數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與分析

陳元斌

【摘要】新課標(biāo)明確提出，要重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)和解題能力的培養(yǎng)和提升，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)興趣的激發(fā)，重視學(xué)生終身學(xué)習(xí)能力和意識的形成.而數(shù)形結(jié)合思想通過數(shù)量關(guān)系和圖形的結(jié)合，能夠有效降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，充分落實(shí)新課標(biāo)要求.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)

高中數(shù)學(xué)與小學(xué)數(shù)學(xué)和初中數(shù)學(xué)比起來，具備一定深度和難度，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有一定難度，而數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用能夠有效降低數(shù)學(xué)教學(xué)中的難度和抽象性，讓學(xué)生在數(shù)形轉(zhuǎn)化中感受數(shù)學(xué)的樂趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步深入數(shù)學(xué)教學(xué)中開展學(xué)習(xí)活動(dòng).

1 數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合思想是近幾年逐漸被應(yīng)用的教學(xué)方式，將數(shù)字與圖形有機(jī)結(jié)合，能夠提高學(xué)生對數(shù)學(xué)定理、概念的理解深度，強(qiáng)化數(shù)學(xué)問題的解決效率，一定程度上降低數(shù)學(xué)習(xí)題難度，具有重大教學(xué)價(jià)值.通過數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生能夠?qū)D形和數(shù)量關(guān)系有機(jī)結(jié)合，解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題.對數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用可以分為以形助數(shù)和以數(shù)解形兩種方式，一方面能夠利用圖形表達(dá)意義、概念、屬性等，一方面能夠運(yùn)用圖形表示數(shù)量、公式之間的關(guān)系，二者相互獨(dú)立，卻又相互聯(lián)系、相輔相成.

2 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用優(yōu)勢

2.1 降低知識難度

高中階段的數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的抽象性、邏輯性和理論性、計(jì)算性等特點(diǎn)，而高中階段學(xué)生雖然具有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思維，但對抽象、復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容難以真正掌握和理解，容易對數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)形成恐懼、抗拒心理，不利于數(shù)學(xué)課堂質(zhì)量的提升，而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)定理、公式通過圖形的方式直觀、形象地展示給學(xué)生，降低數(shù)學(xué)教學(xué)的困難程度，便于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力，使學(xué)生能夠在自主學(xué)習(xí)中理解、學(xué)習(xí)教學(xué)知識，提高自身自主性和獨(dú)立性，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2.2 降低問題難度

在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠降低學(xué)生理解數(shù)學(xué)定理的難度，同時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想能夠運(yùn)用到實(shí)際問題的解決中，增加學(xué)生解題路徑和思路，將復(fù)雜、抽象的數(shù)量關(guān)系以圖形的方式展示，明確數(shù)量之間的關(guān)系，使學(xué)生能夠更加便捷、明確地探究數(shù)學(xué)問題中數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，從而運(yùn)用更加便捷、合理的方法解決問題，幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)難題.由此可見，數(shù)形結(jié)合思想能夠運(yùn)用到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)問題的解決中，教師要重視對學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能力的培養(yǎng)，提高他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用原則

3.1 等價(jià)性原則

數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用要遵循等價(jià)性原則，即圖形性質(zhì)與代數(shù)性質(zhì)的等價(jià)互換，如果忽視數(shù)形結(jié)合思想的等價(jià)性原則，學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)容易出現(xiàn)一定漏洞，并不是所有數(shù)量關(guān)系皆能夠運(yùn)用圖形表達(dá)，圖形也具有一定局限性，圖形多用于說明，具有直觀性、形象性特點(diǎn).

3.2 雙方性原則

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用要遵循雙方性原則，即運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題時(shí)，要在分析直觀幾何的基礎(chǔ)上對抽象的代數(shù)進(jìn)行分析，如果在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)偏向于某一方面，則容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.

