巧用平移建聯(lián)系，數(shù)形結(jié)合探性質(zhì)

張艷

摘? ?要：從單元整體視角出發(fā)，通過(guò)喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)y=ax2的相關(guān)內(nèi)容與經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合解析式、表格、圖象，引導(dǎo)學(xué)生探究y=a（x-h）2與y=ax2從數(shù)到形的區(qū)別與聯(lián)系，從而自主得到形如y=a（x-h）2的二次函數(shù)圖象與性質(zhì).數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)思想 .從特殊到一般，利用平移探究函數(shù)圖象是初中階段研究函數(shù)的重要方法.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧w；深度學(xué)習(xí)；直觀想象；代數(shù)推理；類(lèi)比遷移

華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，二次函數(shù)因其既有解析式又有圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想常常能夠巧妙地解決相關(guān)問(wèn)題.在新授課的教學(xué)中，就應(yīng)該注重?cái)?shù)形結(jié)合的滲透.然而由于二次函數(shù)解析式形式相比于一次函數(shù)更多樣，圖象性質(zhì)也比一次函數(shù)更復(fù)雜，學(xué)生在解析式系數(shù)與圖象的關(guān)系上更容易混淆.因此在二次函數(shù)圖象和性質(zhì)一節(jié)中，針對(duì)從y=ax2到y(tǒng)=a（x-h）2+k的探究，若能從單元整體視角設(shè)計(jì)，結(jié)合函數(shù)的平移，即可以讓學(xué)生更深刻地理解不同形式的二次函數(shù)解析式之間的關(guān)系，又可以讓數(shù)形結(jié)合的滲透更加水到渠成.下面將以y=a（x-h）2圖象與性質(zhì)一節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡釋如何借助單元整體視角，抓住解析式從特殊到一般的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，自然地滲透數(shù)形結(jié)合思想.

1? 回顧舊知，喚醒研究方法

（1）在坐標(biāo)紙上畫(huà)出函數(shù)y=x2的圖象，并歸納步驟.

（2）以表格形式讓學(xué)生回顧，如表1.

（3）問(wèn)題1：從解析式和圖象上思考y=ax2與y=ax2+k的聯(lián)系.

問(wèn)題2：k的意義？

設(shè)計(jì)意圖：（1）畫(huà)y=x2函數(shù)圖象既能讓學(xué)生回顧研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般步驟，其表格和圖象對(duì)后續(xù)新函數(shù)y=（x-1）2還起到參照作用，更直觀地得出兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系.（2）表格的呈現(xiàn)，一方面讓學(xué)生回憶起前兩次課從哪些方面研究二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，另一方面直觀地感受y=ax2與y=ax2+k在填寫(xiě)內(nèi)容上的區(qū)別與聯(lián)系，從而使學(xué)生更好地回憶起后續(xù)的兩個(gè)問(wèn)題.（3）問(wèn)題1提示學(xué)生從數(shù)和形兩方面思考聯(lián)系，代數(shù)方面，解析式y(tǒng)=ax2+k比y=ax2多了一個(gè)k，圖象方面，y=ax2+k可以由y=ax2上（下）平移k個(gè)單位得到.這兩方面聯(lián)系均與k有關(guān)，從而引出k的意義：從數(shù)上說(shuō)，他是自變量為0時(shí)的函數(shù)值，從形上看，他是函數(shù)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).

2? 研究方法遷移，探索表格奧秘

任務(wù)：以y=（x-1）2為例，研究形如y=a（x-h）2的函數(shù)圖象與性質(zhì).

