小學數(shù)學的思維進階路徑及形態(tài)研究

摘" 要：數(shù)學思維進階已成為現(xiàn)代數(shù)學教育的重點目標之一，不僅是提高學生素質(zhì)的重要抓手，也是落實新課標任務的關鍵舉措.從實際情況來說，小學數(shù)學思維發(fā)展以符號認知和數(shù)學語言學習為出發(fā)點，以模型思維與知識的系統(tǒng)化應用為落腳點，可基本構(gòu)建出小學數(shù)學的思維進階路徑及形態(tài).基于此，本文從明晰與默會、認同與批判、再現(xiàn)與創(chuàng)造三階段對小學數(shù)學的思維進階路徑加以闡述，進一步提出建模思維視角下的小學數(shù)學的思維進階形態(tài)，旨在為提高小學數(shù)學教學質(zhì)效提供參考.

關鍵詞：小學數(shù)學；思維進階；數(shù)學思維

小學階段作為學生學習的起步階段，對于學生的后續(xù)學習與生活均有著很大程度的影響.具體到數(shù)學學科上，則體現(xiàn)為學生數(shù)學認知、數(shù)學思維和數(shù)學美感的養(yǎng)成與促進.小學數(shù)學的思維進階可以從三個維度理解：一是小學數(shù)學知識本身具有進階性特征，數(shù)學知識可按照理論與實踐、舊知識與新知識、顯性知識與隱性知識等多種類別進行認知上的遞進；二是小學數(shù)學學習本身具有進階性，小學生對數(shù)學學習方法的應用具有很強的持續(xù)性與階段性，是一種知識吸取、遷移、應用以及創(chuàng)新的漸變過程；三是小學數(shù)學學科本身具有進階性，數(shù)學學習于小學生而言是一種碎片化知識向整體化知識過渡的過程，隨著知識增加的累積，小學生能夠?qū)崿F(xiàn)由片面到全面的發(fā)展.

1" 小學數(shù)學的思維進階路徑

小學數(shù)學思維是一個較為抽象的教育概念，許多學者從不同角度對這一名詞進行了闡釋與研究.本文認為，小學數(shù)學思維可綜合概括為小學數(shù)學階段教學的凝練，是對小學數(shù)學科學知識的一種抽象概括.具體在學生個人發(fā)展上，體現(xiàn)為小學數(shù)學思維的由淺入深、由低至高，是一種循序漸進的進階脈絡.以數(shù)學思維系統(tǒng)化創(chuàng)新運用作為著手點，其進階路徑大致可分為三個階段.［1］

1.1" 明晰與默會：抽象認知與邏輯推演

從知識類型角度來說，小學數(shù)學知識大致可劃分為顯性知識，即基本數(shù)學概念與符號認知等，以及隱性知識，即知識應用與專業(yè)創(chuàng)新等.心理學家科爾伯格（Lawrence Kohlberg）的“三水平六階段”認知發(fā)展理論，將人的認知發(fā)展進行了劃分，其中小學生正處于科爾伯格前習俗水平的第二個階段，在數(shù)學學習上基本遵循著“顯性認知→內(nèi)化理解→外在應用”的脈絡.此階段學生的思維進階，是一種從知識的表象認識到內(nèi)在機理掌握的轉(zhuǎn)變，即明晰知識認知到抽象邏輯推斷的轉(zhuǎn)變.一方面，知識的高度凝練與高度抽象決定了小學數(shù)學思維進階具備著層次化特征，學生對數(shù)學表象知識的認知是一種形象化的認知，是對個別數(shù)學符號與概念屬性的一種直觀領會，體現(xiàn)為生動性的感官理解.此階段下，小學生在掌握了最基本的數(shù)學語言形式后，必然會自發(fā)地進行形而上的邏輯思考，這種思考是超驗的，需要結(jié)合自身的思維特點與邏輯特征對各種各樣的形式豐富的數(shù)學符號與數(shù)學概念加以整合，最終形成系統(tǒng)化的抽象認知.［2］另一方面，知識的層次化也決定了小學數(shù)學思維進階的階段性.小學階段年級跨度較大，數(shù)學知識的難易程度呈現(xiàn)出一種由易到難的趨勢性變化.因此，小學數(shù)學思維進階必須要注重數(shù)學語言的傳授與解讀，幫助學生主動思考數(shù)學語言蘊藏的內(nèi)在機理與邏輯形式.

