巧用平移齊次化方法處理一類解析幾何問題

周躍佳

［摘? 要］ 若直線與圓錐曲線關系問題涉及直線斜率之和或斜率之積，可以通過平移得到齊次方程，能使問題解決更加便捷. 文章初探平移齊次化方法后進行模型建構，再以近年高考中出現的此類問題為例探索平移齊次化方法的應用.

［關鍵詞］ 平移齊次化；解析幾何；模型建構

問題的提出

對于涉及直線斜率之和為定值或斜率之積為定值的直線與圓錐曲線相交的解析幾何問題，學生的求解過程往往是先設定直線方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯立消元，得到一元二次方程后利用韋達定理得到兩根的關系，再與題設條件中的直線斜率之和或斜率之積相關聯，最后求出結果. 在求解過程中，聯立消元得到的方程的正確性以及由韋達定理得到的式子的形式與題設條件之間的合理轉化是運算的關鍵，這樣的解答思路非常清晰，堪稱“解題套路”，但是其運算量較大，考生若算錯一步，則步步皆錯，或者不能將韋達定理得到的式子與目標式進行合理轉化，從而以失敗告終. 能否找到一種計算量較小且容易獲得答案的方法，而且又能一般化？這是一個值得探索的問題. 本文以近年高考中出現的此類解析幾何問題為例，探索平移齊次化方法的應用.

平移齊次化方法之初探

模型建構

已知平面內一定點A（x，y）和圓錐曲線上兩個動點P，Q，當k+k=k或k·k=k時，我們可以用平移齊次化方法來解決.

解決步驟整理如下：

第一步，將直線與圓錐曲線平移，使題設條件中給定的點平移至坐標原點. 關于平移后的曲線方程怎么書寫，可以參考“‘x’需要‘左加右減’”“‘y’需要‘下加上減’”.

第二步，將平移后的直線方程設為mx+ny=1，這樣方便下一步進行“1”的代換.

第三步，化簡平移后的曲線方程，按各項次數排列整理為整系數方程后，將“mx+ny”乘到一次項上得到齊二次方程，再兩邊同時除以x2得到關于k的一元二次方程，進而利用韋達定理解決問題.

平移齊次化方法在近年高考中的應用

（1）求l的斜率；

（2）略.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點.

（1）求C的方程；

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在點Q，使得DQ為定值.

（2）此問的本質是：證明直線MN過定點P，點D在以AP為直徑的圓上，存在該圓的圓心Q，使得該圓直徑DQ為定值.

例5 （2018年高考全國Ⅰ卷理數

（1）當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

解析 （1）略.

平移齊次化方法總結

平移齊次化方法是解決涉及直線斜率之和或斜率之積的直線與圓錐曲線關系問題的一種簡捷有效的方法，為學生提供了一種全新的思維視角和運算途徑. 在實際教學中，教師有必要在學生對常規(guī)聯立法掌握良好的前提下展開平移齊次化方法的教學，以開闊學生的思維，提升學生的素養(yǎng).

下面是幾個相關問題的結論，供參考（不要求學生記憶）.