例談二項(xiàng)分布的應(yīng)用技巧

我們知道，在相同條件下重復(fù)做n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱(chēng)為n次伯努利試驗(yàn).若A（=1，2.·，n）表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，根據(jù)乘法概率公式可知P（A1A2A3·A）=P（A1）P（A2）·P（A）.那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p），并稱(chēng)p為成功概率.在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X=k）=Cp2（1-p）\"-（k=0.1，2，··，n）.

這就是說(shuō)，二項(xiàng)分布適用于求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率.一般地，若（1）每次試驗(yàn)中只有兩個(gè)對(duì)立的結(jié)果；（2）各次試驗(yàn)中的事件都是相互獨(dú)立的；（3）每次試驗(yàn)中某個(gè)事件發(fā)生的概率是相同的.那么，某事件發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布.在運(yùn)用二項(xiàng)分布解題時(shí)，需先確保：（1）實(shí)驗(yàn)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；（2）隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布；然后再根據(jù)事件A恰好發(fā)生k次的概率公式P（X=k）=Cp2（1—p）（k=0，1，2，··，n）求概率.

下面舉例加以說(shuō)明.

例1.已知某位射擊運(yùn)動(dòng)員每一次擊中目標(biāo)的概率是0.8，且每次射擊互不影響，求這名運(yùn)動(dòng)員在5次射擊中命中的次數(shù)X的分布列.

解：

本題中“每次射擊互不影響”實(shí)質(zhì)就是指事件的獨(dú)立性，即運(yùn)動(dòng)員每次射擊是相互獨(dú)立的，5次射擊就是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此比賽中命中的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B（5）分布，即X～B5，.再根據(jù)事件A恰好發(fā)生k次的概率公式P（X=k）=Cp2（1-p）°+（k=0，1，2，·，n）求解即可.

例2.某單位為了增強(qiáng)職工學(xué)習(xí)的興趣和積極性，開(kāi)展了知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，規(guī)則如下：共有5題，答對(duì)得2分，答錯(cuò)不得分.已知小王答對(duì)每題的概率為，且每次答題正確與否互不影響.求小王在5次答題后的總得分X的數(shù)學(xué)期望.

解：

本題中總得分X不服從二項(xiàng)分布，但是小王每次答題正確與否互不影響，這說(shuō)明小王答每道題都是相互獨(dú)立的，且每題答對(duì)的概率都是，則小王答對(duì)題目的個(gè)數(shù)Y服從二項(xiàng)分布.且得分和答對(duì)題目個(gè)數(shù)成唯一線性的關(guān)系，所以利用二項(xiàng)分布和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，就能快速、準(zhǔn)確地獲得問(wèn)題的答案.

例3.已知甲乙兩隊(duì)參加一場(chǎng)排球比賽，采用5局3勝制，即先贏3局者獲勝.已知一局比賽中甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果互不影響.求甲乙完成4局比賽，且甲獲勝的概率.

解：甲乙完成4局比賽，且甲獲勝，即甲以3∶1獲勝，這也就是說(shuō)，第4局比賽，甲必須贏且前3局比賽中甲只能贏2局，則有：負(fù)勝勝勝、勝負(fù)勝勝、勝勝負(fù)勝三種情況.

所以P（A）=×××+×××+×××=C3（2）2×（（1-×=.

4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有3次發(fā)生包含以下幾種情形：負(fù)勝勝勝、勝負(fù)勝勝、勝勝負(fù)勝、勝勝勝負(fù)，不難發(fā)現(xiàn)最后一種情況其實(shí)是不需要進(jìn)行第4局比賽的.所以前3局比賽中甲獲勝的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，且每局比賽結(jié)果互不影響，所以求4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰有3次發(fā)生的概率即可解題.

例4.在一個(gè)不透明容器中裝有5個(gè)小球，其中紅色小球2個(gè)，白色小球3個(gè).現(xiàn)從中逐一有放回地取球3次，求紅球被取到2次的概率.

解：

有放回地取球，則每次取球時(shí)總?cè)萘繘](méi)有發(fā)生改變，因此每次抽到某球的概率不會(huì)發(fā)生改變，可以將該實(shí)驗(yàn)看作n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以紅球被取到的次數(shù)為X服從二項(xiàng)分布.

例5.電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖.

將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”.將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)的電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽到的3名觀眾中“體育迷”的人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的期望EX和方差DX.

解：由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名為“體育迷”的概率為.

由題意知X～B 3，，

則PX=k=C3（k）k×1-3-k，k=0，1，2，3.

EX=np=3×=，

DX=np1-p=3××1-=.

當(dāng)某些試驗(yàn)中總?cè)萘糠浅４髸r(shí)，我們從總體容量中抽取n個(gè)個(gè)體，將實(shí)驗(yàn)視為完成n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，再用二項(xiàng)分布解題.

總之，在運(yùn)用二項(xiàng)分布求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，我們要把n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次看作是Cn（k）個(gè)互斥事件的和，其中每一個(gè)事件都可看作是k個(gè)A事件與n-k個(gè)A（-）事件同時(shí)發(fā)生，只是發(fā)生的順序不同，其發(fā)生的概率都是pk（1－p）n－k.這樣便能快速獲得問(wèn)題的答案.