1.2" 認同與批判：橫向比較與縱向探究

如果說明晰與默會階段的學生是在具體的、整體的知識框架下進行某個問題或某個知識群落的思考，那么認同與批判則是促進學生從單純的數(shù)學概念學習，到理智的數(shù)學思維認同的轉(zhuǎn)變.此階段是小學中高年級段學生的思維進階階段，相較于低年級段，此階段的思辨性特征更加凸顯，具體體現(xiàn)為學生更加關注數(shù)學概念的比較與探究.從橫向角度來說，學生思維進階是一種關聯(lián)性知識的辯證思考，學生能夠?qū)ν惞脚c定理進行邏輯上的梳理與概念推斷；從縱向角度來說，學生思維進階是一種認識水平的重新塑造，能夠?qū)ι钆c學習中獲取到的碎片化知識進行重新整合.此階段著重體現(xiàn)為橫向素材的佐證對比以及縱向素材的傳承創(chuàng)新，以此來推動學生數(shù)學思維的不斷進階.［3］一方面，在科學的教學體系運作下，數(shù)學語言的抽象性同歸邏輯這一形式被提煉、整合最終被學生吸收，從而形成獨特的數(shù)學意識.學生在這種對數(shù)學知識淺層次認知向深層次結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化下，數(shù)學思維逐步轉(zhuǎn)向抽象化、邏輯化與規(guī)律化的深層次認知，進而打造出具有自身特性與抽象思維的個性數(shù)學認知.另一方面，數(shù)學知識的表意學習能夠在具象化概念中，幫助學生科學地、合理地表達數(shù)學基本觀念，從而提出自身觀念或發(fā)展中存在的問題.借助于數(shù)學知識的高嚴謹性與高標準性，學生的思考過程與思維進階得以不斷的糾偏與反思.

1.3" 再現(xiàn)與創(chuàng)造：思想具化與行為實踐

從教育實踐與教育經(jīng)驗來看，學生在初級學習階段下的思維模式主要以實踐思維為主導，思維作為行動的導向，其最終的培養(yǎng)重點與價值實踐也在于實踐.其中的區(qū)別在于學習者的實踐是一種“行為實踐”還是“實踐行為”.前者是一種由外而內(nèi)的行為遵循，后者則是一種考性的實踐理性行為.［4］由此可見，“行為實踐”可稱為是學習者對數(shù)學基本邏輯結(jié)構(gòu)的重塑體現(xiàn)，“實踐行為”則是一種在具備充足數(shù)學素養(yǎng)下進行的具有思考性與創(chuàng)造性的數(shù)學實踐活動.這一階段的數(shù)學思維進階不再局限于數(shù)學學科本身，而是兼具著跨學科、跨領域的社會屬性，重點在于培養(yǎng)學生的知識應用與思維轉(zhuǎn)化能力.此階段的學生面對的數(shù)學問題更加多元與開放，對該問題的解答往往不能局限于單一的數(shù)學知識，需要結(jié)合其他領域的內(nèi)容進行思考.因此，此階段需要將前兩個階段學生形成的數(shù)學思維進行具體化與實踐化的轉(zhuǎn)化，能夠在系統(tǒng)性的數(shù)學模型以及綜合化的教學模式下構(gòu)建出解決問題的情境與培養(yǎng)解決問題的思維能力.

2" 建模思維視角下的小學數(shù)學的思維進階形態(tài)

數(shù)學語言的一般定義指的是以數(shù)學概念、定理和規(guī)律為基本規(guī)則，以各類數(shù)學符號與數(shù)學概念為主要元素，按照特定的思維模式與規(guī)則構(gòu)建出的一種語言體系.傳統(tǒng)教學模式下尤其注重數(shù)學語言的講授，并以數(shù)學語言對話這一形式開展教學活動.在小學數(shù)學的思維進階形態(tài)中，數(shù)學語言對話是一種早期階段的形態(tài)模式，建模思維視角下學生的思維進階必須要實現(xiàn)數(shù)學語言對話向建模思維養(yǎng)成的進階轉(zhuǎn)化.小學數(shù)學思維進階形態(tài)具有三種特性，即螺旋性、無限性與延展性.對上述三種形態(tài)特征進行綜合概括，思維進階在整合不同層次的碎片化知識中，指向數(shù)學學科的本質(zhì)規(guī)律從而延展到學生的解決實際問題能力以及創(chuàng)新能力等綜合素質(zhì)的培養(yǎng).［5］由此可見，如果試圖使用某種思維來概括小學數(shù)學思維進階的高層次形態(tài)，那么本文將其定義為，是一種能夠抽象現(xiàn)實知識、具象數(shù)學語言再到實踐應用的循環(huán)思維能力，即數(shù)學建模思維的形成.

