生活中有數(shù)學嗎？

摘" 要：從數(shù)學哲學的視角來講，由于數(shù)學的本質是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，從現(xiàn)實生活中抽象出來的數(shù)學在現(xiàn)實生活中就不存在或者說數(shù)學脫離了現(xiàn)實生活.因此在小學數(shù)學中我們不要強調“生活中處處有數(shù)學”，正確而嚴謹?shù)恼f法應該是：現(xiàn)實生活中雖然處處不存在數(shù)學，但是數(shù)學在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用性.數(shù)學的生活化在一定程度上說明了生活中沒有數(shù)學，否則如果生活中有數(shù)學，那么就沒有必要對數(shù)學進行生活化.從數(shù)學知識表示論的角度來講，數(shù)學教材中的符號語言也僅僅是一種表示數(shù)學思想內容的工具，當然數(shù)學的表示工具是很多的.

關鍵詞：生活中有數(shù)學嗎；小學數(shù)學；教育哲學

1" 問題提出

在小學數(shù)學教材中強調了生活中有數(shù)學，一些學者也強調生活中有數(shù)學［1］［2］［3］［4］［5］［6］，其理由是數(shù)學來源于現(xiàn)實生活.但是很少有人反思過這樣一個問題：生活中究竟有沒有數(shù)學？對于這個問題其實是很難回答的，或者說不是一句話就可以說清楚的.生活是豐富多彩的，并且生活越豐富，數(shù)學與其他學科的界限就越模糊.數(shù)學從兩千多年前發(fā)展到今天，已經成為一棵參天大樹，也已經向其他學科和現(xiàn)實生活中滲透，數(shù)學與現(xiàn)實生活的邊界當然是模糊的.從這個意義上講，生活中是否有數(shù)學是值得思考的一個問題，而且回答這個問題需要分情況討論.對這個問題我們不應該隨聲附和他人，而應該有自己獨到的見解或認識.首先需要強調的是生活中有沒有數(shù)學取決于數(shù)學的定義.一個更為聳人聽聞的問題是數(shù)學如果真的沒有定義，那么生活中還有數(shù)學嗎？其實大家不用擔心這個問題，這個問題早就被二十世紀的大哲學家維特根斯坦解決了，他認為美是無法定義的，因為各種各樣的美沒有共同的本質屬性，最多有家族相似的成分，但是美卻在生活中無處不在.顯然一個東西沒有定義，并不能說在現(xiàn)實生活中這個東西不存在，也就是說，即使數(shù)學沒有定義，但是數(shù)學在現(xiàn)實生活中也是可能存在的，因此下面我們僅僅考慮數(shù)學定義存在性的情況.

2" 文化不同，對“生活中有數(shù)學嗎”的回答也是不同的

關于數(shù)學的定義仍然是很多的，但是真正把數(shù)學定義在生活之中的倒是不多見，尤其西方學者對數(shù)學概念的定義更是如此，他們把數(shù)學當作哲學一樣看待，認為數(shù)學是一門純粹的學科或者說理論科學，即使數(shù)學在現(xiàn)實生活中有著極為廣泛的應用性.數(shù)學作為一門心靈自然科學，作為一門精神自然科學，其研究對象和研究方式都是心靈的構造.數(shù)學是量的科學，數(shù)學是無限的科學，數(shù)學是結構的科學，數(shù)學是模式的科學，數(shù)學是發(fā)明的科學，數(shù)學是發(fā)現(xiàn)的科學，數(shù)學是思維的科學［7］，數(shù)學是經驗的科學，數(shù)學是演繹的科學等.對數(shù)學是什么的理解筆者還能舉出很多，但是從西方學者的觀點出發(fā)，我們是看不出數(shù)學的實用主義觀點的，但是在中國數(shù)學文化中，可能強調數(shù)學的實用性.春秋時期數(shù)學是六藝之一的學問，到了南北朝時期教育家顏之推說：“算術亦是六藝要事.自古儒士論天道.定律歷者，皆學通之.然可以兼明，不可以專業(yè).”［7］這就凸顯了文化的不同，對數(shù)學認識也是不同的.

