談?wù)劷獯鹑切稳≈捣秶鷨栴}的思路

柏爽

三角形取值范圍問題比較常見，這類問題常與函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何、向量相結(jié)合.常見的命題形式：（1）求三角形中某條邊、某個(gè)角的取值范圍問題；（2）求三角形的周長、面積的取值范圍.下面結(jié)合實(shí)例，談一談解答三角形取值范圍問題的思路.

一、利用函數(shù)的性質(zhì)

例1.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a>b>c，a2

解：∵a2

由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cosA，

∴b2+c2-2bc·cosA0，

我們根據(jù)a20，即可根據(jù)余弦函數(shù)的有界性以及三角形內(nèi)角的取值范圍，求得角A的取值范圍.在解答與三角形的角有關(guān)的問題時(shí)，要注意挖掘一些關(guān)于角的隱含條件：三角形的內(nèi)角和為180°，銳角的范圍為（0，90°），鈍角的范圍（90°，180°）.

我們先根據(jù)正弦定理將邊化為角，并將目標(biāo)式化為用cosB表示；然后根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍確定角B的取值范圍，即可根據(jù)余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得目標(biāo)式的取值范圍.

解答本題，要根據(jù)正弦定理建立三角形邊角之間的關(guān)系；然后用sinA表示三角形的周長，將問題轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)的最值問題；再根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡目標(biāo)式；最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性、單調(diào)性，以及三角形內(nèi)角的取值范圍求得△ABC周長的取值范圍.

例4.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中A為鈍角，asinB=bcosB，求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

范圍，才能利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得目標(biāo)式的取值范圍.

二、利用基本不等式

解：（1）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，

∴3=a2+b2-ab，

∵a2+b2≥2ab，∴ab+3≥2ab，

在解答三角形取值范圍問題時(shí)，要注意：（1）三角形的三邊均為正數(shù)，且兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（2）靈活運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，使目標(biāo)式中的邊角統(tǒng)一；（3）根據(jù)已知條件和隱含條件減少目標(biāo)式中邊、角的個(gè)數(shù)，使目標(biāo)式簡化；（4）運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為最值問題來求解.