2.1" 從對話到建模：小學數(shù)學思維賦能的形態(tài)轉(zhuǎn)向

數(shù)學模型作為一種模型思想，在教學實踐中的應用主要是為了能夠系統(tǒng)化地解決各種類型的教學問題，也是適應當前新經(jīng)濟形勢下各類社會問題需求的數(shù)學思想之一.小學數(shù)學教學對數(shù)學模型的應用主要體現(xiàn)為建模意識以及建模思維的養(yǎng)成與優(yōu)化，能夠引導學生，利用正確的、合適的數(shù)學語言表述數(shù)學建模過程，并正確理解、認知數(shù)學建模的內(nèi)在機理與本質(zhì)含義.針對小學生的生理特點，數(shù)學建模思維的培養(yǎng)，也是一種從學習對話到思維建模的轉(zhuǎn)變過程.一方面，小學數(shù)學思維賦能的起始階段強調(diào)對個性問題的解決，形態(tài)轉(zhuǎn)向下則需要學生能夠向解決共性問題加以轉(zhuǎn)變.數(shù)學語言主題對話中的訓練更多的是一種思維鍛煉形式，學生能夠?qū)ψ陨淼臄?shù)學語言表達、數(shù)學知識認知以及數(shù)學問題思考進行轉(zhuǎn)變.與之相對，數(shù)學建模則是一種模型設計方式，是學科內(nèi)部知識向外部實踐應用的形態(tài)轉(zhuǎn)化，側(cè)重于對各種形態(tài)、規(guī)模的共性數(shù)學問題的分類措施制定.另一方面，對話到建模小學數(shù)學思維賦能的形態(tài)轉(zhuǎn)向，也可稱之為是顯性數(shù)學知識向隱性邏輯規(guī)律的探究轉(zhuǎn)化.［6］數(shù)學對話雖然在形式上與內(nèi)容上也會注重數(shù)學定理與相關邏輯規(guī)律的探究，但是這種探究是一種任務型的教學活動，強調(diào)知識的記憶與學習的規(guī)范.而數(shù)學建模則更加強調(diào)能夠在已有知識基礎上，對現(xiàn)有問題進行重新解構(gòu)與理解認知，整合當前要素形成具有數(shù)學邏輯與個性思維的數(shù)學模型.

2.2" 從片段到連貫：小學數(shù)學建模思維的形態(tài)框架

小學數(shù)學建模思維作為小學數(shù)學思維進階的最終形態(tài)，并不要求其能夠在現(xiàn)實生活中進行實際應用，而是強調(diào)數(shù)學知識的內(nèi)化、滲透與綜合運用.具體到小學數(shù)學教育層面，則體現(xiàn)為教師對學生數(shù)學模型的感知能力培養(yǎng)以及數(shù)學問題鏈的構(gòu)建.由此可見，小學數(shù)學建模思維是生成于實踐問題，最終在數(shù)學知識以及學生已有的數(shù)學經(jīng)驗基礎上，進一步制定出最終的解決方案.從這一角度來說，小學數(shù)學建模思維的形態(tài)進階，強調(diào)知識的片段獲取以及知識的連貫性設計.小學數(shù)學學習的第一階段層面是一種連貫學習向片段學習過渡的過程，即按照不同主題與不同問題類型，實現(xiàn)對數(shù)學知識的橫縱向?qū)Ρ扰c挖掘.此過程是一種知識資源的整合過程，也是幫助學生擺脫教師教學依賴，能夠圍繞一個核心主題獨立思考問題的過程.在此過程中，學生能夠通過搭建數(shù)學模型找尋問題的最優(yōu)解，并實現(xiàn)對模型的不斷優(yōu)化與完善.小學數(shù)學學習的第二階段層面，是一種知識應用上的片段到連貫.現(xiàn)階段小學數(shù)學教學是一種階段性的目標式教學，即按照教師預設的教學目標任務進行逐層推進.［7］學生建模思維的培養(yǎng)，必須要實現(xiàn)對數(shù)學知識的邏輯關系串聯(lián)以及思想深化的由淺入深，并為學生提供具有選擇性的解題工具與解題路徑.在這個過程中，逐步引導、促進學生形成系統(tǒng)化的數(shù)學知識體系與數(shù)學知識架構(gòu)，并能夠借助于思維導圖這一形式加以呈現(xiàn)，并要求學生能夠?qū)Ω鱾€關鍵概念與數(shù)學定理進行全面掌握.

