解答三角函數(shù)最值問題的兩種思路

三角函數(shù)最值問題通常要求根據(jù)函數(shù)的定義域求得某個(gè)三角函數(shù)的最大值、最小值.此類問題一般會(huì)綜合考查三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、公式、圖象等.解答此類問題的思路很多，本文主要談一談下面兩種思路.

一、利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)

解答三角函數(shù)最值問題，通常要用到三角函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和有界性.在解題時(shí)，要先靈活運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式、兩角的和差公式、輔助角公式等，將三角函數(shù)式化為最簡(jiǎn)形式，即只含一種函數(shù)名稱、一個(gè)角的式子；然后根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)式的最大值及最小值.

例1.已知x∈[-，]，求函數(shù)f（x）=5 sin x+5?cos x的最值.

解：f（x）=5 sin x+5 cos x=10 sin（x+），

因?yàn)閤∈[-，]，所以x+∈[-，]，

則函數(shù)f（x）在[-，]上單調(diào)遞增，在[，]上單調(diào)遞減，

=-，即x=-時(shí)，f（x）min=-5，

當(dāng)x+=，即x=時(shí)，f（x）max=10，

所以f（x）=5 sin x+5 cos x的最大值為10，最小值為-5.

解答本題，要先利用輔助角公式將函數(shù)式化為正弦函數(shù)式；然后根據(jù)函數(shù)f（x）在[-，]上的單調(diào)性，確定f（x）的最值.

例2.已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的最小值.

解：

我們要先令t=cos x+3，通過換元，將函數(shù)式化為二次函數(shù)式；再將其配方，根據(jù)二次函數(shù)的有界性和單調(diào)性，求得函數(shù)y=-8-2+在[，]上的最值.

二、數(shù)形結(jié)合

在解答三角函數(shù)最值問題時(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，能夠極大地提高解題的效率.在解答三角函數(shù)最值問題時(shí)，可以根據(jù)三角函數(shù)的解析式作出相應(yīng)的圖象；然后觀察圖象的位置、變化趨勢(shì)等，確定函數(shù)取得最值的情形；最后建立新的關(guān)系式，求得最值.

例3.

解：

首先換元，將函數(shù)式化為f（x）=（0≤a≤1，0≤b≤1）；然后將點(diǎn)P（a，b）視為單位圓上的一點(diǎn)，那么=-cosθ;再討論圓上P點(diǎn)的臨界情形，即可根據(jù)直線的斜率公式求得最值.

總之，無論運(yùn)用哪種方法解答三角函數(shù)最值問題，都要先將三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)；然后借助函數(shù)的性質(zhì)、圖象來求最值.在日常的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們要學(xué)好函數(shù)知識(shí)，并學(xué)會(huì)將知識(shí)融會(huì)貫通起來.這樣才能有效地提高解題的效率.