回歸平面幾何視角,妙用角平分線定理

? 四川省大竹中學(xué) 林 栩

在高中數(shù)學(xué)中,涉及解三角形、平面向量、平面解析幾何等相關(guān)模塊的問(wèn)題,往往都離不開(kāi)平面幾何的相關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用.在實(shí)際解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),往往回歸平面幾何的圖形特征與本質(zhì),通過(guò)平面幾何的直觀視角,借助對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)與技巧方法等來(lái)處理與應(yīng)用.特別地,根據(jù)題設(shè)條件與圖形直觀特征,利用三角形的角平分線定理以及一些相關(guān)的知識(shí)來(lái)構(gòu)建關(guān)系式,是破解此類(lèi)問(wèn)題中比較常用的一種基本思維方法.

1 在解三角形中的應(yīng)用

通過(guò)三角形的相關(guān)幾何性質(zhì)以及對(duì)應(yīng)的角平分線等條件,借助三角形的角平分線定理來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系式,并綜合解三角形中的正弦(或余弦)定理等來(lái)轉(zhuǎn)化,利用函數(shù)或方程、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)來(lái)綜合與應(yīng)用.

分析:根據(jù)三角形的角平分線定理構(gòu)建對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),并進(jìn)一步利用余弦定理來(lái)確定線段BD的長(zhǎng)度,利用平面幾何的性質(zhì)對(duì)所求結(jié)果加以辨析并作出正確的判斷.

由sinC=3sinA,結(jié)合正弦定理可得c=3a.

點(diǎn)評(píng):在實(shí)際解三角形問(wèn)題中,經(jīng)?；貧w平面幾何中的三角形本質(zhì),通過(guò)三角形的角平分線定理來(lái)構(gòu)建相關(guān)線段的比例關(guān)系或?qū)?yīng)的關(guān)系式,進(jìn)一步利用平面幾何知識(shí)、解三角形中的正弦定理或余弦定理等,綜合加以變形與應(yīng)用,從而得以正確分析,合理數(shù)形結(jié)合,巧妙數(shù)學(xué)運(yùn)算[1].

2 在平面向量中的應(yīng)用

通過(guò)平面向量中的“數(shù)”來(lái)轉(zhuǎn)化“形”的特征問(wèn)題,或數(shù)形結(jié)合,借助“形”的幾何特征利用三角形的角平分線定理來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的關(guān)系式;或借助“數(shù)”的代數(shù)屬性利用三角形的角平分線定理的逆向思維等來(lái)確定幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征等.這些都是平面向量問(wèn)題中比較常用的技巧方法與綜合應(yīng)用.

例2〔2022屆浙江省寧波市第二學(xué)期高考模擬考試(二模)數(shù)學(xué)試卷〕已知平面向量a,b,c滿(mǎn)足|a|=1,|b|=2,|a-c|=|b-c|=3,c=λa+μb(λ>0,μ>0).當(dāng)λ+μ=4時(shí),|c|=( ).

分析:根據(jù)題目條件中平面向量的幾何意義,利用平面圖形的幾何性質(zhì)與直觀性,通過(guò)輔助線的構(gòu)建,結(jié)合三角形的角平分線定理、余弦定理等,合理邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算,進(jìn)而分析、計(jì)算出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度.

設(shè)直線OC與直線AB交于點(diǎn)E,由c=λa+μb(λ>0,μ>0),知點(diǎn)E在線段AB上(不含端點(diǎn)).

如圖2所示,作平行四邊形OACD,則|CD|=|OA|=1,|OD|=|AC|=3,可得|BD|=2=|OB|,所以△OBD是等腰三角形.

圖2

點(diǎn)評(píng):回歸平面向量“形”的特征,從平面幾何的圖形直觀視角切入,借助三角形角平分線定理的逆向思維來(lái)確定對(duì)應(yīng)的角平分線,從而回歸平面幾何直觀來(lái)分析與處理問(wèn)題.在解決具體的平面向量問(wèn)題時(shí),經(jīng)常從“數(shù)”中確定“形”,由“形”來(lái)直觀處理.

3 在平面解析幾何中的應(yīng)用

通過(guò)平面解析幾何中涉及角平分線的題設(shè)條件的直接應(yīng)用或角平分線性質(zhì)的內(nèi)涵挖掘,借助三角形的角平分線定理確定并構(gòu)建相應(yīng)線段的比例關(guān)系,為進(jìn)一步利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程來(lái)解決問(wèn)題提供條件,并綜合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、不等式以及平面向量等相關(guān)知識(shí)來(lái)合理轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用[2].

分析:通過(guò)對(duì)題設(shè)條件的合理挖掘與巧妙轉(zhuǎn)化,在直角三角形內(nèi),引入雙曲線漸近線的傾斜角與斜率,結(jié)合漸近線的幾何性質(zhì),利用三角形的角平分線定理來(lái)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系,再借助向量關(guān)系式的轉(zhuǎn)化與三角函數(shù)中的相關(guān)公式,即可求解雙曲線的離心率.

圖3

故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng):回歸平面解析幾何中曲線自身所具有的平面幾何本質(zhì)與內(nèi)涵,通過(guò)平面幾何的直觀與數(shù)形結(jié)合思維,挖掘其中角平分線的實(shí)質(zhì)與條件,進(jìn)而利用三角形的角平分線定理來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)線段的比例關(guān)系,往往為問(wèn)題的解決開(kāi)拓一個(gè)全新的局面,也是問(wèn)題切入的一個(gè)主要視角.這里的角平分線性質(zhì)有時(shí)會(huì)直接給出,有時(shí)要結(jié)合平面解析幾何中圖形的實(shí)質(zhì)來(lái)挖掘與應(yīng)用.

回歸平面幾何的思維視角與圖形直觀,借助三角形的角平分線定理來(lái)處理與解決一些相應(yīng)的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題,是初中平面幾何知識(shí)的深入應(yīng)用,處理問(wèn)題直觀有效,更多體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)性、連續(xù)性與延展性,更好地展示數(shù)學(xué)思想方法與思維方式,拓展并提升數(shù)學(xué)能力,全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).