例講初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)與幾何綜合問題

熊 嬌 蔡顯富

? 西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院 ? 南充職業(yè)技術(shù)學(xué)院附屬中學(xué)

函數(shù)與幾何綜合問題中常見的轉(zhuǎn)化方式有:(1)借助表達(dá)式設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為橫平豎直線段的長,結(jié)合幾何特征利用線段長列方程.(2)研究幾何特征,考慮線段間關(guān)系,通過設(shè)線段長進(jìn)而表示點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式列方程.(3)表示線段長——橫平線段長,橫坐標(biāo)相減,右減左;豎直線段長,縱坐標(biāo)相減,上減下.

一次函數(shù)題型通常具有代數(shù)和幾何雙重特性,所以在解決一次函數(shù)與幾何綜合問題時(shí),可以從如下解題技巧來破解:數(shù)形結(jié)合記心頭,大題小做來轉(zhuǎn)化,潛在條件不能忘,化動(dòng)為靜多畫圖,分類討論要嚴(yán)密,方程函數(shù)是工具,計(jì)算推理要嚴(yán)謹(jǐn),創(chuàng)新品質(zhì)得提高.做不出,找相似,有相似,用相似;構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形.

1 一次函數(shù)與面積問題

一次函數(shù)中的面積問題可分為規(guī)則圖形與不規(guī)則圖形兩種.規(guī)則圖形的面積可直接用面積公式,先求點(diǎn)的坐標(biāo),得線段長度,再運(yùn)用面積公式;不規(guī)則圖形的面積求解過程大體與規(guī)則圖形的面積相同,但其沒有直接的面積公式,可用“小塊拼接”或“大塊減小塊”的圖形拼接法來簡化計(jì)算.

(1)如圖1,求△ABO的面積;

圖1

(2)如圖2,C為線段OB上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)O,B重合),作CD平行于y軸交直線l2于點(diǎn)D,過點(diǎn)C向y軸作垂線,垂足為E.若四邊形DECB的面積為120,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖2

解：(1)在y=-x+24中,令x=0,則y=24,所以A(0,24).

由CD平行于y軸,得D(a,-a+24).

2 一次函數(shù)與線段最值問題

將軍飲馬問題實(shí)質(zhì)是線段最值問題,往往是利用兩點(diǎn)之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊來求解,關(guān)鍵是找點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”,轉(zhuǎn)化為幾何問題.案例如下:

已知點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),在l上找出一點(diǎn)P,使PA+PB最小.

解決方案為:①如圖3,找A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′;②連接A′B,與l交于點(diǎn)P;③PA+PB即為最短路徑.具體解決原理見表1.

表1 將軍飲馬問題的解決原理

圖3

一般來說,一次函數(shù)中“飲馬”問題的解題方法是仿照案例作圖,結(jié)合一次函數(shù)、三角形等知識(shí)求解.

例2如圖4,直線AB:y=x+1與直線CD:y=-2x+4交于點(diǎn)E.

圖4

(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)在x軸上找一點(diǎn)F,使得FB+FE最小,并求OF的長.

故E(1,2).

(2)如圖5,作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B1,連接B1E交于x軸于點(diǎn)F,此時(shí)FB+FE的值最小.

圖5

在y=x+1中,令x=0,得y=1,所以B(0,1),B1(0,-1).

設(shè)直線B1E的解析式為y=kx+b(k≠0),則有

圖6

解析：如圖7,分別作點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)C,D,連接CD分別交OA,OB于點(diǎn)M,N,連接OC,OD.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC.所以利用兩點(diǎn)間線段最短判斷此時(shí)△PMN周長最小,作OH⊥CD于點(diǎn)H,則CH=DH,計(jì)算出CD即可.

3 一次函數(shù)與多邊形圖形存在性問題

3.1 一次函數(shù)與特殊三角形存在性問題

特殊三角形主要有等腰三角形和直角三角形.此類存在性問題一般有多種情況,作圖之后要注意三角形是否存在以及是否有重合點(diǎn).對(duì)于等腰三角形的存在性問題,常用知識(shí)點(diǎn)有尺規(guī)作弧、垂直平分線的性質(zhì)(垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等);其解題方法口訣為:等腰三角存在性,兩圓加一中垂線,記得去掉共線點(diǎn).而直角三角形的存在性問題常用知識(shí)點(diǎn)有切線的性質(zhì)(圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑)、圓周角定理(直徑所對(duì)的圓周角為90°);其解題方法口訣為:直角三角存在性,一圓加上兩垂線,構(gòu)造思想的坐標(biāo).