但是數(shù)學的本質是抽象的，是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，既然從現(xiàn)實生活中抽象出來，就在現(xiàn)實生活中不存在了，從這個意義上講，生活中是沒有數(shù)學的.我們通常認為數(shù)學有三個性質：一個是高度的抽象性，一個是嚴謹性，一個是廣泛的應用性，其實這三個性質中，最后一個性質與第一個性質是有關系的，高度的抽象性派生出了廣泛的應用性，如果數(shù)學不是抽象的，那么就不會有廣泛的影響性.其實我們也可以從古希臘數(shù)學家歐幾里得的《原本》看出來，這部數(shù)學巨著是一個公理化的體系，沒有一個實用性的數(shù)學問題.歐幾里得可能認為生活中是沒有數(shù)學的，柏拉圖也可能認為數(shù)學存在于理念的世界.但是從中國古代數(shù)學的角度來看，生活中的確是充滿了數(shù)學，因為中國古代數(shù)學就是實用的科學，這點上文已經強調過.《九章算術》就是解決在中國傳統(tǒng)社會生產生活中產生的實際問題的著作，可以這樣講，《九章算術》中的246個問題都是密切聯(lián)系中國傳統(tǒng)社會生活活動的.因此從中國傳統(tǒng)數(shù)學文化的視角來講，數(shù)學在現(xiàn)實生活中的確是存在的，但是上文也說過，在西方古代社會乃至現(xiàn)代社會.絕大多數(shù)的數(shù)學家不會承認數(shù)學在生活中存在.例如上個世紀英國大數(shù)學家哈代就認為數(shù)學應該是純粹數(shù)學或理論數(shù)學，數(shù)學是沒有實用價值的，至少他認為數(shù)論是沒有實用價值的.以上是從數(shù)學史的視角或中西方數(shù)學文化的視角強調了數(shù)學在生活中的不同情況.但是是針對小學數(shù)學或小學生而言，數(shù)學在現(xiàn)實生活中存在嗎？

3" 生活中有數(shù)學與用數(shù)學解決生活中的問題是兩個概念

從數(shù)學的研究對象來講，數(shù)學在現(xiàn)實生活中是不存在的.數(shù)學與自然科學是不一樣的，自然科學的研究對象在現(xiàn)實生活中是存在的，但是數(shù)學研究對象在現(xiàn)實生活中是找不到的，從人類社會中也是找不到的.從這個意義上講，生活中就沒有數(shù)學，生活中的東西都是可以看得見的，摸得著的，甚至是有變化的、會消失的和有缺點的等，但是抽象的數(shù)學是看不到的.從這個意義上講，在生活中是不存在數(shù)學的.有學者說了數(shù)學可以解決現(xiàn)實生活中的問題，這種觀點也是沒有錯的.語文與物理也能解決現(xiàn)實生活中的問題，問題是能夠解決現(xiàn)實生活中的問題與在生活中存在某種東西是兩回事，能夠用數(shù)學解決現(xiàn)實生活中的問題，并不能推導出生活中有數(shù)學；能用哲學解決現(xiàn)實生活中的問題，也同樣不能說生活中有哲學.應用數(shù)學解決現(xiàn)實生活中的問題并不等于現(xiàn)實生活中有數(shù)學.從這個意義上講，生活中是沒有數(shù)學的.既然是這樣，在某些場合為什么還強調生活中有數(shù)學呢？其實我們也可以從上文強調的數(shù)學的三個性質來探討生活中有數(shù)學與數(shù)學在生活中具有廣泛的應用是兩回事.上文強調數(shù)學具有抽象性，數(shù)學的抽象性充分說明了數(shù)學已經脫離了現(xiàn)實生活，因為現(xiàn)實生活是具體的、形象的，但是數(shù)學是抽象的，抽象的數(shù)學與具體形象的生活是水火不相容的，二者是矛盾的，因此現(xiàn)實生活中不存在數(shù)學.數(shù)學應用的廣泛性雖然與數(shù)學的抽象性是有關系的，但是應用的廣泛性并沒有否定數(shù)學的抽象性，而只會肯定數(shù)學的抽象性.如果現(xiàn)實生活中有數(shù)學，那么數(shù)學就是具體的、形象的，而具體的形象的東西不可能是理論，也不可能有著廣泛的應用性，只有抽象的數(shù)學理論才可能具有廣泛的應用性，而且數(shù)學的廣泛應用性事實上是把現(xiàn)實生活中的問題轉化為數(shù)學問題，應用數(shù)學的理論來解決的.從這個意義上講，數(shù)學廣泛的應用性與數(shù)學的抽象性或脫離現(xiàn)實生活性是不矛盾的，而且現(xiàn)實生活中的問題如果不轉化為數(shù)學問題，在一定的條件下也是不容易解決的.總之，生活中有數(shù)學與數(shù)學在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用性二者并不是一回事，我們要否定前者，也要肯定后者，因為只有這樣才與現(xiàn)實情況是吻合的.