3.3 簡單性原則

數(shù)形結(jié)合思想在運(yùn)用時(shí)要遵循簡單性原則，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想前，要分析具體問題是否需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，以及運(yùn)用后是否能達(dá)到理想的效果，同時(shí)，要設(shè)計(jì)切入點(diǎn)，科學(xué)、合理地將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)解題中，建立數(shù)與性的關(guān)系并轉(zhuǎn)化，要注意數(shù)學(xué)隱含條件的挖掘，提高結(jié)果的精準(zhǔn)性.

4 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用策略

4.1 將數(shù)形結(jié)合思想與教材內(nèi)容結(jié)合，避免學(xué)生記憶混淆

高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科中涵蓋豐富的數(shù)學(xué)知識，由于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，部分知識具有較強(qiáng)的相似性和關(guān)聯(lián)性，學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)中容易出現(xiàn)記憶混淆、運(yùn)用混淆等現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生在開展數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練時(shí)難以提高數(shù)學(xué)習(xí)題的正確率，從而打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，不利于學(xué)生長期、持續(xù)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)［1］.高中階段數(shù)學(xué)知識與數(shù)形結(jié)合思想具有緊密聯(lián)系，面對這一情況，教師在實(shí)際教學(xué)中可以將數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)教材有機(jī)結(jié)合，通過數(shù)形結(jié)合思想的直觀和形象特點(diǎn)，使學(xué)生能夠區(qū)分教材內(nèi)容的差異性和相同性.

例如 人教版高中數(shù)學(xué)高一必修一“集合的基本運(yùn)算”一課中，圍繞并集、交集等概念、意義展開，以掌握并集、交集、補(bǔ)集的概念，符號之間的區(qū)別與聯(lián)系為教學(xué)重難點(diǎn).高一的學(xué)生剛剛步入高中階段，數(shù)學(xué)思維仍然停留在初中階段，很大一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)以背誦概念為主，解決問題以套用概念為主，但隨著時(shí)間的推移，學(xué)生對這部分內(nèi)容的記憶逐漸減少，非常容易出現(xiàn)記憶混淆、遺忘的現(xiàn)象，基于此，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想與教材內(nèi)容有機(jī)結(jié)合，運(yùn)用維恩圖將并集、交集、補(bǔ)集直觀、形象地展示給學(xué)生，通過圖象和教材概念的結(jié)合，使學(xué)生明確三者的意義和異同，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，強(qiáng)化數(shù)學(xué)記憶深度.

4.2 數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合，增加數(shù)學(xué)知識理解深度

高中階段的數(shù)學(xué)知識具有綜合性、抽象性和豐富性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，但在以往教學(xué)中，教師以口述教學(xué)為主，更側(cè)重于數(shù)學(xué)理論知識的內(nèi)涵和意義教學(xué)，學(xué)生在課堂教學(xué)中以聽和做為主，缺乏自身思維的運(yùn)用，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)難以理解、死記硬背的現(xiàn)象，難以提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)效果［2］.數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)?shù)學(xué)知識直觀、形象地展示給學(xué)生，對學(xué)生數(shù)學(xué)思維具有一定促進(jìn)作用，基于此，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合，提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性，使學(xué)生能夠真正投入數(shù)學(xué)課堂中，感受數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的趣味，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解深度和廣度.

例如 人教版高中數(shù)學(xué)高一必修一“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”一課中，圍繞二次函數(shù)、一元二次方程、不等式概念、定義、計(jì)算方法和關(guān)系展開，以掌握二次函數(shù)、一元二次方程、不等式之間的關(guān)系為教學(xué)重難點(diǎn).這部分內(nèi)容涉及的知識點(diǎn)相對較多，教師在實(shí)際教學(xué)要改變以往的口述式教學(xué)方法，運(yùn)用更加明確、直觀的教學(xué)方法，將數(shù)形結(jié)合思想與教學(xué)有機(jī)結(jié)合，以圖象的方式將三者的解的關(guān)系展示，使學(xué)生能夠更加直觀地掌握三者的關(guān)系，加深對教學(xué)內(nèi)容的理解和感受.