3.2 一次函數(shù)與特殊四邊形存在性問題

特殊四邊形主要有平行四邊形、矩形、菱形、正方形.此類存在性問題重在利用四邊形的性質(zhì),再結(jié)合三角形、函數(shù)的知識(shí)求解.

(1)平行四邊形的存在性口訣:平行四邊存在性,對(duì)邊平行且相等,等量關(guān)系里面有.常通過平行四邊形性質(zhì)得到對(duì)邊的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

(2)矩形的存在性口訣:矩形直角存在性,一圓加上兩垂線,勾股方程加全等.矩形由兩個(gè)全等的直角三角形組成,可參考直角三角形的存在性問題.

(3)菱形的存在性口訣:菱形等腰存在性,兩圓加一中垂線,記得去掉共線點(diǎn),等量關(guān)系鄰邊找.菱形由兩個(gè)全等的等腰三角形組成,可參考等腰三角形的存在性問題.

(4)正方形的存在性口訣:等腰直角正方形,鄰邊相等加直角,一線三垂找直角.正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形,可綜合以上三點(diǎn)解題.

例4如圖8,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=kx+4(k≠0)與y軸交于點(diǎn)A.

圖8

(1)若y=-2x+1與直線y=kx+4(k≠0)交于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-1.

①求點(diǎn)B的坐標(biāo)及k的值;

②直線y=-2x+1,直線y=kx+4(k≠0)與y軸所圍成的△ABC的面積等于多少?

(2)在(1)的條件下,直線y=kx+4(k≠0)與x軸交于點(diǎn)E,在x軸上是否存在點(diǎn)F,使得△AEF是以AE為腰的等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

解：(1)①在y=-2x+1中,令x=-1,得y=3,所以B(-1,3).

把B(-1,3)代入y=kx+4,得k=1,所以y=x+4.

故點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-1,3),k的值為1.

②由題意,得A(0,4),C(0,1),則AC=4-1=3.

(2)由(1)得E(-4,0).而A(0,4),所以AE2=32.

設(shè)F(m,0),則EF2=(m+4)2,AF2=m2+16.

若AE,AF為腰,則m2+16=32,解得m=4或m=-4(與點(diǎn)E重合,舍去),所以F(4,0).

4 一次函數(shù)與幾何的動(dòng)態(tài)綜合問題

解決動(dòng)態(tài)問題的一般思路是化動(dòng)為靜,以靜制動(dòng).“化動(dòng)為靜”中幾何法的基本思路與“以靜制動(dòng)”中代數(shù)法的基本思路分別如表2和表3所示.

表2 化動(dòng)為靜——幾何法基本思路

表3 以靜制動(dòng)——代數(shù)法基本思路

例5如圖9,已知一次函數(shù)y=2x+2與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)向x軸正方向以1單位/s的速度運(yùn)動(dòng),時(shí)間為t(t≥0)(單位:s).當(dāng)t為何值時(shí),△ABC為直角三角形?

圖9

解：以靜制動(dòng)——代數(shù)法.

由題意可知,AC=t,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1+t,0).

所以AC2=t2,AB2=OA2+OB2=5,BC2=t2-2t+5.

(1)若∠ACB=90°,則BC2+AC2=AB2,解得t=1,符合題意.

(2)若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2,解得t=5,符合題意.

綜上,t為1 s或5 s時(shí),△ABC為直角三角形.

由于函數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合的綜合題的形式靈活、立意新穎,能更好地考查學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)思想方法,因此,要解決幾何圖形中的函數(shù)問題,需要注意數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想,還要熟練掌握各類函數(shù)的基本性質(zhì)及其圖形特征,以及幾何圖形中的等式關(guān)系和相關(guān)性質(zhì).Z