4" 強調生活中有數(shù)學的理由

在小學數(shù)學教材中或一些學者強調生活中有數(shù)學的原因是：教學的需要.老師強調了生活中處處有數(shù)學，拉近了數(shù)學與小學生的距離，數(shù)學就在小學生身邊，數(shù)學是平易近人的，是通俗易懂的，是看得見、摸得著的，是具體形象的.這樣就可能使學生對數(shù)學更容易產生興趣，學習數(shù)學變得更為容易，也可能為小學生學習數(shù)學樹立自信心.當小學生在數(shù)學中遇到難題的時候，可以對照現(xiàn)實生活，在現(xiàn)實生活中尋找到類似的例子或解決方案，以此更好地化解數(shù)學的抽象性.畢竟數(shù)學雖然是抽象的，但是它來源于現(xiàn)實生活，是可以還原到現(xiàn)實生活中的一些具體的事物的.小學數(shù)學在一定程度上講是模糊數(shù)學，從概念的層面來講更是如此，生活與數(shù)學的邊界還是比較模糊的，上文強調過該點，數(shù)學與生活的邊界模糊性也說明了生活中有數(shù)學是有一定道理的.強調生活中有數(shù)學也是由小學生的思維特點決定的，小學生的思維特點是具體形象思維與抽象思維相結合，或者說小學生的思維在逐漸地由具體形象思維向抽象思維過渡，在這個階段不能讓他們接受完全抽象枯燥而沒有情感的數(shù)學，而應該讓其接受充滿生活化的數(shù)學，生活化的數(shù)學中生活是具體形象的，雖然數(shù)學是抽象的，但是二者的融合令小學生更容易理解.從這個意義上講，把小學數(shù)學定義為生活中的數(shù)學雖然不符合所謂科學的數(shù)學定義，但是在一定程度上符合小學生的認知規(guī)律，更為貼近小學生的現(xiàn)實生活.其實當我們強調了生活中處處有數(shù)學的時候，實際上就是強調數(shù)學應用的廣泛性.如果數(shù)學在兒童的現(xiàn)實生活中應用的范圍很小很小，那么生活中就不可能處處有數(shù)學.以上是強調生活中有數(shù)學這種觀點合理性的一方面.

5" 強調生活中有數(shù)學的弊端

以上說明了對小學數(shù)學而言，說生活中處處有數(shù)學具有一定的合理性，符合人們提倡的數(shù)學要生活化的精神，但是對成人或高中生，尤其是研究數(shù)學專業(yè)的博士生或碩士生，甚至本科生來講，他們就未必相信現(xiàn)實生活中會有數(shù)學，他們可能認為數(shù)學就是從現(xiàn)實生活中抽象出來的，數(shù)學本身就是脫離現(xiàn)實生活的，甚至有些數(shù)學概念是二次抽象過來的，數(shù)學已經遠遠脫離了現(xiàn)實生活.從這個意義上講，對小學生強調生活中處處有數(shù)學其實也是有缺點的，扭曲了數(shù)學脫離現(xiàn)實生活的本質屬性.數(shù)學在現(xiàn)實生活中是不存在的，但是我們老師為了更好地讓小學生學習數(shù)學，竟然欺騙小學生說現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學，有點“忽悠”小學生.我們老師應不應該欺騙小學生呢？從師德的角度來講是不應該的.如果小學生長大之后認識到生活中沒有數(shù)學，感覺到上小學的時候老師是欺騙自己，會有什么想法呢？而且筆者擔心的一件事是，作為天生哲學家的兒童會不會問老師：“既然現(xiàn)實生活中有數(shù)學，那么我怎么發(fā)現(xiàn)不了數(shù)學呢？或者說數(shù)學在什么地方呢？”或者學生會這樣問：“既然生活中有數(shù)學，那么數(shù)學長什么樣子？”脫離具體的事物，在現(xiàn)實生活中是很難找到數(shù)學的.對于這樣的問題，作為老師的我們又該如何回答呢？這可能是對我們老師的挑戰(zhàn).對這樣一系列的問題，我們其實是很難回答的.我們會舉個例子說，買東西需要用到數(shù)學，但是學生也可能會反駁，買東西雖然可能用到數(shù)學的計算，但是數(shù)學計算不存在于現(xiàn)實生活中啊.數(shù)學計算僅僅存在于我們的大腦中或計算器之中，而這些都不是生活的概念.存在的數(shù)學可能是超市小票中的價格與斤數(shù)，而價格與斤數(shù)是用阿拉伯數(shù)字表示的，但是阿拉伯數(shù)字是來自于現(xiàn)實生活嗎？顯然不是的，它們是抽象的數(shù)學符號！在現(xiàn)實生活中有阿拉伯數(shù)字嗎？阿拉伯數(shù)字最初是在數(shù)學書上的，在現(xiàn)實生活中顯然是不存在阿拉伯數(shù)字的.

