例說(shuō)兩類與球有關(guān)的問(wèn)題的解法

以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.半圓的圓心為球心，半圓的半徑為球的半徑.球是一種特殊的幾何體，具有很多性質(zhì).本文主要探討兩類與球有關(guān)的問(wèn)題的解法.

一、與球有關(guān)的距離問(wèn)題

與球有關(guān)的距離問(wèn)題主要有兩種：一是兩點(diǎn)的球面距離問(wèn)題，二是球中的點(diǎn)到截面的距離問(wèn)題.與球有關(guān)的距離問(wèn)題較為復(fù)雜.解答這類問(wèn)題，需先明確球、截面、點(diǎn)之間的位置關(guān)系；然后將所求距離轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，將線段置于平面、截面中，構(gòu)造出三角形，利用勾股定理、正余弦定理來(lái)建立關(guān)系式，從而求得線段的長(zhǎng).

例1.如圖1，已知ΔABC是面積為的等邊三

角形，其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的半徑為2，則O到平面ABC的距離為（）.

A.B.

C.1 D.

解：

我們需先根據(jù)ΔABC的面積公式求得ΔABC外接圓的半徑r；然后根據(jù)球的性質(zhì)：球心和三角形外接圓圓心的連線垂直于三角形所在的平面，據(jù)此找到垂直關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得球心O到平面ABC的距離.

二、球的表面積（體積）問(wèn)題

我們知道，球的表面積公式S=πR2和體積公式V=πR3.因而解答球的表面積（體積）問(wèn)題的關(guān)鍵是求得球的半徑.要求球的半徑，往往需確定球心的位置，根據(jù)球與幾何體的位置關(guān)系，以及球的性質(zhì)建立關(guān)于半徑的關(guān)系式.一般地，若球內(nèi)切于正方體，則切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；若球?yàn)橹崩庵耐饨忧?，則可根據(jù)棱柱的上下底面平行和球的對(duì)稱性，確定上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)為球心，再根據(jù)勾股定理求球的半徑.

例2.如圖2，已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為ΔABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為（）.

A.64πB.48π

C.36πD.32π

解：

我們需先根據(jù)正弦定理求得等邊ΔABC的外接圓的半徑和邊長(zhǎng)；然后根據(jù)球的截面性質(zhì)得出OO1⊥平面ABC，進(jìn)而證明OO1⊥O1A，即可根據(jù)勾股定理求得球O的半徑和表面積.

例3.

解：

解答本題的關(guān)鍵是求正三棱錐外接球的半徑.先根據(jù)余弦定理證明∠PEC與∠AEC互補(bǔ)，據(jù)此求得PA、PB、PC的長(zhǎng)；然后將PA、PB、PC視為長(zhǎng)方體的三條棱，根據(jù)長(zhǎng)方體與球的位置關(guān)系，得出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，據(jù)此求出球的半徑.

例4.已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

解：

我們需根據(jù)圓錐和球的對(duì)稱性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓錐內(nèi)切球的體積問(wèn)題.通過(guò)研究軸截面上三角形的外接圓的面積，確定內(nèi)切球的半徑.

總之，解答與球有關(guān)的問(wèn)題需注意：（1）過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為交點(diǎn)、切點(diǎn)）或線作截面；（2）找出球的半徑與多面體的元素之間的垂直關(guān)系；（3）把空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解.數(shù)學(xué)篇