步驟1：列表

問(wèn)題1：許多同學(xué)填寫(xiě)表2的第一行延續(xù)了表3第一行的取值，回憶表3的畫(huà)圖過(guò)程，這種自變量取值方式對(duì)畫(huà)圖有何幫助？可以得出什么結(jié)論？

問(wèn)題2：猜想y=（x-1）2圖象是否也會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)？是否也具有對(duì)稱(chēng)性？

問(wèn)題3：未畫(huà)圖，如何讓猜想更具有說(shuō)服力？

問(wèn)題4：表2的自變量取值有沒(méi)有更好的方式？

問(wèn)題5：填好表2后，通過(guò)表格，你能初步想象出y=（x-1）2的圖象形狀與位置嗎？

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)表格中的每一列x，y和點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)，因此表格中數(shù)的規(guī)律可以反映其圖形特征.通過(guò)問(wèn)題1，喚醒學(xué)生通過(guò)兩對(duì)y值相等得出對(duì)稱(chēng)軸從而畫(huà)出對(duì)稱(chēng)的函數(shù)圖象這一經(jīng)驗(yàn)，思考表2的填寫(xiě)方式，調(diào)整自變量的取值，使得y的值與表3相同.從而透過(guò)表格驗(yàn)證問(wèn)題2的猜想.在動(dòng)手畫(huà)圖之前提出問(wèn)題5，旨在發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想.

3? 畫(huà)圖驗(yàn)證猜想，直觀揭示聯(lián)系

步驟2：在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)，連線，獲得函數(shù)圖象.

問(wèn)題1：通過(guò)5個(gè)點(diǎn)，我們描繪出的函數(shù)圖象直觀上看是關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)的，你能利用點(diǎn)與圖象的位置關(guān)系證明這個(gè)結(jié)論嗎？

問(wèn)題2：將函數(shù)y=（x-1）2補(bǔ)充在表1最后一行下方，自行完成相關(guān)性質(zhì)的填寫(xiě).

問(wèn)題3：結(jié)合上課初始所畫(huà)y=x2的圖象，思考二者聯(lián)系.

問(wèn)題4：你是如何發(fā)現(xiàn)二者聯(lián)系的？

問(wèn)題5：利用表格，能否佐證你的發(fā)現(xiàn)？

問(wèn)題6：結(jié)合表格，思考如何證明y=（x-1）2可由y=x2向右平移1個(gè)單位得到？

設(shè)計(jì)意圖：直觀的結(jié)論需要通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评矸娇沙闪?，?wèn)題1和6對(duì)學(xué)生的要求較高，例如問(wèn)題1學(xué)生需要設(shè)x=a，帶入解析式得到y(tǒng)的值，再將A（a，（a-1）2）通過(guò)x=1對(duì)稱(chēng)得到新的點(diǎn)坐標(biāo)A' （2-a，（a-1）2），最后驗(yàn)證A'落在y=（x-1）2上.設(shè)計(jì)問(wèn)題1，可以發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力，也讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)形的直觀與數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn).

利用課前的知識(shí)回顧表格，能更直觀地感受y=（x-1）2和之前的函數(shù)在性質(zhì)上的區(qū)別與聯(lián)系.問(wèn)題3-5引導(dǎo)學(xué)生思考產(chǎn)生這些聯(lián)系的本質(zhì)原因.問(wèn)題3 先從圖象入手，能較為直觀地得到平移的關(guān)系，再?gòu)膬蓚€(gè)表格第一行每個(gè)數(shù)值對(duì)應(yīng)差1，第二行相同，這一代數(shù)角度印證5個(gè)點(diǎn)存在平移關(guān)系，問(wèn)題6要求學(xué)生將5個(gè)點(diǎn)的平移關(guān)系一般化到任意點(diǎn)，從而推理證明結(jié)論，再次讓學(xué)生經(jīng)歷由直觀猜想到嚴(yán)謹(jǐn)論證的思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

4? 從特殊到一般，歸納圖象性質(zhì)

步驟3：以y=（x-1）2的圖象性質(zhì)結(jié)論，推廣得出y=a（x-h）2的函數(shù)圖象與性質(zhì)

問(wèn)題1：不畫(huà)圖，你能說(shuō)出y=（x-2）2是如何由y=x2平移得到的嗎？

問(wèn)題2：解析式如何反映平移情況？

問(wèn)題3：將函數(shù)y=（x-h）2補(bǔ)充在表1最后一行下方，自行完成相關(guān)性質(zhì)的填寫(xiě)

