對合無窮遠 斜率若比鄰

吳昊

［摘? 要］ 文章對一道聯(lián)考試題中的“多余”條件進行分析，探究一般性規(guī)律及其成因，得出與之相關的幾個定理以及探究這些定理在解題中的應用.

［關鍵詞］ 斜率之和；斜率之積；對合；定值

筆者在做2023年“廣州市一?！钡?1題時發(fā)現(xiàn)一個“直線過定點”的條件是“多余”的——其不影響結論的得出，這說明這類問題具有一般性的規(guī)律，于是筆者以此為出發(fā)點進行了一些探索，發(fā)現(xiàn)其背后的命題規(guī)律，愿與諸君分享.

緣溪行，仿佛有光

（1）求C的方程；

（2）直線l：y=k（x-1）（k≠0）與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為k′（O為坐標原點），△APQ的面積為S，△BPQ的面積為S. 若AP·S=BP·S，判斷k·k′是否為定值，并說明理由.

O，得到C′：（x+x）2+2（y+y）2=8，即x2+2xx+2y2+4yy=0.

疑惑：在解答過程中筆者發(fā)現(xiàn)，不用“直線l：y=k（x-1）（k≠0）過定點（1，0）”這個條件，依然能得出結論——斜率之積（k·k′）為定值，這是不是說明結論（斜率之積為定值）與已知直線是否過定點無關呢？一般情況下是否也有類似的結論呢？經(jīng)進一步探索，筆者得到兩個定理.

及點P處的切線的斜率都存在，分別為k，k，k，k.

綜上可知，上述考題的第（2）問要證明的結論是定理1的結論（1），只是將條件k+k=0進行了包裝.類比雙曲線，又可以得到定理2（證明略）.

得出這些結論后，筆者仍然在想，為什么會有這種簡潔、對稱的結論呢？

復前行，豁然開朗

如果將橢圓換成圓，用同樣的方法可以得到定理3.

定理3 已知點P在圓C：x2+y2=r2上，直線l：y=kx+b（k≠0）與C相交于A，B兩點，設直線PA，PB，OP及點P處的切線的斜率都存在，分別為k，k，k，k.

（1）若k+k=0，則k·k=1，k+k=0；

（2）若k·k=1，則k+k=0，k·k=1.

已知點P在C（圓或橢圓）上，直線l：y=kx+b（k≠0）與C相交于A，B兩點，設直線PA，PB，OP及點P處的切線的斜率都存在，分別為k，k，k，k，則

（1）若k+k=0，則k+k=0，k·k=λ，

（2）若k·k=λ，則k·k=λ，k+k=0.

可以看出，若k+k=0，則總有k+k=0；若k·k=λ，則總有k·k=λ.而切線可以看成割線的極限，那么將圓內(nèi)接三角形換成圓內(nèi)接四邊形，又能得到什么結論呢？

定理4 如圖1所示，設圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA所在直線的斜率都存在，分別為k，k，k，k，則

（1）若k+k=0，則k+k=0；

（2）若k·k=1，則k·k=1.

述，得證.

由此看來，對于圓內(nèi)接四邊形，若一組對邊所在直線的斜率之和為0，則另一組對邊所在直線的斜率之和必為0；若一組對邊所在直線的斜率之積為1，則另一組對邊所在直線的斜率之積必為1. 將四邊形的其中一邊縮小到一個點，即四邊形變?yōu)槿切危迷擖c處的切線（斜率）代替該邊所在直線（斜率），則為定理3. 類比到橢圓和雙曲線，分別得到定理1和定理2. 從對合的角度來看，若P，A，B是二次曲線上的點，且PA，PB的斜率之和為0，則AB所過的定點無窮遠，即直線AB的斜率為定值，其大小為點P處的切線斜率的相反數(shù).

再回首，恍然大悟

以此為背景的考題為數(shù)不少，舉兩例如下：