張景中院士和彭翕成教授在數(shù)學知識的表示論中強調，數(shù)學知識是需要表示出來的，他們就舉了一個例子，羅馬數(shù)字的算術與阿拉伯數(shù)字的算術，盡管算題時得出同樣的結果，但在教育效果上的差別是顯而易見的.［8］從小學數(shù)學教材的角度來講，小學數(shù)學教材中通常用的是阿拉伯數(shù)字，這個事實上就說明了阿拉伯數(shù)字比羅馬字母在計算中更為方便.從這個意義上講，阿拉伯數(shù)字也不是數(shù)學，它僅僅作為工具來方便地表示數(shù)學，也就是說在表示數(shù)學知識的時候，我們要選擇恰當?shù)墓ぞ?，這點是很重要的.這也說明了小學數(shù)學教材中的符號、字母等不是數(shù)學的內容，它們僅僅作為工具來表示數(shù)學的內容.數(shù)學的內容在哪里，在我們觀念之中，在我們的思想之中，而不僅僅在書本上，在書本上的僅僅是表示數(shù)學的工具.從這個意義上講，不僅生活中沒有數(shù)學，就是教材中也是沒有數(shù)學的.教材中的數(shù)學，如果讓動物去看，那么它們肯定看不出來是數(shù)學，教材中的數(shù)學躺在那里不動，僅僅是一堆符號，不會是數(shù)學，只有能夠看懂這些符號語言的人才懂它們，但是即使如此，數(shù)學書上的符號語言也僅僅是表示數(shù)學知識的工具而已，是數(shù)學知識的表示符號，而不是數(shù)學的本質或內容，數(shù)學的內容與本質在哪里？在我們的觀念和大腦之中.

6" 建議

從以上可以看出，向小學生強調生活中處處有數(shù)學有積極的一方面，但是消極的一方面也是存在的.如果遇見一些有質疑、反思和批判精神的小學生，他可能會不斷地追問下去，作為小學數(shù)學老師，未必能夠真正回答這么多的為什么.因此筆者的建議是：不要強調現(xiàn)實生活中處處有數(shù)學，因為這樣做有欺騙小學生的嫌疑，可能也禁不起小學生的不斷追問.應該強調現(xiàn)實生活中雖然處處沒有數(shù)學，但是數(shù)學在現(xiàn)實生活中處處得到了廣泛的應用，它可以解決很多現(xiàn)實生活中的問題，這樣說一方面沒有扭曲數(shù)學抽象而脫離現(xiàn)實生活的本質，另一方面拉近了小學生與現(xiàn)實生活的距離，對培養(yǎng)小學生對數(shù)學的興趣和數(shù)學素養(yǎng)同樣具有積極的意義和影響.當然也有人說現(xiàn)實生活中是有數(shù)學的，只不過現(xiàn)實生活中的數(shù)學是應用數(shù)學，而不是純粹的理論數(shù)學.這種觀點也是不正確的，即使是應用數(shù)學，其數(shù)學的理論也是在現(xiàn)實生活中不存在的，應用數(shù)學只不過是應用數(shù)學的理論來解決現(xiàn)實生活中的問題，而且要先把現(xiàn)實生活中的問題轉化為數(shù)學問題，之后才能用數(shù)學理論解決.有些小學生可能會打破砂鍋問到底：“像1、2、3、4、＋、－、×、÷、＝是數(shù)學嗎？難道數(shù)學就是這些符號嗎？”上面探討過這種問題，這些符號僅僅是表示數(shù)學的工具，而不是數(shù)學，但是在某種程度上尤其是小學階段，可以說數(shù)學就是以簡潔而抽象的符號語言為工具的，但是深入來講，數(shù)學不僅可以用符號語言作為工具來表示，數(shù)學也可以用其他的語言作為工具來表示，甚至數(shù)學可以用現(xiàn)實生活中存在的具體的東西來表示，當然這種表示有時候可能不太方便.總之，數(shù)學是用簡潔而抽象的符號語言為工具來表示的一門學科.但是小學數(shù)學的抽象程度不是太高，抽象的數(shù)學符號語言也不是太多.說到這里，數(shù)學雖然是用符號語言表達的，但是這似乎仍然沒有揭示數(shù)學的本質，數(shù)學的本質是什么？數(shù)學的本質就是用這些符號語言為工具表達的抽象之物或觀念之物，用恩格斯的話來講就是，數(shù)學——一種研究思想事物（雖然它是現(xiàn)實的摹寫）的抽象的科學.［9］從這個定義可以看出，數(shù)學是研究人類思想事物的抽象科學，顯然在自然界和人類社會中是不存在的，它存在于我們的思維之中.總之，數(shù)學在現(xiàn)實生活中是不存在的，這句話如果細分的話，包括兩層意思，第一層意思是說自然界中是沒有數(shù)學的研究對象的，第二層意思是說人類社會中也是沒有數(shù)學的研究對象的.那么數(shù)學的研究對象在哪里？在我們的思想觀念之中，這些可以用簡潔而抽象的數(shù)學符號作為工具表達出來，以便于應用和教學研究等.

參考文獻

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［9］趙寶榮，于文艷.小學數(shù)學課程與教學［M］.上海：復旦大學出版社，2023．