4.3 數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)作業(yè)結(jié)合，夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)對學(xué)生而言是非常重要的，只有具有夯實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，學(xué)生才能腳踏實(shí)地不斷深入學(xué)習(xí).教師要重視學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的構(gòu)建，不斷夯實(shí)基礎(chǔ)，為后續(xù)更加深入學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).教師可以通過布置數(shù)學(xué)作業(yè)的方式，運(yùn)用實(shí)際問題促使學(xué)生將掌握的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實(shí)際，提高學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容運(yùn)用的靈活性.高中階段數(shù)學(xué)問題具有較強(qiáng)的抽象性和綜合性，數(shù)學(xué)作業(yè)對學(xué)生而言具有一定的困難，基于此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)學(xué)作業(yè)中的數(shù)量關(guān)系以圖象的方式展示，增加降低作業(yè)難度，使學(xué)生能夠夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)形成數(shù)形結(jié)合思想［3］.

例如 人教版高中數(shù)學(xué)高一必修一“函數(shù)的應(yīng)用（二）”一課中，圍繞函數(shù)零點(diǎn)與方程的解、二分法求方程的近似解等內(nèi)容展開，以運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問題為教學(xué)重難點(diǎn).這部分內(nèi)容具有較強(qiáng)的實(shí)用性，以對知識的運(yùn)用為重點(diǎn)，教師在教學(xué)時(shí)，要注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握，可以布置難易程度適中的作業(yè)，在鞏固基礎(chǔ)的同時(shí)拓展數(shù)學(xué)解題能力，如求方程lnx+2x－6=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).學(xué)生在解決這一問題時(shí)，可以畫出y=lnx+2x－6的圖象，并列出y=f（x）對應(yīng)數(shù)值表，觀察零點(diǎn)所在區(qū)間，可知f（2）<0，f（3）>0，則f2f3<0.由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)fx=lnx+2x－6在區(qū)間（2，3）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)fx=lnx+2x－6，x∈（0，+∞）是增函數(shù)，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程lnx+2x－6=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

4.4 數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為空間幾何，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力

數(shù)學(xué)學(xué)科的根本在于解決實(shí)際問題，高中數(shù)學(xué)學(xué)科的根本目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，而解決問題也是學(xué)生將所學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)際中的體現(xiàn)，由此可見數(shù)學(xué)問題解決能力的重要性［4］.教師在實(shí)際教學(xué)中，可以將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)數(shù)量難題，通過數(shù)形結(jié)合思想的支撐，將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)難題降低難度，能夠在一定程度上發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，明確解決數(shù)學(xué)難題的策略和方法，提高他們數(shù)學(xué)問題的解決能力，實(shí)現(xiàn)高效率數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

例如 人教版高中數(shù)學(xué)高一必修一“任意角和弧度制”一課中，圍繞任意角和弧度制的概念、定義等方面展開，以理解正角、負(fù)角、零角定義，掌握終邊相同的角的表示方法為教學(xué)重難點(diǎn).以寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有哪些？教師可以將題干中的要求和數(shù)量關(guān)系以圖象展示，如圖1所示，在直線坐標(biāo)系中畫出直線y=x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y=x上的角有兩個(gè)：45°，225°.因此，終邊在直線y=x上的角的集合：

S=ββ=45°+k·360°，k∈Z

∪ββ=225°+k·360°，k∈Z

即S=ββ=45°+n·180°，n∈Z.

S中滿足不等式-360°≤β<720°的元素β有

45°－2×180°=－315°，

45°－1×180°=－135°，

45°+0×180°=45°，

45°+1×180°=225°，

45°+2×180°=405°，

45°+3×180°=585°.

圖1

通過將數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，能夠明確分析出數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系，為學(xué)生解決問題提供較大便利，教師在教學(xué)中要積極將數(shù)形結(jié)合思想融入高中教學(xué)中，在提高課堂質(zhì)量基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐漸具備學(xué)習(xí)能力.

5 結(jié)語

綜上所述，將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中，能夠?qū)?fù)雜、抽象的數(shù)量關(guān)系、公式、概念轉(zhuǎn)變成直觀、形象的知識，最大程度降低數(shù)學(xué)知識和問題的難度，能提高學(xué)生解題效率，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

參考文獻(xiàn)：

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