問(wèn)題4：y=（x-h）2與y=x2解析式是否也有相同之處？

問(wèn)題5：將函數(shù)y=a（x-h）2繼續(xù)補(bǔ)充在表1最后一行下方，完成相關(guān)性質(zhì)的填寫(xiě)

問(wèn)題6：類(lèi)比y=ax2+k中k的意義，思考h的意義

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題1，2讓學(xué)生感受解析式中參數(shù)h和圖象平移之間的關(guān)系，利用控制變量法，先讓學(xué)生理解y=（x-h）2與y=x2的平移關(guān)系后，通過(guò)問(wèn)題4，讓學(xué)生關(guān)注到二者的二次項(xiàng)系數(shù)相同，再次體會(huì)參數(shù)a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小與方向，即二次函數(shù)的形狀.從而自然地將y=a（x-h）2與y=ax2聯(lián)系起來(lái)，得到y(tǒng)=a（x-h）2的圖象與性質(zhì).

5? 教學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，課程目標(biāo)的確定，立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人價(jià)值.而結(jié)構(gòu)化、情境化、凸顯學(xué)科大概念的知識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng)的功能最強(qiáng).單元是知識(shí)結(jié)構(gòu)化的重要表現(xiàn)，深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)單元學(xué)習(xí)[ 1 ].二次函數(shù)解析式形式多樣，人教版《義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”中包含了y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k四部分內(nèi)容，傳統(tǒng)教學(xué)中教師往往是通過(guò)對(duì)某個(gè)具體函數(shù)進(jìn)行五點(diǎn)法畫(huà)圖，觀察圖象特征，或通過(guò)幾何畫(huà)板展示若干同樣形式的函數(shù)圖象，由學(xué)生觀察共性，從而得到函數(shù)性質(zhì).采用這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生往往是以孤立的方式記憶每個(gè)形式解析式的圖象性質(zhì)，對(duì)于學(xué)困生而言，知識(shí)容易遺忘混淆.本節(jié)課從單元整體視角出發(fā)，抓住研究函數(shù)圖象的基本步驟：列表，描點(diǎn)，連線，將y=（x-1）2和y=x2分別從表格、點(diǎn)、圖象方面進(jìn)行對(duì)比，從數(shù)和形感知二者的平移關(guān)系，使學(xué)生在掌握了y=ax2圖象性質(zhì)的基礎(chǔ)上，僅需部分調(diào)整，就能得到y(tǒng)=a（x-h）2的圖象性質(zhì).這種教學(xué)設(shè)計(jì)同樣適用于研究y=ax2+k，即教材中探究完y=ax2后，對(duì)于y=a（x-h）2和y=ax2+k的探究是不分先后的.只不過(guò)由于y=ax2+k和y=ax2的關(guān)系與正比例和一次函數(shù)的關(guān)系類(lèi)似，從認(rèn)知理論來(lái)說(shuō)，先研究y=ax2+k學(xué)生更好接受.在該設(shè)計(jì)下，對(duì)于y=a（x-h）2+k，學(xué)生完全有能力自己獨(dú)立探究，獲得圖象性質(zhì)，從而建立起二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

另外，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)邏輯推理不僅僅存在于幾何中，代數(shù)也應(yīng)該關(guān)注推理能力的滲透.因此在觀察出圖象對(duì)稱(chēng)，以及圖象間的平移關(guān)系后，嘗試著要求學(xué)生通過(guò)代數(shù)推理論證.該要求一方面能夠讓學(xué)生完整地經(jīng)歷觀察—猜想—論證的思維過(guò)程，強(qiáng)化學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；另一方面示范了如何借助點(diǎn)坐標(biāo)完成坐標(biāo)系背景下相關(guān)圖形猜想的證明，由數(shù)證形，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，為解析幾何打下基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉月霞，郭華.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（理論普及讀本）[M].北京：教育科學(xué)出版社，2018.