2.3" 從學思到踐悟：小學數(shù)學思維品質(zhì)的形態(tài)標尺

數(shù)學建模思維之所以是小學數(shù)學思維進階的首選，其根本原因在于建模思維在以數(shù)學學科為生成點的基礎上又超越了單一的數(shù)學學科知識內(nèi)容，并產(chǎn)生了具有跨學科、跨領域的社會屬性特征.目前來說，因為現(xiàn)階段小學數(shù)學知識的組織架構(gòu)以及小學數(shù)學教學要求的提高，教學重點已經(jīng)從原本的學科專業(yè)知識學習不斷向社會屬性的實踐性學習進行轉(zhuǎn)化，更加注重小學數(shù)學思維品質(zhì)的實踐領悟考量.與此同時，數(shù)學應用的基礎，是數(shù)學語言以及數(shù)學知識持續(xù)性的動態(tài)科學認知.在這種要求促進學生能力素養(yǎng)發(fā)展的時代背景下，小學數(shù)學思維進階本身就包含著滿足學生素養(yǎng)提升的基本要求，需要引導學生能夠利用科學思維對知識框架內(nèi)的實際問題進行解決與思考.此過程需要明確，數(shù)學實踐應用是數(shù)學思維品質(zhì)的一種具象化體現(xiàn)，也是淬煉、培養(yǎng)學習者數(shù)學思維品質(zhì)的重要舉措.而達成這一目的的前提，是實現(xiàn)數(shù)學模型不斷優(yōu)化，并推動數(shù)學思維進階的集中體現(xiàn).此外，數(shù)學語言向數(shù)學建模的進階并非是彼此孤立存在，而是二者互為表里、共同發(fā)展的螺旋式上升姿態(tài).［8］因此，教師必須要統(tǒng)籌二者關系并進一步發(fā)揮二者的協(xié)同效應，切實推動小學生數(shù)學思維品質(zhì)的提高.

3" 結(jié)語

綜上所述，小學數(shù)學思維進階是一項綜合性、系統(tǒng)性的教學工程，自有其內(nèi)在的統(tǒng)一的基本規(guī)律與運行脈絡.如果將學生對數(shù)學語言的認知與運用看做是數(shù)學思維進階的起始點，那么對數(shù)學知識的綜合運用與脈絡開發(fā)，則是小學數(shù)學思維更高層次的實踐利用.前者是對數(shù)學語言與數(shù)學知識的認知，后者則是對數(shù)學思維與數(shù)學規(guī)律的運用，二者的交叉融合推動著小學數(shù)學思維進階的螺旋上升.

參考文獻

［1］李吉印. 設計核心問題，培養(yǎng)學生數(shù)學思維——以人教版小學數(shù)學教學為例［J］. 教學管理與教育研究，2023，8（11）：71--73．

［2］耿紅妹. 圖文并茂畫數(shù)學" 創(chuàng)新多樣做數(shù)學——思維導圖在小學數(shù)學復習課中的運用［J］. 小學生（中旬刊），2023（5）：139--141．

［3］鄭建卿. 讓思維之花在小學數(shù)學課堂悄然綻放——“雙減”背景下提升學生數(shù)學思維能力探究［J］. 名師在線，2023（16）：23--25．

［4］田道龍. 小學數(shù)學思維能力的培養(yǎng)——以“長方形和正方形周長計算”為例［J］. 數(shù)學學習與研究，2023（10）：68--70．

［5］溫琪. “思維可視化”在小學數(shù)學教學中的實踐與思考研究［J］. 數(shù)學學習與研究，2023（8）：44--46．

［6］董倩蘭. 教改路上的那些事——融合信息技術的小學數(shù)學思維發(fā)展型課堂教學創(chuàng)新［J］. 課堂內(nèi)外（高中版），2023（4）：45．

［7］侯靜. 小學數(shù)學教學中如何培養(yǎng)數(shù)學思維的發(fā)展［C］//對接京津——社會形態(tài)基礎教育論文集.廊坊：廊坊市應用經(jīng)濟學會，2022：1382--1385．

［8］陳春梅，王圣瑋. 基于數(shù)學思維的小學地方紅色研學旅行課程設計研究——以泉州惠安革命歷史紀念館為例［J］. 黑龍江教師發(fā)展學院學報，2022，41（11）：95--98．

［9］黃舟.小學數(shù)學教學中積極語言使用的探索［J］.數(shù)學之友，2023，37（1）：15-17.

［10］周艷飛.從單元整體教學設計到課時教學的實施路徑——以蘇教版數(shù)學三年級下冊《年、月、日》為例［J］.數(shù)學之友，2023，37（1）：34-35.

［11］羅柳萍.教、學、評一致性的小學數(shù)學“數(shù)與運算”單元整體教學實踐研究——以“三位數(shù)乘兩位數(shù)”為例［J］.數(shù)學之友，2023，37（12）：30-34.

［12］鄭復祥.小學數(shù)學生活化教學路徑分析［J］.數(shù)學之友，2023，37（13）：18-21.

［13］黃偉東.“雙減”背景下小學數(shù)學課堂核心問題設計的現(xiàn)狀及干預策略研究［J］.數(shù)學之友，2023，37（13）：24-27+31.