思維，舉一反三地解決問題，內(nèi)化初中數(shù)學(xué)解題中的逆向思維應(yīng)用能力，這也是下文重點(diǎn)探討的內(nèi)容.

三、初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用技巧

從典型例題到舉一反三，學(xué)生應(yīng)在初中數(shù)學(xué)解題中總結(jié)應(yīng)用逆向思維的一般規(guī)律，提高應(yīng)用逆向思維的主動(dòng)性與能動(dòng)性.為此，學(xué)生應(yīng)深入探究問題，探索逆向思維的應(yīng)用技巧.

（一）打破題目原有邏輯，轉(zhuǎn)化問題分析視角

以上文例1、例2為例，初中數(shù)學(xué)解題中逆向思維的應(yīng)用，重點(diǎn)在于打破題目的原有邏輯，轉(zhuǎn)化問題分析視角.學(xué)生可通過應(yīng)用逆向思維，避免盲目地“跟著題目信息呈現(xiàn)順序走”，從而順利找到解題切入點(diǎn).而打破題目原有邏輯，一方面可從題目中間切入問題分析，另一方面可從題目末尾切入問題分析.

1.從題目中間切入問題分析

從題目中間切入問題分析，學(xué)生可以先從前到后地閱讀題目，再對(duì)比已知條件，確定“中間的重點(diǎn)”，然后“從中間向前”逆向思考已知條件的具體含義和作用.這也要求學(xué)生對(duì)復(fù)雜信息的主次具有一定敏感度，可通過自主加強(qiáng)解題訓(xùn)練達(dá)到此目的.

與直接將醫(yī)院一共儲(chǔ)存的氧氣設(shè)為未知數(shù)進(jìn)行比較，在題目中間應(yīng)用逆向思維，通過假設(shè)“剩下了多少氧氣”，先逆向推理“使用了多少氧氣”，再逆向推理“儲(chǔ)存了多少氧氣”，學(xué)生可在問題分析視角的轉(zhuǎn)化中，以更加簡單的計(jì)算靈活解決問題.其他具有前后關(guān)聯(lián)的初中數(shù)學(xué)題目，亦可考慮逆向思維的這一應(yīng)用技巧.

2.從題目末尾切入問題分析

從題目末尾切入問題分析，包括“逆推法”與“反證法”.逆推法即“想要證明……，應(yīng)該證明……”，反證法即“如果不……，則……”.前文例2已詳細(xì)說明逆推法的應(yīng)用技巧，此處重點(diǎn)探討反證法.學(xué)生可根據(jù)問題特征，在證明部分初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，先假設(shè)題目末尾結(jié)論不成立，再分析使該假設(shè)成立的條件（簡稱“新條件”）與題目已知條件（簡稱“原條件”）.若使假設(shè)成立時(shí)“新條件”與“原條件”一致，則待證問題不可證；若使假設(shè)成立時(shí)“新條件”與“原條件”矛盾，則待證問題可證，題目原結(jié)論成立.

如：“求證：在一個(gè)三角形中，不能同時(shí)存在兩個(gè)鈍角.”直接證明在一個(gè)三角形中不能同時(shí)存在兩個(gè)鈍角，不如先證明當(dāng)兩個(gè)鈍角同時(shí)存在于一個(gè)三角形時(shí)三角形的基本特點(diǎn).具體步驟如下：（1）假設(shè)在一個(gè)三角形中同時(shí)存在兩個(gè)鈍角；（2）已知一個(gè)鈍角的角度大于90°，則兩個(gè)鈍角的角度之和大于180°；（3）已知三角形的內(nèi)角和為180°；（4）當(dāng)一個(gè)三角形中同時(shí)存在兩個(gè)鈍角時(shí)，“新條件”與“原條件”矛盾；（5）假設(shè)不成立，原命題正確，在一個(gè)三角形中，不能同時(shí)存在兩個(gè)鈍角.較難根據(jù)已知條件直接證明題目結(jié)論的初中數(shù)學(xué)證明題，均可考慮反證法.

（二）逆向轉(zhuǎn)化題目條件，優(yōu)化問題推理程序

逆向轉(zhuǎn)化題目條件是指，在一些不能直接提煉解題要素的已知條件中，可以先應(yīng)用逆向思維轉(zhuǎn)化已知條件，再靈活應(yīng)用已知條件，優(yōu)化問題推理程序.前文例1在一定程度上體現(xiàn)此技巧，升級(jí)例1，設(shè)置更加煩瑣的初中數(shù)學(xué)題目，更能發(fā)現(xiàn)該技巧的實(shí)際價(jià)值.

結(jié) 語

總之，初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用逆向思維是提高學(xué)生解題效率的關(guān)鍵舉措，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，使其夯實(shí)理論基礎(chǔ)的重要途徑.教師應(yīng)通過有效指導(dǎo)，使學(xué)生巧妙應(yīng)用逆向思維解決計(jì)算、證明、圖像等問題.同時(shí)，教師應(yīng)向?qū)W生傳授“打破題目原有邏輯，轉(zhuǎn)化問題分析視角”等逆向思維在實(shí)際解題中的應(yīng)用技巧，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)“知其然，更知其所以然”的高效學(xué)習(xí).

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